2.3.2 Matematické metody informační bezpečnosti, plán N
2.3.2 Matematické metody inf. bezpečnosti, plán N
Garantující pracoviště: Katedra algebry
Oborový garant: doc. RNDr. Jiří Tůma, DrSc.
Plán N je určen pro studenty, kteří zahájili studium oboru MMIB v roce 2012/13 až 2014/2015. Vzhledem k tomu, že průběh prvního ročníku plánů NN a N oboru MMIB je identický, doporučujeme posluchačům, kteří začali studovat v plánu N v roce 2014, aby studium dokončili podle plánu NN.
Doporučený průběh studia
1. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMA101 | Matematická analýza 1 | 10 | 4/4 Z+Zk | — | |
| NMAG101 | Lineární algebra a geometrie 1 | 8 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NMIN101 | Programování 1 | 5 | 2/2 Z | — | |
| NMIN105 | Diskrétní matematika | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NTVY014 | Tělesná výchova I | 1 | 0/2 Z | — | |
| NJAZ070 | Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé I | 1 | 0/2 Z | — | |
| NMMA102 | Matematická analýza 2 | 10 | — | 4/4 Z+Zk | |
| NMAG102 | Lineární algebra a geometrie 2 | 8 | — | 4/2 Z+Zk | |
| NMIN102 | Programování 2 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NTVY015 | Tělesná výchova II | 1 | — | 0/2 Z | |
| NJAZ072 | Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé II | 1 | — | 0/2 Z | |
| Volitelné předměty | 5 | ||||
Doporučené volitelné předměty
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMSA160 | Pravděpodobnostní a statistické problémy | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMAG162 | Úvod do matematické logiky | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMAG166 | Ukázky aplikací matematiky | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMIN160 | Teorie množin | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMAG160 | Proseminář z teorie čísel | 2 | — | 0/2 Z | |
2. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMA201 | Matematická analýza 3 | 8 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NMMA203 | Teorie míry a integrálu | 8 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NMIN201 | Objektově orientované programování | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG201 | Algebra 1 | 4 | 2/1 Z+Zk | — | |
| NTVY016 | Tělesná výchova III | 1 | 0/2 Z | — | |
| NMMB201 | Kryptografické systémy | 4 | — | 1/2 Z+Zk | |
| NMSA202 | Pravděpodobnost a matematická statistika | 8 | — | 4/2 Z+Zk | |
| NMMB204 | Počítačová algebra | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMB202 | Aplikační programování | 5 | — | 2/2 Z | |
| NMMB206 | Teorie čísel a RSA | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMAG202 | Algebra 2 | 4 | — | 2/1 Z+Zk | |
| NTVY017 | Tělesná výchova IV | 1 | — | 0/2 Z | |
| NJAZ091 | Anglický jazyk | 1 | — | 0/0 Zk | |
Doporučené volitelné předměty
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMIN263 | Principy počítačů a operační systémy | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NJAZ074 | Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé III | 1 | 0/2 Z | — | |
| NMMA202 | Matematická analýza 4 | 8 | — | 4/2 Z+Zk | |
| NMAG204 | Geometrie | 4 | — | 2/1 Z+Zk | |
| NMIN266 | Aplikace a využití počítačů v matematice | 2 | — | 0/2 Z | |
| NJAZ090 | Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé IV | 1 | — | 0/2 Z | |
| NMSA230 | Softwarové prostředky pro matematiku a stochastiku | 1 | 0/1 Z | — | |
3. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMAG301 | Komutativní okruhy | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NMMB307 | Teoretická kryptografie I | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMB308 | Teoretická kryptografie II | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA301 | Úvod do komplexní analýzy | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMB303 | Datové a procesní modely | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG303 | Konečná tělesa | * | 3 | 2/0 Zk | — |
| NMMB301 | Aplikovaná kryptografie 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMB304 | Samoopravné kódy | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMAG302 | Algebraické křivky | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMMB302 | Aplikovaná kryptografie 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NSZZ031 | Vypracování a konzultace bakalářské práce | 6 | — | 0/4 Z | |
| Volitelné předměty | 12 | ||||
* Místo NMAG303 lze zapsat NMMB208.
Doporučené volitelné předměty
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMAG337 | Úvod do teorie grup | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG361 | Proseminář z komutativních okruhů | 2 | 0/2 Z | — | |
| NMIN331 | Základy kombinatoriky a teorie grafů | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMMB360 | Úvod do algebraické teorie čísel | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMIN364 | Vybrané aspekty operačního systému UNIX | 2 | — | 2/0 Z | |
Shrnutí studijního plánu
Povinné předměty
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMAG101 | Lineární algebra a geometrie 1 | 8 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NMAG102 | Lineární algebra a geometrie 2 | 8 | — | 4/2 Z+Zk | |
| NMAG201 | Algebra 1 | 4 | 2/1 Z+Zk | — | |
| NMAG202 | Algebra 2 | 4 | — | 2/1 Z+Zk | |
| NMAG301 | Komutativní okruhy | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NMAG302 | Algebraické křivky | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMAG303 | Konečná tělesa | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMIN101 | Programování 1 | 5 | 2/2 Z | — | |
| NMIN102 | Programování 2 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMIN105 | Diskrétní matematika | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMIN201 | Objektově orientované programování | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMA101 | Matematická analýza 1 | 10 | 4/4 Z+Zk | — | |
| NMMA102 | Matematická analýza 2 | 10 | — | 4/4 Z+Zk | |
| NMMA201 | Matematická analýza 3 | 8 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NMMA203 | Teorie míry a integrálu | 8 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NMMA301 | Úvod do komplexní analýzy | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMB201 | Kryptografické systémy | 4 | — | 1/2 Z+Zk | |
| NMMB202 | Aplikační programování | 5 | — | 2/2 Z | |
| NMMB204 | Počítačová algebra | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMB206 | Teorie čísel a RSA | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMMB301 | Aplikovaná kryptografie 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMB302 | Aplikovaná kryptografie 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMB303 | Datové a procesní modely | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMB304 | Samoopravné kódy | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMB307 | Teoretická kryptografie I | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMB308 | Teoretická kryptografie II | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMSA202 | Pravděpodobnost a matematická statistika | 8 | — | 4/2 Z+Zk | |
| NJAZ091 | Anglický jazyk | 1 | — | 0/0 Zk | |
| NSZZ031 | Vypracování a konzultace bakalářské práce | 6 | — | 0/4 Z | |
| NTVY014 | Tělesná výchova I | 1 | 0/2 Z | — | |
| NTVY015 | Tělesná výchova II | 1 | — | 0/2 Z | |
| NTVY016 | Tělesná výchova III | 1 | 0/2 Z | — | |
| NTVY017 | Tělesná výchova IV | 1 | — | 0/2 Z | |
Doporučené volitelné předměty
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMAG160 | Proseminář z teorie čísel | 2 | — | 0/2 Z | |
| NMAG162 | Úvod do matematické logiky | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMAG166 | Ukázky aplikací matematiky | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMAG204 | Geometrie | 4 | — | 2/1 Z+Zk | |
| NMAG337 | Úvod do teorie grup | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG361 | Proseminář z komutativních okruhů | 2 | 0/2 Z | — | |
| NMIN160 | Teorie množin | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMNV361 | Fraktály a chaotická dynamika | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMIN263 | Principy počítačů a operační systémy | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMIN266 | Aplikace a využití počítačů v matematice | 2 | — | 0/2 Z | |
| NMIN331 | Základy kombinatoriky a teorie grafů | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMIN364 | Vybrané aspekty operačního systému UNIX | 2 | — | 2/0 Z | |
| NMMA202 | Matematická analýza 4 | 8 | — | 4/2 Z+Zk | |
| NMMB360 | Úvod do algebraické teorie čísel | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMB362 | Studentský kryptologický seminář | 2 | — | 0/2 Z | |
| NMSA160 | Pravděpodobnostní a statistické problémy | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMSA230 | Softwarové prostředky pro matematiku a stochastiku | 1 | 0/1 Z | — | |
| NMMB460 | Kryptoanalýza na úrovni instrukcí | 2 | — | 0/2 Z | |
| NJAZ070 | Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé I | 1 | 0/2 Z | — | |
| NJAZ072 | Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé II | 1 | — | 0/2 Z | |
| NJAZ074 | Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé III | 1 | 0/2 Z | — | |
| NJAZ090 | Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé IV | 1 | — | 0/2 Z | |
Státní závěrečná zkouška
Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce
- – Získání alespoň 180 kreditů.
- – Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
- – Odevzdání vypracované bakalářské práce ve stanoveném termínu.
Ústní část státní závěrečné zkoušky
Zkouška má přehledový charakter. Žádá se, aby posluchač prokázal pochopení základních pojmů, principů a výsledků, byl schopen je ilustrovat na příkladech a předvedl určitou míru syntézy.
Ústní část státní závěrečné zkoušky se skládá ze tří tématických okruhů: "Matematická analýza a lineární algebra", "Algebra"a "Kryptologie a teorie čísel". Z každého tématického okruhu dostane student jednu otázku.
Požadavky pro ústní část státní závěrečné zkoušky
Matematická analýza a lineární algebra
1. Posloupnosti a řady čísel a funkcí
Limity posloupností a součty řad. Kritéria absolutní a neabsolutní konvergence číselných řad. Stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí. Mocninné řady.
2. Diferenciální počet
Spojitost a derivace funkcí jedné reálné proměnné. Hlubší věty o spojitých funkcích. Věty o střední hodnotě a jejich důsledky. Vztahy monotonie a znaménka derivace. Konvexita. Taylorův polynom. Taylorovy řady.
3. Integrální počet
Primitivní funkce, určitý integrál. Základní vlastnosti, vztah k primitivní funkci. Metody výpočtu, věty o substituci a integrace per partes. Základní kritéria existence.
4. Matice a determinanty, soustavy lineárních rovnic
Základní pojmy a operace s maticemi a jejich vlastnosti. Hodnost matice. Soustavy lineárních rovnic, Gaussova eliminace, podmínky rešitelnosti. Determinanty a metody jejich výpočtu.
5. Vektorové prostory
Pojem vektorového prostoru, lineární nezávislost, lineární obal, báze a dimenze. Steinitzova věta o výměně. Podprostory a jejich dimenze. Skalární součin, ortogonalizační proces, ortonormální báze. Ortogonální projekce, metoda nejmenších čtverců a pseudoinverze. Diagonalizace a ortogonální diagonalizace. Různé typy rozkladů matic.
6. Lineární a bilineární formy
Lineární, bilineární a kvadratické formy, matice lineárních zobrazení, vlastní čísla lineárních zobrazení a matic, charakteristický polynom. Polární báze a zákon setrvačnosti pro kvadratické formy. Matice jednoduchých geometrických zobrazení.
Algebra
1. Grupy
Základní vlastnosti permutací. Příklady grup. Podgrupy, homomorfismy. Rozkladové třídy, Lagrangeova věta, normální podgrupy a faktorizace.
2. Komutativní okruhy
Základy dělitelnosti v okruzích, ireducibilní prvky, největší společný dělitel. Gaussovy obory, obory hlavních ideálů, Eukleidovy obory a rozšířený Eukleidův algoritmus.
3. Polynomy
Dělitelnost v okruzích polynomů jedné i více proměnných. Rozklady a kořeny polynomů. Gaussovo lemma. Polynomy více proměnných a afinní variety. Hilbertova věta o bázi.
4. Tělesa
Minimální polynom a stupeň rozšíření. Faktorokruhy. Kořenová a rozkladová rozšíření. Konstrukce a klasifikace konečných těles. Cykličnost konečných multiplikativních grup v tělesech.
5. Počítačová algebra.
Asymptotické chování funkcí. Základní operace s celými čísly a jejich složitost (násobení, dělení, největší společný dělitel). Diskrétní Fourierova transformace a rychlé násobení polynomů. Algoritmy na Čínskou větu o zbytcích, interpolace.
Kryptologie a teorie čísel
1. Teorie čísel
Struktura cyklické grupy (podgrupy, generátory, endomorfismy a automorfismy). Grupa invertibilních prvků, Eulerova funkce. Kvadratické zbytky, Legenderovy a Jacobiho symboly, jejich výpočet. Věta o reciprocitě. Rabinův-Millerův algoritmus. Hustota prvočísel.
2. Samoopravné kódy
Přenos informace, entropie, Shannonova věta. Lineární kódy: Hammingovy kódy, MDS kódy. Hammingův odhad a perfektní kódy. Cyklické kódy a jejich algebraická interpretace, příklady.
3. Kryptologie
Symetrická a asymetrická kryptografie, základní metody, systémy a postupy. Booleovské funkce, algebraický normální tvar, korelace a korelační matice. Lineární posuvné registry a lineární rekurentní posloupnosti. Útoky hrubou silou, diferenční a lineární kryptoanalýza.
