Studijní program P4M2 Geometrie, topologie, a globální analýza

Oborová rada

Aktuální složení rady je na adrese http://mff.cuni.cz/phd/or/p4m2.

Spolupracující ústavy

– Matematický ústav AV ČR, v.v.i.
Žitná 25, 115 67 Praha 1
http://www.math.cas.cz

Vypsaná témata

Jsou k  nahlédnutí v SIS na adrese http://mff.cuni.cz/phd/temata/p4m2.

Poskytovaná výuka

Seznam požadavků ke státní doktorské zkoušce

I. Širší základ
Výběr alespoň tří témat z následujících:

I.1. Obecná topologie
Základní pojmy. Urysonovo lemma, Tietzeova věta. Souvislost a lokální souvislost. Kompaktnost a lokální kompaktnost. Tichonovova věta, Stoneova–Weierstrassova věta, Čechova–Stoneova kompaktifikace. Parakompaktnost. Stoneova věta o parakompaktnosti metrických prostorů. Metrizovatelné prostory, metrizační věty, úplnost metrických prostovů. Topologické grupy, základní vlastnosti. Uniformní prostory a stejnoměrně spojitá zobrazení, metrizovatelnost, úplnost.

I.2. Teorie množin
Axiomatika teorie množin. Ordinální a kardinální čísla, základní aritmetika s nimi. Axiom výběru a jeho ekvivalenty, transfinitní rekurze. Nekonečna kombinatorika, stacionární množiny. Ramseyova věta, Erdosova–Radoova věta, lemma o delta systému, nezávislé systémy. Částečná uspořádání.

I.3. Teorie kategorií
Kategorie a funktory, příklady. Přirozené transformace a ekvivalence, příklady. Limity a kolimity, úplnost, jejich tvar v konkrétních kategoriích. Adjunkce, reflektivita a koreflektivita. Uzavřené a kartézsky uzavřené kategorie. Malé kategorie. MacLaneova reprezentace.

I.4. Vybrané partie z algebry
Tenzorová algebra, speciálně multilineární algebra. Vybrané partie z teorie okruhů a modulů (rozšíření, resolventy, gradace, filtrace). Základy homologické algebry (homologie komplexů, kohomologie grup a jiných algebraických systémů).

I.5. Riemannovy variety
Teorie konexí. Paralelní přenos. Riemannova metrika, Riemannovy konexe, tenzory křivosti a jejich význam. Sekcionální křivost a její význam. Geodetické křivky. Homogenní Riemannovy variety. Hermitovské metriky. Podvariety euklidovského prostoru. Grupy holonomií.

I.6. Analýza na varietách
Vektorové fibrované prostory, jejich klasifikace. Diferenciální operátory, invariantní diferencialní operátory na homogenních varietách. Integrace na varietách. Základy integrální geometrie na varietách. Fourierova a Radonova transformace. Komplexní variety, holomorfní a meromorfní funkce.

I.7. Lieovy grupy a algebry
Klasifikace jednoduchých Lieových algeber a jejich konečnědimenzionálních representací. Rozklad tensorového součinu na ireducibilní komponenty. Klimykova formule. Charaktery reprezentací a charakterové formule (Weylova. Freudenthalova aj.).

I.8. Algebraická topologie
Homologické a kohomologické grupy (buďto simpliciální nebo singuární) a jejich výpočet. Borsukovy věty, věty o invariantnosti oblasti a o invariantnosti dimenze, základní věta algebry. Eulerova věta. Stupeň zobrazení. Lefschetzova věta o pevném bodu. De Rhamovy kohomologie. Základy homotopické teorie.

II. Pokročilé partie oboru
Výběr jednoho z následujících témat:

II.1. Obecná topologie
Bezbodové přístupy k topologii. Různé varianty Stonevy duality. Booleovy algebry, Heytingovy algebry, spojité svazy, s nimi spojené duality. Zesilování struktury bezbodové topologie. Prostory spojitých funkcí, možné topologie na nich, Arzelova–Ascoliho věta, Cp(X). Kardinální invarianty topologických prostorů, jejich vzájemné vztahy. Prostory ultrafiltrů, kardinílní charakteristiky. Počítačová topologie. Topologická dynamika, skoro periodické body, klasifikace dynamických systémů, Ellisův obal, rekurence v dynamických systémech, aplikace v kombinatorice. Vlastnosti topologických prostorů související s kombinatorickými principy teorie nmožin. Struktry spojitosti, teorie miformních a proximitních systémů.

II.2. Teorie množin
Booleovy algebry, částečná uspořádaní. Stoneova dualita, strukturální vlastnosti. Kombinatorické principy, Martinův axiom, Fodorova–Solovayova věta, Silverova věta, Suslinovy a Aronszajnovy stromy. Kurepova hypotéza, Hausdorffův gap. Základy forcingu. PFA. Elementární podstruktury, ultraprodukt, základy pcf teorie.

II.3. Teorie kategorií
Monády a monadické kategorie. Kategorie a logika. Základy teorie toposů. Konkrétní kategorické otázky speciálních struktur. Teorie konkrétních kategorií a struktur. Iniciální a terminální vytváření objektu. Algebraické a topologické kategorie. Úplná a skoro úplná vnoření. Strnulé objekty, strnulé grafy, algebry a prostory. Univerzalita a skoro univerzalita, skoro univerzalita kategorie parakompaktích prostorů.

II.4. Geometrie homogenních a symetrických prostorů
Homogenní prostory, reduktivní prostory, kanonické konexe. Invariantní metriky a diferenciální operátory na homogenních prostorech, zvláště riemannovských. Teorie riemannovských symetrických prostorů, příklady, klasilikace. Některá zobecnění symetrických prostorů, Einsteinovy prostory.

II.5. Parabolické structury na varietách
Graduované Lieovy algebry, jejich realné formy. Hlavní fibrované prostory, konexe, kovariantní derivace a jejich křivosti. Homogenní diferenciální operátory. Cartanovy a parabolické geometrie, Cartanova konexe a její křivost. Konformní, projektivní, kvaternionické geometrie a další příklady parabolických geometrií.

II.6. Integrální geometrie a komplexní analýza
Funkce více komplexních proměnných. Komplexní variety, Hermitovské a Kaehlerovy variety. Svazky a předsvazky. Diferenciální formy na komplexních varietách a Dolbeautovy kohomologie. Radonova a Penroseova transformace.

II.7. Invariantní diferenciální operátory
Spin struktury na Riemannových varietách. Dirakův operátor jeho vlastnosti, Laplaceův operátor. Spektrální vlastnosti differenciálních operátorů. Teorie operátorů Dirakova typu. Konformní invariance operátorů na konformní varietě. Bochnerova a Weitzenbockovy formule. Invariantní operátory pro jiné geometrické struktury.

II.8. Algebraická topologie
Derivované funktory. Spektrální posloupnosti a jejich aplikace. Fibrace, homologická a homotopická teorie fibrací. Topologie Lieových grup a klasifikačních prostorů. Charakteristické třídy vektorových bandlů, Chern–Weilův izomorfismus. Základy K–teorie. Kohomologické operace. Teorie obstukcí. Indexové věty Operády, algebry nad operádami.

Doporučená literatura

–Adámek, J., Herrlich H., Strecker G.: Abstract and Concrete Categories. Wiley, New York, 1990.

–Adámek, J.: Matematické struktury a kategorie. SNTL, Praha, 1982.

–Balcar, B., Štěpánek, P.: Teorie množin. Academia, Praha, 1980.

–Borceaux, F., Bosche van den, G.: Algebra in a Localic Topos with Applications to Ring Theory. Springer, 1983.

–Čap, A., Slovák, J.: Parabolic geometries, I: Background and general theory. AMS Publishing House, 2009.

–Ellis, R.: Lectures in Topological Dynamics. Benjamin, New York, 1967.

–Engelking, R.: General Topology. PWN, Warsawa, 1977.

–Friedrich, Th.: Dirac Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Wiesbaden, 1997.

–Fulton, W., Harris, J.: Representation Theory. A first course, GTM 129. Springer New York, 1991.

–Fustenberg, H.: Reccurence in Ergodic Theory and Combinatorial Number Theory. Princeton University Press, Princeton, 1981.

–Gillmann, L., Jerison, M.: Rings of continuous functions. D. van Nostrand, New York, 1960.

–Harris, J.: Algebraic geometry. A first course, GTM 133. Springer, New York, 1992.

–Hatcher A.: Algebraic Topology. Text přístupný na http://www.math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html.

–Helgason, S.: Differential geometry, Lie groups and Symmetric spaces. Pure and Appl. Math. 80, Ac. Press, 1978.

–Isbell J. R.: Uniform spaces. Amer. Math. Soc., Providence, 1964.

–Johnstone, P. T.: Stone Spaces. Cambridge University Press, Cambridge, 1982.

–Johnstone, P. T.: Topos Theory. Academic Press, London, 1972.

–Juhásy, I.: Cardinal functions in topology — Ten Years Later. Math Centre Tracts 125, Amsterdam, 1980.

–Juhásy, I.: Cardinal Functions in Topology. Math. Centre Tracts 34, Amsterdam, 1975.

–Kelley, J. L.: General Topology. Van Nostrand, New York, 1955.

–Kunen, K.: Set Theory — An Introduction to Independence Proofs. North–Holland, Amsterdam, 1980.

–Lawson, B. L., Michelsohn, M. L.: Spin Geometry. Princeton Math. Series, Princeton, 1989.

–MacLane, S.: Categories for the Working Mathematician. GTM5. Springer–Verlag, New York, 1970.

–MacLane, S.: Homology. Academic Press, New York, 1963.

–Massey, W.: Singular Homology theory. GTM 70. Springer, New York, 1976.

–Monk, J. D., Bonnet, R.: Handbook of Boolean Algebras, vol 1. North–Holland, Amsterdam, 1989.

–Pultr, A.: Podprostory euklidovských prostorů. SNTL, Praha, 1986.

–Pultr, A., Trnková, V.: Combinatorial, Algebraic and Topological Representations of Groups, Semigroups and Categories. Academia, Praha, 1980.

–Rudin, M. E.: Lectures on Set Theoretic Topology. Amer. Math. Soc., Providence, 1975.

–Samelson, H.: Notes on Lie algebras. Van Nostrand, New York, 1969.

–Sharpe, R. W.: Differential geometry. GTM 166. Cartans Generalization of Kleins Erlangen Program, Springer, 1997.

–Wells, R. O. jr.: Differential analysis on complex manifolds. GTM65. Springer New York, 1979.