Tato stránka vychází z podkladů pro tištěné studijní plány (tzv. Karolinku).

Matematika se zaměřením na vzdělávání

Garantující pracoviště: Katedra didaktiky matematiky Garantka studijního programu: doc. RNDr. Jarmila Robová, CSc.

Doporučený průběh studia

Předměty povinné ke státní závěrečné zkoušce jsou vytištěny tučně, povinně volitelné předměty normálním písmem, doporučené volitelné předměty kurzívou.

Hlavní studijní plán (maior)

1. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
 Povinné předměty – obecná část:    
NTVY014Tělesná výchova Itv10/2 Z
NTVY015Tělesná výchova IItv10/2 Z
NMTM110Informační technologie pro učiteleit31/2 KZ
 Anglický jazyka   
 Povinné předměty – oborová část:    
NMTM101Matematická analýza I 84/2 Z+Zk
NMTM103Lineární algebra I 42/2 Z+Zk
NMTM105Aritmetika a algebra I 32/1 Z+Zk
NMTM102Matematická analýza II 42/2 Z+Zk
NMTM104Lineární algebra II 42/2 Z+Zk
NMTM106Základy planimetrie 42/2 Z+Zk

it Tento předmět si studenti postupující dle plánu Fyzika se zaměřením na vzdělávání (plán maior i minor) zapisují v zimním semestru.

2. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
 Povinné předměty – obecná část:    
NTVY016Tělesná výchova IIItv10/2 Z
NTVY017Tělesná výchova IVtv10/2 Z
NJAZ091Anglický jazyka10/0 Zk0/0 Zk
 Povinné předměty – oborová část:    
NMTM201Matematická analýza III 42/2 Z+Zk
NMTM203Geometrie I 42/2 Z+Zk
NMTM205Stereometrie 31/2 Z+Zk
NMTM207Finanční matematika 20/2 Z
NMTM202Matematická analýza IV 42/2 Z+Zk
NMTM204Geometrie II 42/2 Z+Zk
NMTM206Aritmetika a algebra II 32/1 Z+Zk
NMTM208Kombinatorika 32/0 Zk

a Jednosemestrální předmět NJAZ091 se skládá pouze z povinné zkoušky z anglického jazyka, kterou je možno absolvovat buď v ZS, nebo v LS. Před povinnou zkouškou doporučujeme absolvovat výuku anglického jazyka v rámci volitelných předmětů dle své úrovně. Pro mírně pokročilé: NJAZ071, NJAZ073, NJAZ075, NJAZ089, pro středně pokročilé: NJAZ070, NJAZ072, NJAZ074, NJAZ090, pro pokročilé: NJAZ170, NJAZ172, NJAZ174, NJAZ176.

tv Místo kteréhokoli z předmětů NTVY014, NTVY015, NTVY016, NTVY017 (ale nejvýše jednoho z nich) si lze zapsat buď Letní výcvikový kurz NTVY018, nebo Zimní výcvikový kurz NTVY019. Tyto kurzy může student absolvovat kdykoli v průběhu studia.

3. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
 Povinné předměty – obecná část:    
NPEP301Úvod do psychologie 32/0 Zk
NPEP606Pedagogická propedeutika 30/2 Z
NSZZ031Vypracování a konzultace bakalářské prácebc60/4 Z0/4 Z
 Povinně volitelné předměty – obecná část 4  
 Povinně volitelné předměty – oborová část 2  
 Povinné předměty – oborová část:    
NMTM301Diferenciální geometrie 42/2 Z+Zk
NMTM303Základy zobrazovacích metod 21/1 KZ
NMTM305Dějiny matematiky I 22/0 Kv
NMTM307Metody řešení matematických úloh 20/2 Z
NMTM306Dějiny matematiky II 22/0 Kv
NMTM310Pedagogická praxe z matematiky I 20/1 Z

bc Předmět je jednosemestrální, je možno si jej zapsat v zimním, nebo v letním semestru. Doporučený semestr: letní.

Povinně volitelné předměty – obecná část (alespoň 4 kredity)

kódPředmětKredityZSLS
NPEP601Rétorika a komunikace s lidmi I 20/2 Z
NPEP602Sociální dovednosti a práce s lidmi I 20/2 Z
NPEP603Rétorika a komunikace s lidmi II 20/2 Z
NPEP604Sociální dovednosti a práce s lidmi II 20/2 Z

Povinně volitelné předměty – oborová část (alespoň 2 kredity)

kódPředmětKredityZSLS
NMTM331Bakalářský seminář z matematiky I120/2 Z
NMTM332Bakalářský seminář z matematiky II120/2 Z

1Předměty Bakalářský seminář z matematiky I a II si lze zapsat oba, nebo kterýkoli z nich.

Doporučené volitelné předměty

kódPředmětKredityZSLS
NMTM161Matematický proseminář I 20/2 Z
NMTM162Matematický proseminář II 20/2 Z
NMIN203Mathematica pro začátečníky220/2 Z0/2 Z
NMIN264Mathematica pro pokročilé320/2 Z
NMUM365Seminář z kombinatoriky a teorie grafů 20/2 Z
NMUG361Aplikace deskriptivní geometrie 22/0 Z
NUMV090Teorie her 22/0 Z
NUMV047Pravděpodobnost a finanční matematika pro střední školu 30/2 Z
NUMV048Statistika a pojistná matematika pro střední školu 30/2 Z
NUMV058Řecké matematické texty I 30/2 Z

2 Volitelný předmět je jednosemestrální, je možno jej absolvovat v zimním, nebo v letním semestru.

3 Volitelný předmět bývá vyučován zpravidla jednou za dva roky.

Některé volitelné předměty nemusejí být v tomto akademickém roce vyučovány.

Přidružený studijní plán (minor)

1. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
NMTM101Matematická analýza I 84/2 Z+Zk
NMTM103Lineární algebra I 42/2 Z+Zk
NMTM105Aritmetika a algebra I 32/1 Z+Zk
NMTM102Matematická analýza II 42/2 Z+Zk
NMTM104Lineární algebra II 42/2 Z+Zk
NMTM106Základy planimetrie 42/2 Z+Zk

2. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
NMTM201Matematická analýza III 42/2 Z+Zk
NMTM203Geometrie I 42/2 Z+Zk
NMTM205Stereometrie 31/2 Z+Zk
NMTM207Finanční matematika 20/2 Z
NMTM202Matematická analýza IV 42/2 Z+Zk
NMTM204Geometrie II 42/2 Z+Zk
NMTM206Aritmetika a algebra II 32/1 Z+Zk
NMTM208Kombinatorika 32/0 Zk

3. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
 Povinně volitelné předměty – oborová část 2  
NMTM301Diferenciální geometrie 42/2 Z+Zk
NMTM303Základy zobrazovacích metod 21/1 KZ
NMTM305Dějiny matematiky I 22/0 Kv
NMTM307Metody řešení matematických úloh 20/2 Z
NMTM306Dějiny matematiky II 22/0 Kv
NMTM310Pedagogická praxe z matematiky I 20/1 Z

Povinně volitelné předměty – oborová část (2 kredity)

kódPředmětKredityZSLS
NMTM331Bakalářský seminář z matematiky I120/2 Z
NMTM332Bakalářský seminář z matematiky II120/2 Z

1Předměty Bakalářský seminář z matematiky I a II si lze zapsat oba, nebo kterýkoli z nich.

Doporučené volitelné předměty

kódPředmětKredityZSLS
NMTM161Matematický proseminář I 20/2 Z
NMTM162Matematický proseminář II 20/2 Z
NMIN203Mathematica pro začátečníky220/2 Z0/2 Z
NMIN264Mathematica pro pokročilé320/2 Z
NMUM365Seminář z kombinatoriky a teorie grafů 20/2 Z
NMUG361Aplikace deskriptivní geometrie 22/0 Z
NUMV090Teorie her 22/0 Z
NUMV047Pravděpodobnost a finanční matematika pro střední školu 30/2 Z
NUMV048Statistika a pojistná matematika pro střední školu 30/2 Z
NUMV058Řecké matematické texty I 30/2 Z

2 Volitelný předmět je jednosemestrální, je možno jej absolvovat v zimním, nebo v letním semestru.

3 Volitelný předmět bývá vyučován zpravidla jednou za dva roky.

Některé volitelné předměty nemusejí být v tomto akademickém roce vyučovány.

Požadavky znalostí ke státní závěrečné zkoušce

Matematická analýza

1. Posloupnosti reálných čísel, limity.
Limita posloupnosti (vlastní a nevlastní), Bolzanova-Cauchyova podmínka. Věty o limitách. Vybrané posloupnosti.

2. Elementární funkce a jejich zavedení.
Goniometrické funkce a cyklometrické funkce. Exponenciální funkce, přirozený a obecný logaritmus, obecná mocnina, odmocnina. Vlastnosti těchto funkcí a jejich vzájemné vztahy.

3. Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Vlastnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu. Průběh funkce, užití vyšších derivací.
Limita funkce, aritmetika limit, limita složené funkce, limitní přechod v nerovnosti, limita monotónní funkce. Spojitost funkce v bodě a na intervalu, Heineova definice spojitosti, vlastnosti spojitých funkcí na uzavřeném intervalu. Derivace funkce, početní pravidla pro derivování, derivace inverzní funkce. Věty o střední hodnotě: Rolleova, Lagrangeova a Cauchyova. L'Hospitalovo pravidlo. Vztah derivace a monotonie funkce, nutné a postačující podmínky pro extrém. Taylorův polynom, Taylorova věta. Konvexnost a konkávnost a jejich souvislost s druhou derivací funkce. Asymptoty.

4. Primitivní funkce, Newtonův integrál.
Základní primitivní funkce. Integrace per partes. První a druhá věta o substituci. Integrace racionálních funkcí, základní typy substitucí.

5. Riemannův integrál.
Zavedení Riemannova integrálu, geometrická interpretace. Riemannův integrál jako funkce horní meze. Newtonova-Leibnizova formule. Existenční věty pro Riemannův integrál. Nevlastní integrál. Délka křivky zadané parametricky, objem rotačního tělesa a povrch jeho pláště, obsah plochy zadané parametricky.

6. Nekonečné číselné řady, mocninné řady.
Součet řady, konvergentní a divergentní řady, Bolzanova-Cauchyova podmínka, nutná podmínka konvergence. Řady s nezápornými členy a kritéria jejich konvergence: srovnávací, odmocninové, podílové a integrální kritérium, limitní tvary kritérií. Řady se střídavými znaménky, Leibnizovo kritérium. Absolutně a neabsolutně konvergentní řady. Mocninná řada a její konvergence, poloměr konvergence. Derivace a integrace mocninné řady člen po členu.

7. Diferenciální rovnice.
Věty o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy. Metody řešení diferenciálních rovnic (rovnice se separovanými proměnnými, lineární rovnice prvního a vyššího řádu). Lineární rovnice prvního a vyššího řádu: existence a jednoznačnost řešení, struktura množiny řešení, variace konstant, rovnice s konstantními koeficienty, speciální tvary pravé strany.

8. Funkce více proměnných.
Limita a spojitost. Parciální derivace, derivace ve směru, totální diferenciál, gradient. Derivace složené funkce. Věta o inverzní funkci. Věta o implicitní funkci. Lokální extrémy, vázané extrémy, metoda Lagrangeových multiplikátorů.

Algebra a lineární algebra

1. Relace, zobrazení a jejich základní vlastnosti.
Relace a jejich vlastnosti. Ekvivalence, uspořádání, úplné uspořádání, příklady. Rozklad množiny podle ekvivalence. Zobrazení (injektivní, surjektivní a bijektivní), skládání zobrazení; jádro a obraz zobrazení, rozklad zobrazení na surjekci, bijekci a injekci.

2. Vektorový prostor, báze, dimenze, lineární zobrazení. Vektorový prostor se skalárním součinem.
Příklady vektorových prostorů, lineární závislost a nezávislost, báze a dimenze konečně generovaného vektorového prostoru, věta o dimenzích spojení a průniku. Vlastnosti homomorfismu, věta o hodnosti a defektu. Skalární součin na reálném vektorovém prostoru, ortonormální báze, ortogonální doplněk podprostoru. Prostor se skalárním součinem, Cauchyova-Schwarzova nerovnost, trojúhelníková nerovnost, Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.

3. Matice a jejich vlastnosti, užití k řešení soustav lineárních rovnic. Podobnost matic.
Hodnost matice, regulární a singulární matice, inverzní matice, matice homomorfismu. Frobeniova věta o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic. Věta o dimenzi vektorového prostoru všech řešení homogenní soustavy. Užití matic k řešení soustav lineárních rovnic, Gaussova eliminační metoda. Vlastní čísla a vlastní vektory, podobnost matic, Jordanova báze, Jordanův kanonický tvar. Charakteristický a minimální polynom.

4. Lineární a bilineární formy.
Lineární formy, duální prostor, duální báze. Bilineární a kvadratické formy a jejich matice, polární báze, normální báze, Sylvesterův zákon setrvačnosti kvadratických forem, signatura.

5. Determinanty a jejich vlastnosti, Cramerovo pravidlo.
Definice determinantu, Sarrusovo pravidlo, věta o rozvoji determinantu, charakterizace regulárních matic pomocí determinantů. Výpočet inverzní matice pomocí determinantů. Věta o násobení determinantů. Řešení soustav lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla.

6. Přirozená a celá čísla, dělitelnost.
Přirozená čísla, Peanovy axiomy, matematická indukce, dobré uspořádání. Konstrukce oboru integrity celých čísel. Dělitelnost, největší společný dělitel, nejmenší společný násobek. Eukleidův algoritmus a Bézoutova věta, Eukleidovo lémma, Základní věta aritmetiky. Numerační soustavy o různých základech. Prvočísla, Eratosthenovo síto, mohutnost množiny všech prvočísel. Fermatova čísla a prvočísla. Přirozená čísla jako svaz. Kongruence modulo n, odvození kritérií dělitelnosti. Malá Fermatova věta.

7. Čísla racionální, reálná a komplexní.
Konstrukce pole racionálních čísel, podílové pole. Reálná čísla (Dedekindovy řezy, desetinné rozvoje, cauchyovské posloupnosti, axiomatický popis R), iracionalita. Řetězové zlomky, konvergenty, aproximace reálných čísel racionálními. Algebraická a transcendentní čísla. Pole komplexních čísel, zavedení, vlastnosti. Algebraický a goniometrický tvar, operace a jejich geometrické znázornění, Moivreova věta a její aplikace. Mohutnosti číselných oborů.

8. Grupy a jejich homomorfismy. Algebraické struktury se dvěma binárními operacemi.
Binární operace na množině. Pojem grupy, grupa permutací, grupy symetrií pravidelných n-úhelníků, další příklady. Podgrupy a jejich vlastnosti, svaz podgrup. Cyklické grupy a jejich vlastnosti. Lagrangeova věta. Homomorfismy grup, příklady. Jádro a obraz homomorfismu a jejich vlastnosti. Faktorizace grupy podle normální podgrupy. Příklady. Okruh, obor integrity, těleso, pole, příklady.

9. Základní pojmy dělitelnosti v komutativním oboru integrity.
Relace dělitelnosti a asociovanosti v oboru integrity. Příklady eukleidovských oborů integrity a příklady na užití Eukleidova algoritmu. Ireducibilní prvek, prvočinitel.

10. Rovnice.
Základní věta algebry. Rovnice 1., 2. a 3. stupně, metody jejich řešení řešení, casus irreducibilis. Vietovy vzorce. Racionální a celočíselné kořeny algebraických rovnic s celočíselnými koeficienty, algebraická a transcendentní čísla. Reciproké rovnice. Lineární diofantické rovnice, Pellova rovnice.

11. Posloupnosti, průměry.
Aritmetická a geometrická posloupnost. Aritmetické posloupnosti vyšších řádů. Geometrická řada a harmonická řada. Aritmetický, geometrický a harmonický průměr, jejich vztah a geometrické znázornění.

Geometrie

Syntetická geometrie

1. Planimetrie (věty i s důkazy).
Pojmy: části přímky (úsečka, polopřímka), vzájemná poloha dvou přímek v rovině, odchylka přímek, části roviny (úhel, polorovina, rovinný pás), dvojice úhlů (vrcholové, vedlejší, souhlasné, střídavé úhly).

Základní věty geometrie trojúhelníku: Thalétova, Eukleidovy, Pýthagorova a její zobecnění (např. Hippokratovy měsíčky), sinová, kosinová, součet vnitřních úhlů. Trojúhelníková nerovnost. Těžiště a ortocentrum, Eulerova přímka, střední příčky, osy stran a osy úhlů, kružnice opsaná, vepsaná a připsaná. Konstrukce trojúhelníku z daných prvků. Aplikace vět o shodnosti a podobnosti trojúhelníků.

Klasifikace a vlastnosti čtyřúhelníků, konstrukce; vlastnosti tečnových a tětivových čtyřúhelníků (Ptolemaiova věta, součty vnitřních úhlů). Konvexní mnohoúhelníky (součet vnitřních úhlů, počet úhlopříček), pravidelné n-úhelníky a jejich vlastnosti.

Kružnice a její vlastnosti (tečny, tětivy, obvodové a středové úhly, úsekový úhel, mocnost bodu ke kružnici, chordála dvou kružnic), konstrukce. Vzájemná poloha dvou kružnic. Apollóniovy úlohy.

Obvody a obsahy rovinných útvarů, např. obsah trojúhelníku, Hérónův vzorec, obsah čtyřúhelníku a n-úhelníku. Obsah a obvod kruhu a jeho částí.

Shodnosti, podobnosti, stejnolehlost. Užití shodností a stejnolehlosti v konstrukčních úlohách. Skládání shodností, posunutá souměrnost. Kruhová inverze.

Axiomatický přístup k výstavbě geometrie.

2. Stereometrie (věty i s důkazy).
Obrazy těles ve volném rovnoběžném promítání. Základní stereometrické věty a jejich důkazy (rovnoběžnost přímky a roviny, rovnoběžnost dvou rovin, vzájemná poloha tří rovin, kolmost přímky a roviny, kolmost dvou rovin). Průnik přímky s tělesem, průsečnice rovin, řezy mnohostěnů. Vzdálenosti a odchylky bodů, přímek, rovin. Mnohostěny, Eulerova věta. Pravidelné mnohostěny (Platónská tělesa, jejich počet a vlastnosti). Objem a povrch těles a jejich částí, Cavalieriho princip. Geometrická zobrazení v prostoru (shodnosti, podobnosti).

3. Zobrazovací metody.
Princip rovnoběžného a středového promítání. Osová afinita, elipsa jako afinní obraz kružnice, konstrukce elipsy vycházející z osové afinity (Rytzova, trojúhelníková), užití osové afinity při konstrukci řezů hranolů a válců. Základy Mongeova promítání. Základy kosoúhlého promítání a průměty jednoduchých těles. Základy lineární perspektivy.

Analytická geometrie

1. Afinní prostor.
Afinní prostor a jeho zaměření. Lineární kombinace bodů. Lineární soustava souřadnic. Podprostor a jeho parametrické vyjádření. Obecná rovnice nadroviny (odvození pomocí lineárních forem), podprostor jako průnik nadrovin, obecné rovnice podprostoru. Vzájemná poloha podprostorů. Orientace afinního prostoru.

2. Eukleidovský prostor.
Skalární součin, eukleidovský prostor a jeho podprostory, obecná rovnice nadroviny. Vnější součin, vektorový součin a jejich základní vlastnosti. Kartézská soustava souřadnic. Kolmost podprostorů. Odchylka dvou přímek, dvou nadrovin, přímky a nadroviny, odchylka přímky a podprostoru. Vzdálenost bodu od podprostoru, vzdálenost bodu od nadroviny, vzdálenost podprostorů; osa dvou mimoběžných podprostorů, Gramův determinant. Příklady v E2 a E3.

3. Množiny bodů daných vlastností, kuželosečky.
Apollóniova kružnice. Kuželosečky jako řezy kuželové plochy, Quételetova-Dandelinova věta. Definice, vlastnosti a klasifikace kuželoseček. Kanonické rovnice kuželoseček a jejich transformace. Ohnisková a vrcholová rovnice kuželosečky. Parametrické vyjádření kuželoseček a rovnice kuželoseček v polárních souřadnicích. Bodové konstrukce elipsy (proužková součtová a rozdílová, trojúhelníková, bodová podle definice), paraboly (bodová dle definice), hyperboly (bodová dle definice). Vzájemná poloha přímky a kuželosečky.

4. Grupy geometrických zobrazení.
Dělicí poměr, afinní zobrazení, asociovaný homomorfismus. Afinity (základní afinity, homothetie), samodružné body a směry, příklady v A2 a A3 včetně analytického vyjádření. Projekce. Shodnosti, podobnosti, samodružné body a směry, příklady v E2 a E3 včetně analytického vyjádření, klasifikace v E2. Stereografická projekce, analytické vyjádření a vlastnosti kruhové inverze. Grupy geometrických transformací.

Diferenciální geometrie

1. Křivky v rovině a v prostoru.
Parametrické vyjádření křivky, příklady. Délka křivky, parametrizace obloukem. Frenetův repér a Frenetovy vzorce v rovině a v prostoru, křivost a torze.

2. Plochy v prostoru.
Parametrické vyjádření plochy, příklady. Tečná rovina, normála. První a druhá základní forma plochy a jejich užití. Hlavní směry a hlavní křivosti plochy, střední a Gaussova křivost. Zobrazení mezi plochami (izometrie, konformní zobrazení).