Matematická analýza
Tato stránka vychází z podkladů pro tištěné studijní plány (tzv. Karolinku).
Garantující pracoviště: Katedra matematické analýzy
Oborový garant: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc.
Matematická analýza zahrnuje řadu oblastí matematiky — teorii funkcí reálné a komplexní proměnné, teorii míry a integrálu, funkcionální analýzu, obyčejné i parciální diferenciální rovnice, teorii potenciálu aj. Jejich vývoj byl inspirován také potřebami fyziky, biologie, ekonomie a jiných věd. Díky velmi vysoké adaptabilitě získané studiem a schopnosti podílet se tvořivě na řešení problémů z celé řady oborů je uplatnění absolventů značně univerzální a není omezeno na pracoviště s čistě badatelským zaměřením.
Studijní program Matematická analýza má dva studijní plány — jeden pro studenty, kteří začali studovat v roce 2020 nebo 2021, a jeden pro studenty, kteří začali studovat v roce 2022 nebo později.
Studijní plán pro studenty s počátkem studia v roce 2022 nebo později
Vstupní požadavky
Předpokládáme, že student tohoto programu má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:
- – Znalost angličtiny na úrovni umožňující studium odborné literatury a sledování odborných přednášek v angličtině
- – Diferenciální počet jedné a několika reálných proměnných
- – Integrální počet jedné reálné proměnné
- – Teorie míry, Lebesgueova míra a Lebesgueův integrál
- – Základy algebry (maticový počet, vektorové prostory)
- – Základy obecné topologie (metrické a topologické prostory, úplnost a kompaktnost)
- – Základy komplexní analýzy (Cauchyova věta, reziduová věta)
- – Základy funkcionální analýzy (Banachovy a Hilbertovy prostory, duály, slabá konvergence, omezené operátory, kompaktní operátory, Fourierova transformace)
- – Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic (základní vlastnosti řešení a maximálních řešení, soustavy lineárních rovnic, stabilita)
- – Základy teorie parciálních diferenciálních rovnic (kvazilineární rovnice prvního řádu, Laplaceova rovnice a rovnice vedení tepla — klasické řešení a princip maxima, vlnová rovnice — klasické řešení, konečná rychlost šíření vlny)
- – Diferenciální počet jedné a několika reálných proměnných
Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.
Doporučený průběh studia
Doplňující informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkách https://www.mff.cuni.cz/cs/math/pro-studenty/mgr-programy/mgr-analyza-garant/ma-dopln-sp.
1. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMA401 | Funkcionální analýza 1 | 8 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NMMA403 | Reálné funkce 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA405 | Parciální diferenciální rovnice 1 | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NMMA407 | Obyčejné diferenciální rovnice 2 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMA402 | Funkcionální analýza 2 | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMA406 | Parciální diferenciální rovnice 2 | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMA410 | Komplexní analýza | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
| Volitelné a povinně volitelné předměty | 13 | ||||
2. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
| NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z | |
| Volitelné a povinně volitelné předměty | 36 | ||||
Shrnutí studijního plánu
Povinné předměty
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMA401 | Funkcionální analýza 1 | 8 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NMMA402 | Funkcionální analýza 2 | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMA403 | Reálné funkce 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA405 | Parciální diferenciální rovnice 1 | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NMMA406 | Parciální diferenciální rovnice 2 | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMA407 | Obyčejné diferenciální rovnice 2 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMA410 | Komplexní analýza | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
| NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
| NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z | |
Povinně volitelné předměty
Skupina I.
Tuto skupinu tvoří přednášky, které jsou úvodem do jednotlivých oblastí výzkumu v matematické analýze, do aplikací matematické analýzy či do vybraných oblastí jiných oborů, které s matematickou analýzou souvisejí. Za předměty z této skupiny je třeba získat alespoň 21 kreditů. Některé z těchto předmětů nejsou vyučovány každý rok, ale pouze jednou za dva roky.
Část kreditů z tohoto počtu je možné získat za předměty absolvované během stáží na zahraničních univerzitách, pokud jsou tyto předměty ekvivalentní některému z vyjmenovaných. Kromě toho lze započítat až 8 kreditů za předměty absolvované během stáží, i když nejsou ekvivalentní žádnému z vyjmenovaných, pokud splňují podmínky pro povinně volitelné přednášky uvedené v první větě předchozího odstavce a pokud je předem schválí garant programu.
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMAG409 | Algebraická topologie 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG433 | Riemannovy plochy | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA404 | Reálné funkce 2 | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA433 | Deskriptivní teorie množin 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA434 | Deskriptivní teorie množin 2 | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA435 | Topologické metody ve funkcionální analýze 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA436 | Topologické metody ve funkcionální analýze 2 | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA437 | Derivace a integrál pro pokročilé 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA438 | Derivace a integrál pro pokročilé 2 | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA440 | Diferenciální rovnice v Banachových prostorech | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA501 | Nelineární funkcionální analýza 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMA502 | Nelineární funkcionální analýza 2 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMMA531 | Parciální diferenciální rovnice 3 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA533 | Úvod do teorie interpolací 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA534 | Úvod do teorie interpolací 2 | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMO401 | Mechanika kontinua | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMO532 | Matematická teorie Navierových-Stokesových rovnic | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMO536 | Matematické metody v mechanice stlačitelných tekutin | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMNV405 | Metoda konečných prvků 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
Skupina II.
Tuto skupinu tvoří vybrané vědecké či pracovní semináře. Za předměty z této skupiny je třeba získat alespoň 12 kreditů (za každý z těchto seminářů lze získat 3 kredity za každý semestr). Semináře lze zapisovat opakovaně.
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMA431 | Seminář z diferenciálních rovnic | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA452 | Seminář z parciálních diferenciálních rovnic | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA454 | Seminář z prostorů funkcí | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA455 | Seminář z reálné a abstraktní analýzy | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA456 | Seminář z teorie reálných funkcí | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA457 | Seminář ze základních vlastností prostorů funkcí | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA458 | Topologický seminář | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA459 | Seminář ze základů funkcionální analýzy | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
Doporučené volitelné předměty
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMA462 | Obecná topologie 2 | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMMA466 | Aplikace diferenciálních rovnic v biologii | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA479 | Kapitoly z diskrétních dynamických systémů | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA481 | Vybrané partie z harmonické analýzy 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA482 | Vybrané partie z harmonické analýzy 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA563 | Derivace a integrál pro pokročilé 3 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA564 | Derivace a integrál pro pokročilé 4 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA565 | Úvod do teorie aproximací 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA566 | Úvod do teorie aproximací 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA575 | Topologické a geometrické vlastnosti konvexních množin 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA576 | Topologické a geometrické vlastnosti konvexních množin 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA577 | Kvazikonformní zobrazení 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA578 | Kvazikonformní zobrazení 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA654 | Úvod do topologických grup | 3 | — | 2/0 Zk | |
Státní závěrečná zkouška
Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce
- – Získání alespoň 120 kreditů.
- – Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
- – Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny I. v rozsahu alespoň 21 kreditů.
- – Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny II. v rozsahu alespoň 12 kreditů.
- – Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.
- – Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
Ústní část státní závěrečné zkoušky
Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního programu Matematická analýza se skládá ze čtyř okruhů, jimiž jsou Reálná a komplexní analýza, Funkcionální analýza, Obyčejné diferenciální rovnice a Parciální diferenciální rovnice. Z každého okruhu dostane uchazeč zpravidla jednu otázku.
Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkách https://www.mff.cuni.cz/cs/math/pro-studenty/mgr-programy/mgr-analyza-garant/ma-szz.
Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky
Tematické okruhy pro ústní část SZZ:1. Reálná a komplexní analýza
Teorie míry — znaménkové míry, Radonovy míry. Absolutně spojité funkce a funkce s konečnou variací. Hausdorffova míra a dimenze.
Meromorfní funkce. Konformní zobrazení. Harmonické funkce dvou proměnných. Nulové body holomorfních funkcí.
2. Funkcionální analýza
Lokálně konvexní prostory a slabé topologie. Spektrální teorie v Banachových algebrách. Spektrum omezených i neomezených operátorů. Integrální transformace. Teorie distribucí.
3. Obyčejné diferenciální rovnice
Carathéodoryova teorie řešení. Soustavy lineárních rovnic prvního řádu. Stabilita a asymptotická stabilita. Dynamické systémy. Bifurkace.
4. Parciální diferenciální rovnice
Lineární a kvazilineární rovnice prvního řádu. Lineární a nelineární eliptické rovnice. Lineární a nelineární parabolické rovnice. Lineární hyperbolické rovnice. Sobolevovy prostory.
Studijní plán pro studenty s počátkem studia v roce 2020 nebo 2021
Vstupní požadavky
Předpokládáme, že student tohoto programu má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:
- – Znalost angličtiny na úrovni umožňující studium odborné literatury a sledování odborných přednášek v angličtině
- – Diferenciální počet jedné a několika reálných proměnných
- – Integrální počet jedné reálné proměnné
- – Teorie míry, Lebesgueova míra a Lebesgueův integrál
- – Základy algebry (maticový počet, vektorové prostory)
- – Základy obecné topologie (metrické a topologické prostory, úplnost a kompaktnost)
- – Základy komplexní analýzy (Cauchyova věta, reziduová věta, konformní zobrazení)
- – Základy funkcionální analýzy (Banachovy a Hilbertovy prostory, duály, omezené operátory, kompaktní operátory, základy teorie distribucí)
- – Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic (základní vlastnosti řešení a maximálních řešení, soustavy lineárních rovnic, stabilita)
- – Základy teorie parciálních diferenciálních rovnic (kvazilineární rovnice prvního řádu, Laplaceova rovnice a rovnice vedení tepla fundamentální řešení a princip maxima, vlnová rovnice fundamentální řešení, konečná rychlost šíření vlny)
- – Diferenciální počet jedné a několika reálných proměnných
Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.
Doporučený průběh studia
Podrobnější informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkách https://www.mff.cuni.cz/cs/math/pro-studenty/mgr-programy/mgr-analyza-garant/ma-dopln-sp.
1. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMA401 | Funkcionální analýza 1 | 8 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NMMA403 | Reálné funkce 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA405 | Parciální diferenciální rovnice 1 | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NMMA407 | Obyčejné diferenciální rovnice 2 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMA402 | Funkcionální analýza 2 | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMA406 | Parciální diferenciální rovnice 2 | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMA408 | Komplexní analýza 2 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
| Volitelné a povinně volitelné předměty | 14 | ||||
2. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
| NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z | |
| Volitelné a povinně volitelné předměty | 36 | ||||
Shrnutí studijního plánu
Povinné předměty
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMA401 | Funkcionální analýza 1 | 8 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NMMA402 | Funkcionální analýza 2 | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMA403 | Reálné funkce 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA405 | Parciální diferenciální rovnice 1 | 6 | 3/1 Z+Zk | — | |
| NMMA406 | Parciální diferenciální rovnice 2 | 6 | — | 3/1 Z+Zk | |
| NMMA407 | Obyčejné diferenciální rovnice 2 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMA408 | Komplexní analýza 2 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
| NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
| NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z | |
Povinně volitelné předměty
Skupina I.
Tuto skupinu tvoří přednášky, které jsou úvodem do jednotlivých oblastí výzkumu v matematické analýze, do aplikací matematické analýzy či do vybraných oblastí jiných oborů, které s matematickou analýzou souvisejí. Za předměty z této skupiny je třeba získat alespoň 21 kreditů. (Až 8 kreditů z této skupiny je možné získat za předměty absolvované během stáží na zahraničních univerzitách, pokud příslušné předměty předem schválí garant programu.)
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMAG409 | Algebraická topologie 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMAG433 | Riemannovy plochy | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA404 | Reálné funkce 2 | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA433 | Deskriptivní teorie množin 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA434 | Deskriptivní teorie množin 2 | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA435 | Topologické metody ve funkcionální analýze 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA436 | Topologické metody ve funkcionální analýze 2 | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA437 | Derivace a integrál pro pokročilé 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA438 | Derivace a integrál pro pokročilé 2 | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA440 | Diferenciální rovnice v Banachových prostorech | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA501 | Nelineární funkcionální analýza 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMA502 | Nelineární funkcionální analýza 2 | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMMA531 | Parciální diferenciální rovnice 3 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA533 | Úvod do teorie interpolací 1 | 4 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA534 | Úvod do teorie interpolací 2 | 4 | — | 2/0 Zk | |
| NMMO401 | Mechanika kontinua | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NMMO532 | Matematická teorie Navierových-Stokesových rovnic | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMO536 | Matematické metody v mechanice stlačitelných tekutin | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMNV405 | Metoda konečných prvků 1 | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
Skupina II.
Tuto skupinu tvoří vybrané vědecké či pracovní semináře. Za předměty z této skupiny je třeba získat alespoň 12 kreditů (za každý z těchto seminářů lze získat 3 kredity za každý semestr). Semináře lze zapisovat opakovaně.
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMA431 | Seminář z diferenciálních rovnic | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA452 | Seminář z parciálních diferenciálních rovnic | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA454 | Seminář z prostorů funkcí | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA455 | Seminář z reálné a abstraktní analýzy | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA456 | Seminář z teorie reálných funkcí | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA457 | Seminář ze základních vlastností prostorů funkcí | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA458 | Topologický seminář | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NMMA459 | Seminář ze základů funkcionální analýzy | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
Doporučené volitelné předměty
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NMMA462 | Obecná topologie 2 | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NMMA466 | Aplikace diferenciálních rovnic v biologii | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA479 | Kapitoly z diskrétních dynamických systémů | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA563 | Derivace a integrál pro pokročilé 3 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA564 | Derivace a integrál pro pokročilé 4 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA565 | Úvod do teorie aproximací 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA566 | Úvod do teorie aproximací 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA575 | Topologické a geometrické vlastnosti konvexních množin 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA576 | Topologické a geometrické vlastnosti konvexních množin 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NMMA577 | Kvazikonformní zobrazení 1 | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NMMA578 | Kvazikonformní zobrazení 2 | 3 | — | 2/0 Zk | |
Státní závěrečná zkouška
Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce
- – Získání alespoň 120 kreditů.
- – Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
- – Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny I. v rozsahu alespoň 21 kreditů.
- – Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny II. v rozsahu alespoň 12 kreditů.
- – Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.
- – Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
Ústní část státní závěrečné zkoušky
Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního programu Matematická analýza se skládá z pěti okruhů, jimiž jsou Reálná analýza, Komplexní analýza, Funkcionální analýza, Obyčejné diferenciální rovnice a Parciální diferenciální rovnice. Z každého okruhu dostane uchazeč zpravidla jednu otázku.
Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkách https://www.mff.cuni.cz/cs/math/pro-studenty/mgr-programy/mgr-analyza-garant/ma-szz.
Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky
Tematické okruhy pro ústní část SZZ:1. Reálná analýza
Teorie míry znaménkové míry, Radonovy míry. Absolutně spojité funkce a funkce s konečnou variací. Hausdorffova míra a dimenze.
2. Komplexní analýza
Meromorfní funkce. Konformní zobrazení. Harmonické funkce dvou proměnných. Nulové body holomorfních funkcí. Holomorfní funkce více proměnných. Analytické pokračování.
3. Funkcionální analýza
Topologické lineární prostory. Lokálně konvexní prostory a slabé topologie. Spektrální teorie v Banachových algebrách. Spektrum omezených i neomezených operátorů. Integrální transformace. Teorie distribucí.
4. Obyčejné diferenciální rovnice
Carathéodoryova teorie řešení. Soustavy lineárních rovnic prvního řádu. Stabilita a asymptotická stabilita. Dynamické systémy. Bifurkace.
5. Parciální diferenciální rovnice
Lineární a kvazilineární rovnice prvního řádu. Lineární a nelineární eliptické rovnice. Lineární a nelineární parabolické rovnice. Lineární hyperbolické rovnice. Sobolevovy a Bochnerovy prostory.
