Matematická analýza

Tato stránka vychází z podkladů pro tištěné studijní plány (tzv. Karolinku).

Garantující pracoviště: Katedra matematické analýzy
Oborový garant: prof. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc.

Matematická analýza zahrnuje řadu oblastí matematiky — teorii funkcí reálné a komplexní proměnné, teorii míry a integrálu, funkcionální analýzu, obyčejné i parciální diferenciální rovnice, teorii potenciálu aj. Jejich vývoj byl inspirován také potřebami fyziky, biologie, ekonomie a jiných věd. Díky velmi vysoké adaptabilitě získané studiem a schopnosti podílet se tvořivě na řešení problémů z celé řady oborů je uplatnění absolventů značně univerzální a není omezeno na pracoviště s čistě badatelským zaměřením.

Vstupní požadavky

Předpokládáme, že student tohoto programu má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:

Znalost angličtiny na úrovni umožňující studium odborné literatury a sledování odborných přednášek v angličtině
Diferenciální počet jedné a několika reálných proměnných
Integrální počet jedné reálné proměnné
Teorie míry, Lebesgueova míra a Lebesgueův integrál
Základy algebry (maticový počet, vektorové prostory)
Základy obecné topologie (metrické a topologické prostory, úplnost a kompaktnost)
Základy komplexní analýzy (Cauchyova věta, reziduová věta, konformní zobrazení)
Základy funkcionální analýzy (Banachovy a Hilbertovy prostory, duály, omezené operátory, kompaktní operátory, základy teorie distribucí)
Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic (základní vlastnosti řešení a maximálních řešení, soustavy lineárních rovnic, stabilita)
Základy teorie parciálních diferenciálních rovnic (kvazilineární rovnice prvního řádu, Laplaceova rovnice a rovnice vedení tepla fundamentální řešení a princip maxima, vlnová rovnice fundamentální řešení, konečná rychlost šíření vlny)

Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.

Doporučený průběh studia

Podrobnější informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_20_ma.shtml.

1. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
NMMA401Funkcionální analýza 1 84/2 Z+Zk
NMMA403Reálné funkce 1 42/0 Zk
NMMA405Parciální diferenciální rovnice 1 63/1 Z+Zk
NMMA407Obyčejné diferenciální rovnice 2 52/2 Z+Zk
NMMA402Funkcionální analýza 2 63/1 Z+Zk
NMMA406Parciální diferenciální rovnice 2 63/1 Z+Zk
NMMA408Komplexní analýza 2 52/2 Z+Zk
NSZZ023Diplomová práce I 60/4 Z
 Volitelné a povinně volitelné předměty 14  

2. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
NSZZ024Diplomová práce II 90/6 Z
NSZZ025Diplomová práce III 150/10 Z
 Volitelné a povinně volitelné předměty 36  

Shrnutí studijního plánu

Povinné předměty

kódPředmětKredityZSLS
NMMA401Funkcionální analýza 1 84/2 Z+Zk
NMMA402Funkcionální analýza 2 63/1 Z+Zk
NMMA403Reálné funkce 1 42/0 Zk
NMMA405Parciální diferenciální rovnice 1 63/1 Z+Zk
NMMA406Parciální diferenciální rovnice 2 63/1 Z+Zk
NMMA407Obyčejné diferenciální rovnice 2 52/2 Z+Zk
NMMA408Komplexní analýza 2 52/2 Z+Zk
NSZZ023Diplomová práce I 60/4 Z
NSZZ024Diplomová práce II 90/6 Z
NSZZ025Diplomová práce III 150/10 Z

Povinně volitelné předměty

Skupina I.

Tuto skupinu tvoří přednášky, které jsou úvodem do jednotlivých oblastí výzkumu v matematické analýze, do aplikací matematické analýzy či do vybraných oblastí jiných oborů, které s matematickou analýzou souvisejí. Za předměty z této skupiny je třeba získat alespoň 21 kreditů.

kódPředmětKredityZSLS
NMAG409Algebraická topologie 1 52/2 Z+Zk
NMAG433Riemannovy plochy 32/0 Zk
NMMA404Reálné funkce 2 42/0 Zk
NMMA433Deskriptivní teorie množin 1 42/0 Zk
NMMA434Deskriptivní teorie množin 2 42/0 Zk
NMMA435Topologické metody ve funkcionální analýze 1 42/0 Zk
NMMA436Topologické metody ve funkcionální analýze 2 42/0 Zk
NMMA437Derivace a integrál pro pokročilé 1 42/0 Zk
NMMA438Derivace a integrál pro pokročilé 2 42/0 Zk
NMMA440Diferenciální rovnice v Banachových prostorech 42/0 Zk
NMMA501Nelineární funkcionální analýza 1 52/2 Z+Zk
NMMA502Nelineární funkcionální analýza 2 52/2 Z+Zk
NMMA531Parciální diferenciální rovnice 3 42/0 Zk
NMMA533Úvod do teorie interpolací 1 42/0 Zk
NMMA534Úvod do teorie interpolací 2 42/0 Zk
NMMO401Mechanika kontinua 62/2 Z+Zk
NMMO532Matematická teorie Navierových-Stokesových rovnic 32/0 Zk
NMMO536Matematické metody v mechanice stlačitelných tekutin 32/0 Zk
NMNV405Metoda konečných prvků 1 52/2 Z+Zk

Skupina II.

Tuto skupinu tvoří vybrané vědecké či pracovní semináře. Za předměty z této skupiny je třeba získat alespoň 12 kreditů (za každý z těchto seminářů lze získat 3 kredity za každý semestr). Semináře lze zapisovat opakovaně.

kódPředmětKredityZSLS
NMMA431Seminář z diferenciálních rovnic 30/2 Z0/2 Z
NMMA452Seminář z parciálních diferenciálních rovnic 30/2 Z0/2 Z
NMMA454Seminář z prostorů funkcí 30/2 Z0/2 Z
NMMA455Seminář z reálné a abstraktní analýzy 30/2 Z0/2 Z
NMMA456Seminář z teorie reálných funkcí 30/2 Z0/2 Z
NMMA457Seminář ze základních vlastností prostorů funkcí 30/2 Z0/2 Z
NMMA458Topologický seminář 30/2 Z0/2 Z
NMMA459Seminář ze základů funkcionální analýzy 30/2 Z0/2 Z

Doporučené volitelné předměty

kódPředmětKredityZSLS
NMMA462Obecná topologie 2 62/2 Z+Zk
NMMA466Aplikace diferenciálních rovnic v biologii 32/0 Zk
NMMA479Kapitoly z diskrétních dynamických systémů 32/0 Zk
NMMA563Derivace a integrál pro pokročilé 3 32/0 Zk
NMMA564Derivace a integrál pro pokročilé 4 32/0 Zk
NMMA565Úvod do teorie aproximací 1 32/0 Zk
NMMA566Úvod do teorie aproximací 2 32/0 Zk
NMMA575Topologické a geometrické vlastnosti konvexních množin 1 32/0 Zk
NMMA576Topologické a geometrické vlastnosti konvexních množin 2 32/0 Zk
NMMA577Kvazikonformní zobrazení 1 32/0 Zk
NMMA578Kvazikonformní zobrazení 2 32/0 Zk

Státní závěrečná zkouška

Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce

Získání alespoň 120 kreditů.
Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny I. v rozsahu alespoň 21 kreditů.
Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny II. v rozsahu alespoň 12 kreditů.
Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.

Ústní část státní závěrečné zkoušky

Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního programu Matematická analýza se skládá z pěti okruhů, jimiž jsou Reálná analýza, Komplexní analýza, Funkcionální analýza, Obyčejné diferenciální rovnice a Parciální diferenciální rovnice. Z každého okruhu dostane uchazeč zpravidla jednu otázku.

Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_20_ma_szz.shtml.

Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky

Tematické okruhy pro ústní část SZZ:

1. Reálná analýza
Teorie míry znaménkové míry, Radonovy míry. Absolutně spojité funkce a funkce s konečnou variací. Hausdorffova míra a dimenze.

2. Komplexní analýza
Meromorfní funkce. Konformní zobrazení. Harmonické funkce dvou proměnných. Nulové body holomorfních funkcí. Holomorfní funkce více proměnných. Analytické pokračování.

3. Funkcionální analýza
Topologické lineární prostory. Lokálně konvexní prostory a slabé topologie. Spektrální teorie v Banachových algebrách. Spektrum omezených i neomezených operátorů. Integrální transformace. Teorie distribucí.

4. Obyčejné diferenciální rovnice
Carathéodoryova teorie řešení. Soustavy lineárních rovnic prvního řádu. Stabilita a asymptotická stabilita. Dynamické systémy. Bifurkace.

5. Parciální diferenciální rovnice
Lineární a kvazilineární rovnice prvního řádu. Lineární a nelineární eliptické rovnice. Lineární a nelineární parabolické rovnice. Lineární hyperbolické rovnice. Sobolevovy a Bochnerovy prostory.