Numerická a výpočtová matematika
Tato stránka vychází z podkladů pro tištěné studijní plány (tzv. Karolinku).
Garantující pracoviště: Katedra numerické matematiky
Oborový garant: doc. RNDr. Václav Kučera, Ph.D.
Numerická a výpočtová matematika se zabývá zpracováním matematických modelů pomocí výpočetní techniky. Realizuje přechod od teoretické matematiky k prakticky použitelným výsledkům. S jejím použitím se lze setkat v technice a v přírodních vědách, v ekonomice, lékařských vědách aj. Student se seznámí jak s teorií výpočtových procesů a algoritmů, tak s aplikacemi v oblastech počítačového modelování, simulace a řízení složitých struktur a procesů. Důraz je kladen též na tvořivou práci s počítačem a vytváření software na vysoké úrovni.
Absolventi nacházejí uplatnění především tam, kde se systematicky používá výpočetní technika (průmysl, školství, základní i aplikovaný výzkum, veřejná správa, justice, banky apod.).
Vstupní požadavky
Předpokládáme, že student tohoto programu má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:
- – Znalost angličtiny na úrovni umožňující studium odborné literatury a sledování odborných přednášek v angličtině.
- – Diferenciální počet pro funkce jedné a několika reálných proměnných.
- – Integrální počet pro funkce jedné reálné proměnné.
- – Teorie míry, Lebesgueova míra a Lebesgueův integrál.
- – Základy lineární algebry (maticový počet, vektorové prostory).
- – Základy funkcionální analýzy (Banachovy a Hilbertovy prostory, duály, omezené operátory, kompaktní operátory).
- – Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic (základní vlastnosti řešení a maximálních řešení, soustavy lineárních rovnic, stabilita).
- – Základy teorie parciálních diferenciálních rovnic (kvazilineární rovnice prvního řádu, Laplaceova rovnice, rovnice vedení tepla, vlnová rovnice).
- – Základy numerické matematiky (numerická kvadratura, základy numerického řešení obyčejných diferenciálních rovnic, metoda konečných diferencí pro parciální diferenciální rovnice).
- – Základy analýzy maticových výpočtů (Schurova věta, ortogonální transformace, rozklady matic, základní iterační metody).
- – Diferenciální počet pro funkce jedné a několika reálných proměnných.
Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.
Doporučený průběh studia
Podrobnější informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkách https://www.mff.cuni.cz/cs/math/pro-studenty/mgr-programy.
1. rok studia
kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
NMMA405 | Parciální diferenciální rovnice 1 | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
NMNV401 | Funkcionální analýza | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
NMNV403 | Numerický software 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
NMNV405 | Metoda konečných prvků 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
NMNV411 | Algoritmy maticových iteračních metod | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
NMNV451 | Seminář numerické matematiky | 2 | 0/2 Z | — | |
NMNV406 | Nelineární diferenciální rovnice | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
NMNV412 | Analýza maticových iteračních metod – principy a souvislosti | 6 | — | 4/0 Zk | |
NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
NMNV451 | Seminář numerické matematiky | 2 | — | 0/2 Z | |
Volitelné a povinně volitelné předměty | 13 |
2. rok studia
kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
NMNV503 | Numerické metody optimalizace 1 | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
NMNV451 | Seminář numerické matematiky | 2 | 0/2 Z | — | |
NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z | |
NMNV451 | Seminář numerické matematiky | 2 | — | 0/2 Z | |
Volitelné a povinně volitelné předměty | 26 |
Shrnutí studijního plánu
Povinné předměty
kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
NMMA405 | Parciální diferenciální rovnice 1 | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
NMNV401 | Funkcionální analýza | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
NMNV403 | Numerický software 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
NMNV405 | Metoda konečných prvků 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
NMNV406 | Nelineární diferenciální rovnice | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
NMNV411 | Algoritmy maticových iteračních metod | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
NMNV412 | Analýza maticových iteračních metod – principy a souvislosti | 6 | — | 4/0 Zk | |
NMNV503 | Numerické metody optimalizace 1 | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z |
Povinně volitelné předměty
Je třeba získat alespoň 30 kreditů z povinně volitelných předmětů.
kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
NMMA406 | Parciální diferenciální rovnice 2 | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
NMNV404 | Numerický software 2 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
NMNV436 | Metoda konečných prvků 2 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
NMNV461 | Techniky aposteriorního odhadování chyby | 3 | 2/0 Zk | — | |
NMNV464 | Aposteriorní numerická analýza metodou vyvážených toků | * | 3 | — | 2/0 Zk |
NMNV531 | Inverzní úlohy a regularizace | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
NMNV532 | Paralelní maticové výpočty | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
NMNV533 | Řídké matice v numerické matematice | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
NMNV537 | Matematické metody v mechanice tekutin 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
NMNV538 | Matematické metody v mechanice tekutin 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
NMNV539 | Numerické řešení ODR | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
NMNV540 | Základy nespojité Galerkinovy metody | 3 | — | 2/0 Zk | |
NMNV543 | Aproximace funkcí 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
NMNV544 | Numerické metody optimalizace 2 | 5 | — | 2/2 Z+Zk |
* Předmět není vyučován každý rok.
Doporučené volitelné předměty
kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
NMMO401 | Mechanika kontinua | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
NMMO403 | Počítačové řešení úloh fyziky kontinua | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
NMMO599 | Počítačové řešení úloh fyziky kontinua II | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
NMMO461 | Seminář z mechaniky kontinua | 2 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
NMMO535 | Matematické metody v mechanice pevných látek | 3 | 2/0 Zk | — | |
NMMO536 | Matematické metody v mechanice stlačitelných tekutin | 3 | — | 2/0 Zk | |
NMMO537 | Sedlobodové úlohy a jejich řešení | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
NMMO539 | Matematické metody v mechanice nenewtonovských tekutin | 3 | 2/0 Zk | — | |
NMNV361 | Fraktály a chaotická dynamika | 3 | 2/0 Zk | — | |
NMNV451 | Seminář numerické matematiky | 2 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
NMNV462 | Numerické modelování problémů elektrotechniky | 3 | — | 2/0 Zk | |
NMNV468 | Numerical Linear Algebra for data science and informatics | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
NMNV561 | Bifurkační analýza dynamických systémů 1 | * | 3 | 2/0 Zk | — |
NMNV562 | Bifurkační analýza dynamických systémů 2 | * | 3 | — | 2/0 Zk |
NMNV565 | High-Performance Computing for Computational Science | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
NMNV568 | Aproximace funkcí 2 | * | 3 | — | 2/0 Zk |
NMNV571 | Víceúrovňové metody | 3 | — | 2/0 Zk | |
NMST442 | Maticové výpočty ve statistice | * | 5 | — | 2/2 Z+Zk |
* Předmět není vyučován každý rok.
Státní závěrečná zkouška
Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce
Podmínky pro přihlášení k poslední části státní závěrečné zkoušky
- – Získání alespoň 120 kreditů.
- – Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
- – Splnění povinně volitelných předmětů v rozsahu alespoň 30 kreditů.
- – Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.
- – Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
Podmínky pro přihlášení k jiné než poslední části státní závěrečné zkoušky
Rámcové podmínky jsou stanoveny vnitřním předpisem Pravidla pro organizaci studia na MFF UK. V programu Numerická a výpočtová matematika je nutné splnit tyto podmínky:- – Získání alespoň 105 kreditů.
- – Pokud je jinou než poslední částí státní závěrečné zkoušky její ústní část, je nutné splnění všech povinných předmětů studijního plánu s výjimkou NSZZ025 Diplomová práce III.
- – Pokud je jinou než poslední částí státní závěrečné zkoušky obhajoba, je nutné splnění všech povinných předmětů studijního plánu a odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.
- – Splnění povinně volitelných předmětů v rozsahu alespoň 30 kreditů.
- – Pokud je jinou než poslední částí státní závěrečné zkoušky její ústní část, je nutné splnění všech povinných předmětů studijního plánu s výjimkou NSZZ025 Diplomová práce III.
Ústní část státní závěrečné zkoušky
Při ústní zkoušce budou každému studentovi zadány tři otázky z níže uvedených tematických okruhů. Obsah těchto okruhů pokrývají povinné předměty.
Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkách https://www.mff.cuni.cz/cs/math/pro-studenty/mgr-programy.
Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky
1. Parciální diferenciální rovnice
Lineární eliptické, parabolické a hyperbolické rovnice, nelineární diferenciální rovnice
v divergenčním tvaru; Sobolevovy prostory; variační formulace; existence a vlastnosti
řešení; monotónní a potenciální operátory.
2. Metoda konečných prvků
Prostory konečných prvků a jejich aproximační vlastnosti; Galerkinova aproximace
lineárních eliptických úloh; odhady chyby; řešení nelineárních rovnic v divergenčním tvaru.
3. Numerická lineární algebra
Základní přímé a iterační maticové metody; krylovovské metody; projekce a problém
momentů; souvislost spektrální informace a konvergence.
4. Adaptivní diskretizační metody
Numerická kvadratura, odhady chyby, adaptivita; numerické metody pro obyčejné
diferenciální rovnice, odhady lokální chyby, adaptivní volba časového kroku.
5. Numerické metody optimalizace
Metody pro řešení nelineárních algebraických rovnic a jejich soustav; metody pro
minimalizaci funkcionálu bez omezení; lokální a globální konvergence metod.