Matematické struktury

Tato stránka vychází z podkladů pro tištěné studijní plány (tzv. Karolinku).

Garantující pracoviště: Katedra algebry
Oborový garant: doc. RNDr. Jan Šťovíček, Ph.D.

Program matematické struktury je na magisterské úrovni zaměřen na rozšíření všeobecného matematického základu (algebraická geometrie a topologie, Riemannova geometrie, universální algebra a teorie modelů) a na získání hlubších znalostí ve zvolených partiích algebry, geometrie, logiky, či kombinatoriky. Cílem je poskytnout na jedné straně dostatečnou všeobecnou znalost moderní strukturní matematiky, na straně druhé dovést posluchače na práh samostatné tvůrčí činnosti. Důraz je kladen na disciplíny, ve kterých jsou k dispozici vyučující, kteří se světové špičce blíží nebo do ní přímo patří.

Absolvent má velmi pokročilé znalosti algebry, geometrie, kombinatoriky a logiky, které mu v rámci hlouběji studovaného zvoleného užšího zaměření umožnily být v tvůrčím kontaktu s aktuálními vědeckými výsledky. Abstraktní povaha, rozsah a náročnost studia u absolventa podpořily rozvoj schopnosti analyzovat, strukturovat a řešit problémy složité a náročné povahy. Uplatnění nalezne vedle akademické sféry v nejrůznějších oblastech lidské činnosti na místech, kde je potřeba zvládat a využívat nové poznatky a rozsáhlé systémy.

Vstupní požadavky

Předpokládáme, že student tohoto programu má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:

Kvalitní základy lineární algebry, komplexní a reálné analýzy, teorie pravděpodobnosti.
Základy teorie grup a jejich reprezentací (Sylowovy věty, volné grupy, nilpotence, Maschkeho věta), analýzy na varietách, komutativní algebry (Galoisova teorie a celistvá rozšíření), matematické logiky (výroková logika a logika prvního řádu, neúplnost, nerozhodnutelnost), teorie množin a teorie kateogrií.
Pasivní znalost angličtiny umožňující dostatečné porozumění matematickým přednáškám a odborným textům.

U konkrétních zaměření je pak výhodou (ale ne nezbytností) hlubší znalost kombinatoriky, teorie reprezentací asociativních algeber (podmínky konečnosti, projektivita a injektivita modulu) nebo teorie Lieových grup a algeber.

Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.

Doporučený průběh studia

Program matematické struktury je charakteristický širokým výběrem předmětů ke studiu a problémů k řešení v diplomové práci. Při výběru volitelných a povinně volitelných předmětů je potřeba pouze splnit podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce (níže) a připravit se k této zkoušce na jedno ze čtyř užších zaměření programu. Konkrétně je tedy v průběhu studia kromě povinných předmětů nutné

získat alespoň 8 kreditů za předměty ze skupiny Povinně volitelné předměty 2 a 
absolvovat předměty poskytující odpovídající znalosti ke státní závěrečné zkoušce podle podrobnějších informací na stránce https://www.mff.cuni.cz/cs/math/pro-studenty/magisterske-statnice/str

Podrobnější informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkách https://www.mff.cuni.cz/cs/math/pro-studenty/magisterske-statnice/doporuceny-prubeh-str.

1. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
NMAG401Algebraická geometrie 52/2 Z+Zk
NMAG409Algebraická topologie 1 52/2 Z+Zk
NMAG411Riemannova geometrie 1 52/2 Z+Zk
NSZZ023Diplomová práce I 60/4 Z
 Volitelné a povinně volitelné předměty 39  

2. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
NSZZ024Diplomová práce II 90/6 Z
NSZZ025Diplomová práce III 150/10 Z
 Volitelné a povinně volitelné předměty 36  

Shrnutí studijního plánu

Povinné předměty

kódPředmětKredityZSLS
NMAG401Algebraická geometrie 52/2 Z+Zk
NMAG409Algebraická topologie 1 52/2 Z+Zk
NMAG411Riemannova geometrie 1 52/2 Z+Zk
NSZZ023Diplomová práce I 60/4 Z
NSZZ024Diplomová práce II 90/6 Z
NSZZ025Diplomová práce III 150/10 Z

Povinně volitelné předměty 1

Je třeba získat alespoň 48 kreditů z povinně volitelných předmětů.

kódPředmětKredityZSLS
NDMI009Základy kombinatorické a výpočetní geometrie 52/2 Z+Zk
NDMI013Kombinatorická a výpočetní geometrie 2 52/2 Z+Zk
NDMI014Topologické metody v kombinatorice 52/2 Z+Zk
NDMI028Aplikace lineární algebry v kombinatorice*52/2 Z+Zk
NDMI045Analytická a kombinatorická teorie čísel 32/0 Zk
NDMI073Kombinatorika a grafy 3 52/2 Z+Zk
NMAG331Matematická logika 32/0 Zk
NMAG403Kombinatorika 52/2 Z+Zk
NMAG405Universální algebra 1 52/2 Z+Zk
NMAG407Teorie modelů 32/0 Zk
NMAG430Algebraická teorie čísel 63/1 Z+Zk
NMAG431Kombinatorická teorie grup 63/1 Z+Zk
NMAG433Riemannovy plochy 32/0 Zk
NMAG434Kategorie modulů a homologická algebra 63/1 Z+Zk
NMAG435Teorie svazů 32/0 Zk
NMAG436Křivky a funkční tělesa 63/1 Z+Zk
NMAG437Seminář z diferenciální geometrie 30/2 Z0/2 Z
NMAG438Reprezentace grup 1 52/2 Z+Zk
NMAG439Úvod do teorie množin 2 32/0 Zk
NMAG442Teorie reprezentací konečně-dimenzionálních algeber 63/1 Z+Zk
NMAG444Kombinatorika na slovech*32/0 Zk
NMAG446Logika a složitost*32/0 Zk
NMAG448Klasické grupy a jejich invarianty 52/2 Z+Zk
NMAG450Universální algebra 2 42/1 Z+Zk
NMAG454Fibrované prostory a kalibrační pole 63/1 Z+Zk
NMAG455Kvadratické formy a třídová tělesa I*32/0 Zk
NMAG456Kvadratické formy a třídová tělesa II*32/0 Zk
NMAG458Algebraické invarianty v teorii uzlů 42/1 Zk
NMAG462Modulární formy a L-funkce I*32/0 Zk
NMAG473Modulární formy a L-funkce II*32/0 Zk
NMAG475Výběrový seminář z MSTR 20/2 Z0/2 Z
NMAG481Seminář z harmonické analýzy 30/2 Z0/2 Z
NMAG498Výběrová přednáška z MSTR 1 32/0 Zk
NMAG499Výběrová přednáška z MSTR 2 32/0 Zk
NMAG531Aproximace modulů 32/0 Zk
NMAG532Algebraická topologie 2 52/2 Z+Zk
NMAG533Principy harmonické analýzy*63/1 Z+Zk
NMAG534Nekomutativní harmonická analýza*63/1 Z+Zk
NMAG535Výpočetní logika 52/2 Z+Zk
NMAG536Důkazová složitost a P vs. NP problém*32/0 Zk
NMAG537Vybraná témata z teorie množin*32/0 Zk
NMAG538Komutativní algebra 64/0 Zk
NMAG563Úvod do složitosti CSP 32/0 Zk
NMAG569Matematické metody kvantové teorie pole 30/2 Z0/2 Z
NMAG575Forsing*32/0 Zk
NMAL430Latinské čtverce a neasociativní struktury 32/0 Zk
NMMB413Algoritmy na polynomech 42/1 Z+Zk
NMMB415Automaty a výpočetní složitost 63/1 Z+Zk
NMMB430Algoritmy na eliptických křivkách 42/1 Z+Zk
NMMB432Náhodnost a výpočty 42/1 Zk
NMMB433Geometrie pro počítačovou grafiku 32/0 Zk
NMMB538Eliptické křivky a kryptografie 63/1 Z+Zk
NTIN022Pravděpodobnostní techniky 52/2 Z+Zk

* Předmět je vyučován pouze jednou za dva roky.

Povinně volitelné předměty 2

Tyto předměty jsou také prvky skupiny Povinně volitelných předmětů 1. Alespoň 8 kreditů ze 48 kreditů ze skupiny Povinně volitelných předmětů 1 musí být z následujícího užšího výběru.

kódPředmětKredityZSLS
NMAG403Kombinatorika 52/2 Z+Zk
NMAG405Universální algebra 1 52/2 Z+Zk
NMAG407Teorie modelů 32/0 Zk
NMAG438Reprezentace grup 1 52/2 Z+Zk
NMMB415Automaty a výpočetní složitost 63/1 Z+Zk

Státní závěrečná zkouška

Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce

Podmínky pro přihlášení k poslední části státní závěrečné zkoušky

Získání alespoň 120 kreditů.
Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
Splnění Povinně volitelných předmětů 1 v rozsahu alespoň 48 kreditů. Z toho alespoň 8 kreditů z užšího výběru Povinně volitelných předmětů 2.
Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.

Podmínky pro přihlášení k jiné než poslední části státní závěrečné zkoušky

Rámcové podmínky jsou stanoveny vnitřním předpisem Pravidla pro organizaci studia na MFF UK a v programu Matematícké struktury je nutné splnit tyto podmínky:

Získání alespoň 105 kreditů.
Pokud je jinou než poslední částí státní závěrečné zkoušky její ústní část, je nutné splnění všech povinných předmětů studijního plánu s výjimkou NSZZ025 Diplomová práce III.
Pokud je jinou než poslední částí státní závěrečné zkoušky obhajoba, je nutné splnění všech povinných předmětů a odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.
Splnění Povinně volitelných předmětů 1 v rozsahu alespoň 48 kreditů. Z toho alespoň 8 kreditů z užšího výběru Povinně volitelných předmětů 2.

Ústní část státní závěrečné zkoušky

Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního programu Matematické struktury se skládá ze společných požadavků z tematického okruhu 1. Matematické struktury a z požadavků užšího zaměření. Toto zaměření si posluchač určí volbou jednoho z tematických okruhů 2, 3, 4 nebo 5 uvedených níže.

Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkách https://www.mff.cuni.cz/cs/math/pro-studenty/mgr-programy/mgr-str-garant/str.

Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky

Společné požadavky

1. Matematické struktury
Algebraická geometrie. Algebraická topologie.

Užší zaměření

2. Algebra a logika
Konečné grupy a jejich reprezentace. Kombinatorická teorie grup. Binární systémy. Pokročilá universální algebra. Složitost a vyčíslitelnost. Logika prvního řádu. Nerozhodnutelnost v algebraických systémech. Eliminace kvantifikátorů.

3. Geometrie
Harmonická analýza a invarianty klasických grup. Riemannovy plochy. Fíbrované prostory a kovariantní derivace.

4. Teorie reprezentací
Reprezentace grup. Reprezentace konečně dimenzionálních algeber. Kombinatorická teorie grup. Homologická algebra.

5. Kombinatorika
Aplikace lineární algebry a užití pravděpodobnostní metody v kombinatorice a teorii grafů. Analytická a kombinatorická teorie čísel. Kombinatorická a výpočetní geometrie. Strukturální a algoritmická teorie grafů.