Požadavky ke státnicím z Matematických struktur (od 2025/2026)

Vysvětlení požadavků k magisterským státnicím z Matematických struktur pro studenty, kteří zahájili studium v roce 2025/2026 nebo později (tj. s plánem N v Karolínce). Požadavky pro studenty, kteří zahájili studium v roce 2024/2025 nebo dříve, jsou na stránce určené pro starší studijní plán.

Posluchač si vybere tři z deseti tematických okruhů níže. Číslování okruhů je stejné jako v Karolínce, názvy jsou občas zkráceny. Předpokládá se, že posluchač této volbě témat přizpůsobil volbu přednášek v magisterském studiu, aby získal požadované znalosti. Doporučené přednášky jsou součástí přesnějšího vymezení zkoušené látky níže. Část zkoušky může (podobně jako výuka v programu Matematické struktury) proběhnout v anglickém jazyce.

Účelem není prokázat detailní technické znalosti, kompletní důkazy, apod. To studenti již prokázali u zkoušek z jednotlivých předmětů. Zde mají studenti prokázat širší přehled, pochopení základních myšlenek a úvah, širšího kontextu a souvislostí s jinými oblastmi.

1. Grupy a jejich reprezentace

NMAG438 Reprezentace grup 1: Reprezentace grup a grupové algebry, Maschkeho věta, ireducibilní rozklady, rozklad regulární reprezentace, počet ireducibilních reprezentací, charaktery ireducibilních reprezentací a tabulky charakterů. Diskrétní Fourierova transformace na konečné grupě.

NMAG431 Kombinatorická teorie grup: Nielsen-Schreierova věta. Prezentace grup, Tietzeho transformace.

NMAG464 Teorie grup 2: Konečné jednoduché grupy (důkaz jednoduchosti vybraných grup, např. alternujících, lineárních, nějaké sporadické).

2. Algebraická teorie čísel

NMAG472 Základní algebraická teorie čísel: Číselná tělesa, norma, diskriminant, celistvé prvky. Větvení a rozklady prvočísel. Geometrie čísel, mřížky, Minkowského věta, jednotky a třídová grupa. Cyklotomická tělesa.

NMAL431 Pokročilá algebraická teorie čísel: Dedekindovy obory, lomené ideály, rozklady na prvoideály. Zúplnění, lokální tělesa. Grupy větvení a štěpení, Čebotarevova věta.

NMAG455 Kvadratické formy: aritmetická teorie: Věty o 3 a 4 čtvercích, univerzální kvadratické formy. Binární kvadratické formy, grupa tříd, rody.

3. Homologická algebra a teorie reprezentací konečně dimenzionálních algeber

NMAG434 Kategorie modulů a homologická algebra: Tenzorový součin, Moritovská ekvivalence, funktory Ext a Tor, vztah funktoru Ext k rozšiřování modulů.

NMAG442 Teorie reprezentací konečně-dimenzionálních algeber: Reprezentace toulců a algebry cest, rozklady reprezentací a Krull-Schmidtova věta. Algebry nad algebraicky uzavřeným tělesem (obecné konečně dimenzionální algebry a Moritovské ekvivalence s algebrami cest s relacemi). Dědičné algebry a jejich reprezentační typ.

4. Algebraická geometrie a komutativní algebra

NMAG401 Algebraická geometrie: Zariského topologie, ireducibilní komponenty algebraických množin, souřadnicové okruhy a polynomiální zobrazení, funkční tělesa a racionální zobrazení, biracionální ekvivalence, Hilbertova věta o nulách a její důsledky, lokální okruhy variety v bodech a diskrétní valuační obory, projektivní variety a projektivní eliminace, Bézoutova věta, popis variet pomocí svazku regulárních funkcí.

NMAG538 Komutativní algebra: Lokalizace, plochost, celistvá rozšíření a zdvihání prvoideálů. Zúplnění, Artin-Reesovo lemma a Krulova věta o průniku. Krullova dimenze a Krullova věta o hlavním ideálu. Regulární posloupnosti a Koszulovy komplexy. Regulární, Gorensteinovy a Cohen-Macaulayovy okruhy, homologická charakterizace regularity.

5. Algebraická topologie

NMAG409 Algebraická topologie 1: Homotopie a homotopické typy topologických prostorů, buněčné komplexy, fundamentální grupa, Van Kampenova věta, nakrývající prostory a jejich klasifikace, grupa nakrývacích transformací, singulární a simpliciální homologie a jejich ekvivalence, exaktní posloupnosti homologických grup, věta o výřezu, Mayer-Vietorisova posloupnost, buněčná homologie, axiomatizace homologických teorií.

NMAG532 Algebraická topologie 2: Kohomologické grupy, věta o univerzálních koeficientech, cup a cap součin, kohomologický okruh, Künnethova formule, vztah orientace a homologie, Poincarého dualita, homotopické grupy.

6. Diferenciální geometrie

NMAG411 Riemannova geometrie 1: Tensorová pole na varietách, Riemannovy variety, Levi-Civitova konexe a její kovariatní derivace, paralelní přenos a pojem geodetiky, křivost a torze konexe a jejich geometricky význam, komponenty tensoru křivosti – jejich symetrie a geometrický význam.

NMAG433 Riemannovy plochy: Mnohoznačné analytické funkce, Riemannovy plochy, holomorfní a meromorfní funkce na Riemannových plochách, divizory, globální vlastnosti holomorfních zobrazení Riemannovych ploch, tělesa meromorfních funkcí Riemannových ploch, topologické vlastnosti Riemannovych ploch, Hurwitzova věta.

NMAG448 Klasické grupy a jejich invarianty: Klasické lineární algebraické grupy, jejich Lieovy algebry, jejich struktura, jejich regulární reprezentace, diferenciál reprezentace, úplná rozložitelnost, klasifikace pomocí nejvyšších vah. První fundamentální věta teorie invariantů pro grupy GL(m), Sp(n) a O(m). Schur-Weylova dualita, Weylova algebra a Howeova dualita.

7. Universální algebra a její aplikace

NMAG405 Universální algebra 1 a NMAG450 Universální algebra 2: Základní pojmy univerzální algebry, věty o izomorfismu. Direktní a subdirektní rozklady. Volné algebry, Birkhoffova věta o vztahu variet a rovnicových teorií. Algebraické a relační klony, jejich vztah. Maľcevské podmínky a svazů vlastnosti kongruencí (permutabilita, distributivita, Taylorův term). Přepisující systémy, Knuth-Bendixův algoritmus. Abelovské a afinní algebry, Gumm-Smithova věta.

NMAG563 Úvod do složitosti CSP: Základní myšlenka aplikace univerzálně algebraických metod na složitost problému CSP.

8. Matematická logika a výpočetní aspekty

NMAG331 Matematická logika: Věta o úplnosti a její aplikace. Gödelova věta o neúplnosti a Church-Gödelova věta o nerozhodnutelnosti.

NMAG407 Teorie modelů: Věta o kompaktnosti a její aplikace. Ax-Grothendieckova věta o injektivních polynomiálních zobrazeních na tělese komplexních čísel. Eliminace kvantifikátorů a příklady (teorie hustého lineárního uspořádání a teorie algebraicky uzavřených těles). Příklad důsledku pro definovatelné množiny; o-minimalita reálně uzavřených těles za předpokladu eliminace kvantifikátorů pro teorii reálně uzavřených těles.

NMMB415 Automaty a výpočetní složitost: Turingovy stroje, univerzální stroj a nerozhodnutelné problémy (halting problem, příklady z algebry a logiky). Třídy složitosti P a NP, splnitelnost booleovských formulí (Cook-Levinova věta), další příklady NP-úplných problémů a redukcí. Automaty a regulární jazyky.

9. Extremální a strukturální kombinatorika a teorie grafů

NDMI073 Kombinatorika a grafy 3: Szemerédiho lemma o regularitě, (triangle) removal lemma, Halles-Jewettova věta.

NMAG403 Kombinatorika: Bloková schémata, Bruck-Ryser-Chowlova věta, konečné projektivní roviny, barevnost grafů a její varianty (vybíravost, hranová barevnost, barevnost na plochách – Heawood, Vizingova věta), párování v grafech (obecných a bipartitních, algoritmy založené na tocích, Edmondsův algoritmus, perfektní párování – Hallova a Tutteova věta), rovinné grafy a Kuratowského věta.

NTIN022 Pravděpodobnostní techniky: Pravděpodobnostní metoda, linearita střední hodnoty (včetně Markovovy nerovnosti), použití rozptylu (včetně Čebyševovy nerovnosti), metoda modifikace, Lovászovo lokální lemma, odhady Černovova typu, prahové funkce, Markovovy řetězce.

10. Algebraická, geometrická a topologická kombinatorika

NDMI028 Aplikace lineární algebry v kombinatorice: Aplikace lineární závislosti a nezávislosti, množinové systémy s předepsanou paritou mohutností a mohutností průniků, spektrální teorie grafů, proplétání vlastních čísel a důsledky.

NDMI009 Základy kombinatorické a výpočetní geometrie: Základní věty o konvexních množinách (Hellyho, Radonova, Carathéodoryho, o oddělování), incidence bodů a přímek, geometrická dualita, konvexní mnohostěny (základní vlastnosti, kombinatorická složitost), Voroného diagramy, arrangementy.

NDMI014 Topologické metody v kombinatorice: Borsuk-Ulamova věta, ekvivalentní verze Borsuk-Ulamovy věty, věta o sendviči, věta o náhrdelníku, barevnost Kneserových grafů.