2.1 Matematické struktury

2.1 Matematické struktury

Garantující pracoviště: Katedra algebry
Oborový garant: doc. RNDr. Jan Šťovíček, Ph.D.

Obor matematické struktury je na magisterské úrovni zaměřen na rozšíření všeobecného matematického základu (algebraická geometrie a topologie, Riemannova geometrie, universální algebra a teorie modelů) a na získání hlubších znalostí ve zvolených partiích algebry, geometrie, logiky, či kombinatoriky. Cílem je poskytnout na jedné straně dostatečnou všeobecnou znalost moderní strukturní matematiky, na straně druhé dovést posluchače na práh samostatné tvůrčí činnosti. Důraz je kladen na disciplíny, ve kterých jsou k dispozici vyučující, kteří se světové špičce blíží nebo do ní přímo patří.

Absolvent má velmi pokročilé znalosti algebry, geometrie, kombinatoriky a logiky, které mu v rámci hlouběji studovaného zvoleného užšího zaměření umožnily být v tvůrčím kontaktu s aktuálními vědeckými výsledky. Abstraktní povaha, rozsah a náročnost studia u absolventa podpořily rozvoj schopnosti analyzovat, strukturovat a řešit problémy složité a náročné povahy. Uplatnění nalezne vedle akademické sféry v nejrůznějších oblastech lidské činnosti na místech, kde je potřeba zvládat a využívat nové poznatky a rozsáhlé systémy.

Obor Matematické struktury má jeden studijní plán. Tento plán se do akademického roku 2017/18 jmenoval Plán N (zahájení od roku 2013). Je určen pro posluchače, kteří zahájili studium v akademickém roce 2013/2014 nebo později.

Vstupní požadavky

Předpokládáme, že student tohoto oboru má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:

Kvalitní základy lineární algebry, komplexní a reálné analýzy, teorie pravděpodobnosti.
Základy teorie grup (Sylowovy věty, volné grupy, nilpotence), Lieových grup, analýzy na varietách, teorie okruhů a modulů nad okruhy (podmínky konečnosti, projektivita a injektivita modulu), komutativní algebry (Galoisova teorie a celistvá rozšíření).
Mírně pokročilá znalost matematické logiky (výroková logika a logika prvního řádu, neúplnost, nerozhodnutelnost).
Pasivní znalost angličtiny umožňující dostatečné porozumění matematickým přednáškám a odborným textům.

Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.

Doporučený průběh studia

Podrobnější informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_str.shtml

1. rok studia

kód Předmět Kredity ZS LS
NMAG401 Algebraická geometrie   5 2/2 Z+Zk
NMAG403 Kombinatorika   5 2/2 Z+Zk
NMAG405 Universální algebra 1   5 2/2 Z+Zk
NMAG409 Algebraická topologie 1   5 2/2 Z+Zk
NMAG411 Riemannova geometrie 1   5 2/2 Z+Zk
NMAG407 Teorie modelů   3 2/0 Zk
NSZZ023 Diplomová práce I   6 0/4 Z
  Volitelné a povinně volitelné předměty   26    

2. rok studia

kód Předmět Kredity ZS LS
NSZZ024 Diplomová práce II   9 0/6 Z
NSZZ025 Diplomová práce III   15 0/10 Z
  Volitelné a povinně volitelné předměty   36    

Shrnutí studijního plánu

Povinné předměty

kód Předmět Kredity ZS LS
NMAG401 Algebraická geometrie   5 2/2 Z+Zk
NMAG403 Kombinatorika   5 2/2 Z+Zk
NMAG405 Universální algebra 1   5 2/2 Z+Zk
NMAG407 Teorie modelů   3 2/0 Zk
NMAG409 Algebraická topologie 1   5 2/2 Z+Zk
NMAG411 Riemannova geometrie 1   5 2/2 Z+Zk
NSZZ023 Diplomová práce I   6 0/4 Z
NSZZ024 Diplomová práce II   9 0/6 Z
NSZZ025 Diplomová práce III   15 0/10 Z

Povinně volitelné předměty

Je třeba získat alespoň 35 kreditů z povinně volitelných předmětů.

kód Předmět Kredity ZS LS
NMAG462 Modulární formy a L-funkce I   3 2/0 Zk
NMAG473 Modulární formy a L-funkce II   3 2/0 Zk
NMAG455 Kvadratické formy a třídová tělesa I   3 2/0 Zk
NMAG456 Kvadratické formy a třídová tělesa II   3 2/0 Zk
NMAG431 Kombinatorická teorie grup 1   1 2/0 Z
NMAG432 Kombinatorická teorie grup 2   5 2/0 Zk
NMAG433 Riemannovy plochy   3 2/0 Zk
NMAG434 Kategorie modulů a homologická algebra   6 3/1 Z+Zk
NMAG435 Teorie svazů 1   3 2/0 Zk
NMAG436 Křivky a funkční tělesa   6 4/0 Zk
NMAG437 Seminář z diferenciální geometrie   3 0/2 Z 0/2 Z
NMAG438 Reprezentace grup 1   5 2/2 Z+Zk
NMAG440 Binární systémy   3 2/0 Zk
NMAG442 Teorie reprezentací konečně-dimenzionálních algeber   6 3/1 Z+Zk
NMAG444 Kombinatorika na slovech   3 2/0 Zk
NMAG446 Logika a složitost   3 2/0 Zk
NMAG448 Teorie invariantů   5 2/2 Z+Zk
NMAG450 Universální algebra 2   4 2/1 Z+Zk
NMAG452 Úvod do diferenciální topologie   3 2/0 Zk
NMAG454 Fibrované prostory a kalibrační pole   6 3/1 Z+Zk
NMAG531 Aproximace modulů   3 2/0 Zk
NMAG532 Algebraická topologie 2   5 2/2 Z+Zk
NMAG533 Harmonická analýza 1   6 3/1 Z+Zk
NMAG534 Harmonická analýza 2   6 3/1 Z+Zk
NMAG536 Důkazová složitost a P vs. NP problém   3 2/0 Zk
NMMB401 Automaty a konvoluční kódy   6 3/1 Z+Zk
NDMI013 Kombinatorická a výpočetní geometrie II   6 2/2 Z+Zk
NDMI028 Aplikace lineární algebry v kombinatorice   6 2/2 Z+Zk
NDMI045 Analytická a kombinatorická teorie čísel   3 2/0 Zk
NDMI073 Kombinatorika a grafy III   6 2/2 Z+Zk
NTIN022 Pravděpodobnostní techniky   6 2/2 Z+Zk
NTIN090 Základy složitosti a vyčíslitelnosti   5 2/1 Z+Zk

Státní závěrečná zkouška

Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce

 Získání alespoň 120 kreditů.
 Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
 Splnění povinně volitelných předmětů v rozsahu alespoň 35 kreditů.
 Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.

Ústní část státní závěrečné zkoušky

Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního oboru Matematické struktury se skládá ze společných požadavků z z tematického okruhu 1. Matematické struktury a z požadavků užšího zaměření. Toto zaměření si posluchač určí volbou jednoho z  tematických okruhů 2A, 2B, 2C nebo 2D uvedených níže.

Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkáchhttp://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_str_szz.shtml.

Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky

Společné požadavky

1. Matematické struktury
Základy algebraické geometrie, univerzální algebry, Riemannovy geometrie, algebraické topologie, teorie modelů a kombinatoriky.

Užší zaměření

2A. Geometrie
Harmonická analýza a invarianty klasických grup. Riemannovy plochy. Algebraická topologie. Fíbrované prostory a kovariantní derivace.

2B. Teorie reprezentací
Reprezentace grup. Reprezentace konečně dimenzionálních algeber. Kombinatorická teorie grup. Křivky a funkční tělesa. Homologická algebra.

2C. Obecná a kombinatorická algebra 
Konečné grupy a jejich reprezentace, kombinatorická teorie grup, binární systémy (pologrupy, kvazigrupy, aj.). Pokročilá universální algebra (svazy, klony, malcevovské podmínky, aj.). Složitost a vyčíslitelnost, nerozhodnutelnost v algebraických systémech.

2D. Kombinatorika
Aplikace lineární algebry v kombinatorice a teorii grafů. Užití pravděpodobnostni metody v kombinatorice a teorii grafů. Analytická a kombinatorická teorie čísel. Kombinatorická a výpočetní geometrie. Strukturální a algoritmická teorie grafů.