Matematické struktury
Tato stránka vychází z podkladů pro tištěné studijní plány (tzv. Karolinku).
Studijní plány 2024/2025 najdete zde.
Garantující pracoviště: Katedra algebry
Oborový garant: doc. RNDr. Jan Šťovíček, Ph.D.
Program matematické struktury je na magisterské úrovni zaměřen na rozšíření všeobecného matematického základu (algebraická geometrie a topologie, Riemannova geometrie, universální algebra a teorie modelů) a na získání hlubších znalostí ve zvolených partiích algebry, geometrie, logiky, či kombinatoriky. Cílem je poskytnout na jedné straně dostatečnou všeobecnou znalost moderní strukturní matematiky, na straně druhé dovést posluchače na práh samostatné tvůrčí činnosti. Důraz je kladen na disciplíny, ve kterých jsou k dispozici vyučující, kteří se světové špičce blíží nebo do ní přímo patří.
Absolvent má velmi pokročilé znalosti algebry, geometrie, kombinatoriky a logiky, které mu v rámci hlouběji studovaného zvoleného užšího zaměření umožnily být v tvůrčím kontaktu s aktuálními vědeckými výsledky. Abstraktní povaha, rozsah a náročnost studia u absolventa podpořily rozvoj schopnosti analyzovat, strukturovat a řešit problémy složité a náročné povahy. Uplatnění nalezne vedle akademické sféry v nejrůznějších oblastech lidské činnosti na místech, kde je potřeba zvládat a využívat nové poznatky a rozsáhlé systémy.
Vstupní požadavky
Předpokládáme, že student tohoto programu má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:
- –Kvalitní základy lineární algebry, komplexní a reálné analýzy,
teorie pravděpodobnosti.
- –Základy teorie grup a jejich reprezentací (Sylowovy věty, volné grupy, nilpotence, Maschkeho věta), analýzy na varietách, komutativní algebry (Galoisova teorie a celistvá rozšíření), matematické logiky (výroková logika a logika prvního řádu, neúplnost, nerozhodnutelnost), teorie množin a teorie kateogrií.
- –Pasivní znalost angličtiny umožňující dostatečné porozumění matematickým přednáškám a odborným textům.
- –Základy teorie grup a jejich reprezentací (Sylowovy věty, volné grupy, nilpotence, Maschkeho věta), analýzy na varietách, komutativní algebry (Galoisova teorie a celistvá rozšíření), matematické logiky (výroková logika a logika prvního řádu, neúplnost, nerozhodnutelnost), teorie množin a teorie kateogrií.
U konkrétních zaměření je pak výhodou (ale ne nezbytností) hlubší znalost kombinatoriky, teorie reprezentací asociativních algeber (podmínky konečnosti, projektivita a injektivita modulu) nebo teorie Lieových grup a algeber.
Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.
Doporučený průběh studia
Program matematické struktury je charakteristický širokým výběrem předmětů ke studiu a problémů k řešení v diplomové práci. Při výběru volitelných a povinně volitelných předmětů je potřeba pouze splnit podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce (níže) a připravit se k této zkoušce na jedno ze čtyř užších zaměření programu. Konkrétně je tedy v průběhu studia kromě povinných předmětů nutné
- –získat alespoň 8 kreditů za předměty ze skupiny Povinně volitelné předměty 2
a
- –absolvovat předměty poskytující odpovídající znalosti ke státní závěrečné zkoušce podle podrobnějších informací na stránce https://www.mff.cuni.cz/cs/math/pro-studenty/magisterske-statnice/str
Podrobnější informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkách https://www.mff.cuni.cz/cs/math/pro-studenty/magisterske-statnice/doporuceny-prubeh-str.
1. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMAG401 | Algebraická geometrie | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG409 | Algebraická topologie 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG411 | Riemannova geometrie 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
| Volitelné a povinně volitelné předměty | 39 | ||||
2. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
| NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z | |
| Volitelné a povinně volitelné předměty | 36 | ||||
Shrnutí studijního plánu
Povinné předměty
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMAG401 | Algebraická geometrie | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG409 | Algebraická topologie 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG411 | Riemannova geometrie 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
| NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
| NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z | |
Povinně volitelné předměty 1
Je třeba získat alespoň 48 kreditů z povinně volitelných předmětů.
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NDMI009 | Základy kombinatorické a výpočetní geometrie | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NDMI013 | Kombinatorická a výpočetní geometrie 2 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NDMI014 | Topologické metody v kombinatorice | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NDMI028 | Aplikace lineární algebry v kombinatorice | * | 5 | 2/2 Z+Zk | — |
| NDMI045 | Analytická a kombinatorická teorie čísel | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NDMI073 | Kombinatorika a grafy 3 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG331 | Matematická logika | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMAG403 | Kombinatorika | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG405 | Universální algebra 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG407 | Teorie modelů | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMAG430 | Algebraická teorie čísel | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMAG431 | Kombinatorická teorie grup | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMAG433 | Riemannovy plochy | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMAG434 | Kategorie modulů a homologická algebra | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NMAG435 | Teorie svazů | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMAG436 | Křivky a funkční tělesa | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMAG437 | Seminář z diferenciální geometrie | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMAG438 | Reprezentace grup 1 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMAG439 | Úvod do teorie množin 2 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMAG442 | Teorie reprezentací konečně-dimenzionálních algeber | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMAG444 | Kombinatorika na slovech | * | 3 | 2/0 Zk | — |
| NMAG446 | Logika a složitost | * | 3 | — | 2/0 Zk |
| NMAG448 | Klasické grupy a jejich invarianty | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMAG450 | Universální algebra 2 | 4 | — | 2/1 Z+Zk | |
| NMAG454 | Fibrované prostory a kalibrační pole | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMAG455 | Kvadratické formy a třídová tělesa I | * | 3 | 2/0 Zk | — |
| NMAG456 | Kvadratické formy a třídová tělesa II | * | 3 | — | 2/0 Zk |
| NMAG458 | Algebraické invarianty v teorii uzlů | 4 | 2/1 Zk | — | |
| NMAG462 | Modulární formy a L-funkce I | * | 3 | 2/0 Zk | — |
| NMAG473 | Modulární formy a L-funkce II | * | 3 | — | 2/0 Zk |
| NMAG475 | Výběrový seminář z MSTR | 2 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMAG481 | Seminář z harmonické analýzy | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMAG498 | Výběrová přednáška z MSTR 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMAG499 | Výběrová přednáška z MSTR 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMAG531 | Aproximace modulů | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMAG532 | Algebraická topologie 2 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMAG533 | Principy harmonické analýzy | * | 6 | 3/1 Z+Zk | — |
| NMAG534 | Nekomutativní harmonická analýza | * | 6 | — | 3/1 Z+Zk |
| NMAG535 | Výpočetní logika | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG536 | Důkazová složitost a P vs. NP problém | * | 3 | — | 2/0 Zk |
| NMAG537 | Vybraná témata z teorie množin | * | 3 | 2/0 Zk | — |
| NMAG538 | Komutativní algebra | 6 | — | 4/0 Zk | |
| NMAG563 | Úvod do složitosti CSP | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMAG569 | Matematické metody kvantové teorie pole | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMAG575 | Forsing | * | 3 | 2/0 Zk | — |
| NMAL430 | Latinské čtverce a neasociativní struktury | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMB413 | Algoritmy na polynomech | 4 | 2/1 Z+Zk | — | |
| NMMB415 | Automaty a výpočetní složitost | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NMMB430 | Algoritmy na eliptických křivkách | 4 | — | 2/1 Z+Zk | |
| NMMB432 | Náhodnost a výpočty | 4 | — | 2/1 Zk | |
| NMMB433 | Geometrie pro počítačovou grafiku | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMB538 | Eliptické křivky a kryptografie | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NTIN022 | Pravděpodobnostní techniky | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
* Předmět je vyučován pouze jednou za dva roky.
Povinně volitelné předměty 2
Tyto předměty jsou také prvky skupiny Povinně volitelných předmětů 1. Alespoň 8 kreditů ze 48 kreditů ze skupiny Povinně volitelných předmětů 1 musí být z následujícího užšího výběru.
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMAG403 | Kombinatorika | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG405 | Universální algebra 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG407 | Teorie modelů | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMAG438 | Reprezentace grup 1 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMMB415 | Automaty a výpočetní složitost | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
Státní závěrečná zkouška
Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce
Podmínky pro přihlášení k poslední části státní závěrečné zkoušky
- – Získání alespoň 120 kreditů.
- – Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
- – Splnění Povinně volitelných předmětů 1 v rozsahu alespoň 48 kreditů. Z toho alespoň 8 kreditů z užšího výběru Povinně volitelných předmětů 2.
- – Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.
- – Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
Podmínky pro přihlášení k jiné než poslední části státní závěrečné zkoušky
Rámcové podmínky jsou stanoveny vnitřním předpisem Pravidla pro organizaci studia na MFF UK a v programu Matematícké struktury je nutné splnit tyto podmínky:
- – Získání alespoň 105 kreditů.
- – Pokud je jinou než poslední částí státní závěrečné zkoušky její ústní část, je nutné splnění všech povinných předmětů studijního plánu s výjimkou NSZZ025 Diplomová práce III.
- – Pokud je jinou než poslední částí státní závěrečné zkoušky obhajoba, je nutné splnění všech povinných předmětů a odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.
- – Splnění Povinně volitelných předmětů 1 v rozsahu alespoň 48 kreditů. Z toho alespoň 8 kreditů z užšího výběru Povinně volitelných předmětů 2.
- – Pokud je jinou než poslední částí státní závěrečné zkoušky její ústní část, je nutné splnění všech povinných předmětů studijního plánu s výjimkou NSZZ025 Diplomová práce III.
Ústní část státní závěrečné zkoušky
Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního programu Matematické struktury se skládá ze společných požadavků z tematického okruhu 1. Matematické struktury a z požadavků užšího zaměření. Toto zaměření si posluchač určí volbou jednoho z tematických okruhů 2, 3, 4 nebo 5 uvedených níže.
Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkách https://www.mff.cuni.cz/cs/math/pro-studenty/mgr-programy/mgr-str-garant/str.
Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky
Společné požadavky
1. Matematické struktury
Algebraická geometrie. Algebraická topologie.
Užší zaměření
2. Algebra a logika
Konečné grupy a jejich reprezentace. Kombinatorická teorie grup. Binární systémy. Pokročilá universální algebra. Složitost a vyčíslitelnost. Logika prvního řádu. Nerozhodnutelnost v algebraických systémech. Eliminace kvantifikátorů.
3. Geometrie
Harmonická analýza a invarianty klasických grup. Riemannovy plochy. Fíbrované prostory a kovariantní derivace.
4. Teorie reprezentací
Reprezentace grup. Reprezentace konečně dimenzionálních algeber. Kombinatorická teorie grup. Homologická algebra.
5. Kombinatorika
Aplikace lineární algebry a užití pravděpodobnostní metody v kombinatorice a teorii grafů. Analytická a kombinatorická teorie čísel. Kombinatorická a výpočetní geometrie. Strukturální a algoritmická teorie grafů.
