Požadavky ke státnicím z Matematických struktur

Vysvětlení požadavků k magisterským státnicím z Matematických struktur pro studenty, kteří zahájili studium v roce 2020/2021 nebo později.

1. Matematické struktury (společné požadavky)

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMAG401 Algebraická geometrie
NMAG409 Algebraická topologie 1

Detaily ke společným požadavkům

Algebraická geometrie: Zariského topologie, ireducibilní komponenty algebraických množin, souřadnicové okruhy a polynomiální zobrazení, funkční tělesa a racionální zobrazení, biracionální ekvivalence, Hilbertova věta o nulách a její důsledky, lokální okruhy variety v bodech a diskrétní valuační obory, projektivní variety a projektivní eliminace, Bézoutova věta, popis variet pomocí svazku regulárních funkcí.

Algebraická topologie: Homotopie a homotopické typy topologických prostorů, buněčné komplexy, fundamentální grupa, Van Kampenova věta, nakrývající prostory a jejich klasifikace, grupa nakrývacích transformací, singulární a simpliciální homologie a jejich ekvivalence, exaktní posloupnosti homologických grup, věta o výřezu, Mayer-Vietorisova posloupnost, buněčná homologie, axiomatizace homologických teorií.

2. Užší zaměření (dle volby posluchače)

Posluchač si vybere jeden ze čtyř tematických okruhů 2A – 2D a po dohodě s předsedou komise si z tohoto okruhu zvolí ke státní závěrečné zkoušce 2 témata.

Předpokládá se, že posluchač této volbě témat přizpůsobil volbu přednášek v magisterském studiu, aby získal požadované znalosti.

2A. Algebra a logika

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMAG405 Universální algebra 1
NMAG450 Universální algebra 2
NMMB415 Automaty a výpočetní složitost
NMAG407 Teorie modelů
NMAG331 Matematická logika
NMAG431 Kombinatorická teorie grup
NMAG438 Reprezentace grup 1

Detaily k požadavkům - student si zvolí dvě z následujících témat:

Grupy: Reprezentace grup a grupové algebry, Maschkeho věta, charaktery ireducibilních reprezentací. Centrum grupové algebry, konjugační třídy a rozklad regulární reprezentace. Diskrétní Fourierova transformace na konečné grupě. Prezentace grup, Nielsen-Schreierova věta.

Univerzální algebra: Podalgebry, kongruence, homomorfismy a věty o izomorfismech. Direktní a subdirektní rozklady. Volné algebry, Birkhoffova věta o vztahu variet a rovnicových teorií. Algebraické a relační klony, jejich vztah. Maľcevské podmínky (permutabilita kongruencí, Jónssonovy a Taylorovy termy). Abelovskost a afinní reprezentace.

Kombinatorické a výpočetní aspekty: Turingovy stroje, univerzální stroj a nerozhodnutelné problémy (halting problem, příklady z algebry, Church-Gödelova věta). Třídy složitosti P a NP, splnitelnost booleovských formulí (Cook-Levinova věta), další příklady NP-úplných problémů a redukcí. Automaty a regulární jazyky. Přepisující systémy, Knuth-Bendixův algoritmus.

Logika prvního řádu: Věta o kompaktnosti a její aplikace. Ax-Grothendieckova věta o injektivních polynomiálních zobrazeních na tělese komplexních čísel. Eliminace kvantifikátorů a příklady (teorie hustého lineárního uspořádání a teorie algebraicky uzavřených těles). Příklad důsledku pro definovatelné množiny; o-minimalita reálně uzavřených těles za předpokladu eliminace kvantifikátorů pro teorii reálně uzavřených těles.

2B. Geometrie

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMAG411 Riemannova geometrie 1
NMAG433 Riemannovy plochy
NMAG448 Klasické grupy a jejich invarianty
NMAG454 Fibrované prostory a kalibrační pole
NMAG532 Algebraická topologie 2
NMAG533 Principy harmonické analýzy
NMAG534 Nekomutativní harmonická analýza

Vysvětlení požadavků - student si zvolí dvě z následujících témat:

Fíbrované prostory a kovariantní derivace: Tensorová pole na varietách, Riemannovy variety, Levi-Civitova konexe a její kovariatní derivace, paralelní přenos a pojem geodetiky, křivost a torze konexe a jejich geometricky význam, komponenty tensoru křivosti – jejich symetrie a geometrický význam. Laplace-Beltramiho operátor na Riemannově varietě. Hlavní a asociované fíbrované prostory, automorfismy fíbrovanych prostorů. Bianchiho identity, Maurer-Cartanova rovnice. Chern-Weilova teorie, charakteristické třídy.

Riemannovy plochy: Mnohoznačné analytické funkce, Riemannovy plochy, holomorfní a meromorfní funkce na Riemannových plochách, divizory, globální vlastnosti holomorfních zobrazení Riemannovych ploch, tělesa meromorfních funkcí Riemannových ploch, topologické vlastnosti Riemannovych ploch, Hurwitzova věta.

Klasické grupy a jejich invarianty: Klasické lineární algebraické grupy, jejich Lieovy algebry, jejich struktura, jejich regulární reprezentace, diferenciál reprezentace, úplná rozložitelnost, klasifikace pomocí nejvyšších vah. První fundamentální věta teorie invariantů pro grupy GL(m), Sp(n) a O(m). Schur-Weylova dualita, Weylova algebra a Howeova dualita.

Harmonická analýza: Lokálně kompaktní grupy, Haarova míra, základy teorie C*-algeber, Gelfandova transformace, universální obalující algebra a Verma moduly.

Pokročilejší partie algebraické topologie: Kohomologické grupy, věta o univerzálních koeficientech, cup a cap součin, kohomologický okruh, Künnethova formule, vztah orientace a homologie, Poincarého dualita, homotopické grupy.

2C. Teorie reprezentací

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMAG438 Reprezentace grup 1
NMAG431 Kombinatorická teorie grup
NMAG442 Teorie reprezentaci konečně dimenzionálních algeber
NMAG434 Kategorie modulů a homologická algebra
NMAG538 Komutativní algebra
NMAG401 Algebraická geometrie

Vysvětlení požadavků - student si zvolí dvě z následujících témat:

Grupy: Reprezentace grup a grupové algebry, Maschkeho věta, charaktery ireducibilních reprezentací. Centrum grupové algebry, konjugační třídy a rozklad regulární reprezentace. Diskrétní Fourierova transformace na konečné grupě. Prezentace grup, Nielsen-Schreierova věta.

Konečně dimenzionální algebry: Reprezentace toulců a algebry cest, rozklady a Krull-Schmidtova věta. Algebry nad algebraicky uzavřeným tělesem (obecné konečně dimenzionální algebry a Moritovské ekvivalence s algebrami cest s relacemi). Dědičné algebry a jejich reprezentační typ.

Homologická algebra: Tenzorový součin, Moritovská ekvivalence, funktory Ext a Tor, vztah funktoru Ext k rozšiřování modulů.

Komutativní algebra: Lokalizace, ploché moduly a okruhové homomorfismy, celistvá rozšíření a zdvihání prvoideálů, zúplnění, Artin-Reesovo lemma a Krulova věta o průniku, Krullova dimenze a Krullova věta o hlavním ideálu, regulární posloupnosti a Koszulovy komplexy, regulární, Gorensteinovy a Cohen-Macaulayovy okruhy, homologická charakterizace regularity.

2D. Kombinatorika

Předměty potřebné k pokrytí požadované látky

NMAG403 Kombinatorika
NDMI013 Kombinatorická a výpočetní geometrie II
NDMI028 Aplikace lineární algebry v kombinatorice
NDMI073 Kombinatorika a grafy III
NTIN022 Pravděpodobnostní metoda
NMMB415 Automaty a výpočetní složitost
NDMI045 Analytická a kombinatorická teorie čísel
NMAG430 Algebraická teorie čísel

Vysvětlení požadavků - student si zvolí dvě z následujících témat:

Teorie grafů: Rovinné grafy a grafy na plochách vyšších rodů, barevnost a vybíravost, hranová barevnost (Vizingova věta), algoritmy pro párovaní v bipartitních a obecných grafech, perfektní párovaní v bipartitních a obecných grafech (Hallova a Tutteova veta). Szemerediho regularity lemma, stromový zdvih grafů, algoritmy na grafech omezeného zdvihu, spektrální teorie grafů (vlastní čísla grafů, Mooreovy grafy, proplétání vlastních čísel principální podmatice).

Užití pravděpodobnostních technik v kombinatorice a teorii grafů: Základní pravděpodobnostní metoda, linearita střední hodnoty, metoda modifikace, použití variance. Lovászovo lokální lemma. Pseudonáhodnost a explicitní konstrukce. Odhady Černovova typu.

Kombinatorická a výpočetní geometrie: Geometrické pravděpodobnostní algoritmy, kombinatorické vlastnosti souboru nadrovin, geometrické vyhledávání, lineární programování v malé dimenzi.

Pravidelné kombinatorické struktury: Steinerovy systémy trojic, Hadamardovy matice, bloková schémata, Bruck-Ryser-Chowlova věta, konečné projektivní roviny a geometrie.

Teorie čísel: Diofantické aproximace (Dirichletova věta, Fareyovy zlomky, transcendentní čísla). Diofantické rovnice (Pellova rovnice, Thueho rovnice, věta o 4 čtvercích, 10. Hilbertův problém). Prvočísla (odhady prvočíselné funkce, Dirichletova věta). Číselná tělesa (norma, diskriminant, celistvé prvky, rozklady prvočísel). Geometrie čísel (mřížky, Minkowského věta, jednotky a třídová grupa).