2.8 Matematika pro informační technologie

Garantující pracoviště: Katedra algebry
Oborový garant: prof. RNDr. Aleš Drápal, CSc., DSc.

Obor Matematika pro informační technologie má jeden studijní plán. Tento studijní plán je shodný se studijním plánem NN dobíhajícího oboru Matematické metody informační bezpečnosti.

Zaměření oboru Matematika pro informační technologie

Obor Matematika pro informační technologie umožňuje specializaci na jedno ze dvou zaměření.

1. Zaměření Matematika pro informační bezpečnost (IB) poskytuje hlubší znalosti teorie čísel, teorie samoopravných kódů, teorie eliptických křivek, a dále počítačové algebry aplikované na některé z těchto teorií. Pozornost je věnována ale i praktickým aspektům jako jsou kryptoanalytické útoky, zabezpečení toku internetových dat, kryptografické standardy a právní ochrana dat.
2. Zaměření Počítačová geometrie (PG) umožňuje získat hlubší znalosti v algebraických a geometrických oborech spolu s jejich použitím v geometrii počítačového vidění a robotiky, počítačové grafice a zpracování obrazu, optimalizačních metodách a numerické lineární algebře.

Volba zaměření

Volba zaměření zahrnuje tři postupně kroky:

Výběr tématu diplomové práce na počátku prvního ročníku.
Výběr povinně volitelných předmětů během studia.
Výběr dvou volitelných okruhů ústní části státní závěrečné zkoušky, při přihlášení ke státní závěrečné zkoušce.

Vstupní požadavky

Předpokládáme, že student tohoto oboru má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:

Kvalitní základy lineární algebry, reálné analýzy a teorie pravděpodobnosti.
Základy komutativní a počítačové algebry (Galoisova teorie, celistvá rozšíření, diskrétní Fourierova transformace). Modulární aritmetika, multiplikativní grupy. Konečná tělesa, základní třídy samoopravných kódů. Grupová operace na eliptických křivkách.
Základy teoretické kryptografie a geometrického modelování. Programování v jazyce C.
Pasivní znalost angličtiny umožňující dostatečné porozumění matematickým přenáškám a odborným textům.

Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.

Doporučený průběh studia

Podrobnější informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_mmit.shtml.

1. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
NMMB405Složitost pro kryptografii 64/0 Zk
NMMB409Konvexní optimalizace 94/2 Z+Zk
NMMB403Počítačová algebra 2 63/1 Z+Zk
NMMB407Pravděpodobnost a kryptografie 64/0 Zk
NSZZ023Diplomová práce I 60/4 Z
 Volitelné a povinně volitelné předměty 27  

2. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
NSZZ024Diplomová práce II 90/6 Z
NSZZ025Diplomová práce III 150/10 Z
 Volitelné a povinně volitelné předměty 36  

Zaměření oboru se rozlišují podle doporučených povinně volitelných předmětů.

Povinně volitelné předměty pro zaměření Matematika pro informační bezpečnost

kódPředmětKredityZSLS
NMMB401Automaty a konvoluční kódy 63/1 Z+Zk
NMMB402Číselné algoritmy 63/1 Z+Zk
NMMB404Kryptoanalytické útoky 63/1 Z+Zk
NMMB501Zabezpečení síťových protokolů 52/2 Z+Zk
NMAG436Křivky a funkční tělesa 64/0 Zk
NMMB431Autentifikační schémata 32/0 Zk
NMMB436Steganografie a digitální média 32/0 Zk
NMMB437Právní aspekty ochrany dat 32/0 Zk
NMMB531Číselné síto 32/0 Zk
NMMB532Standardy a kryptografie 32/0 Zk
NMMB533Matematický software 31/1 Z+Zk
NMMB534Kvantová informace 63/1 Z+Zk
NMMB538Eliptické křivky a kryptografie 63/1 Z+Zk

Povinně volitelné předměty pro zaměření Počítačová geometrie

kódPředmětKredityZSLS
NMAG401Algebraická geometrie 52/2 Z+Zk
NMMB440Geometrie počítačového vidění 62/2 Z+Zk
NMMB442Geometrické problémy v robotice 62/2 Z+Zk
NMAG563Úvod do složitosti CSP 32/0 Zk
NMMB536Optimalizace a aproximace CSP 62/2 Z+Zk
NMNV531Inverzní úlohy a regularizace 52/2 Z+Zk
NMNV407Maticové iterační metody 1 64/0 Zk
NMNV438Maticové iterační metody 2 52/2 Z+Zk
NMNV534Numerické metody optimalizace 52/2 Z+Zk
NMMB535Komprimované snímání 62/2 Z+Zk
NPGR013Speciální funkce a transformace ve zpracování obrazu 32/0 Zk
NPGR010Počítačová grafika III 62/2 Z+Zk
NMMB433Geometrie pro počítačovou grafiku 32/0 Zk
NPGR029Variační metody ve zpracování obrazu 32/0 Zk

Shrnutí studijního plánu

Povinné předměty

kódPředmětKredityZSLS
NMMB403Počítačová algebra 2 63/1 Z+Zk
NMMB405Složitost pro kryptografii 64/0 Zk
NMMB407Pravděpodobnost a kryptografie 64/0 Zk
NMMB409Konvexní optimalizace 94/2 Z+Zk
NSZZ023Diplomová práce I 60/4 Z
NSZZ024Diplomová práce II 90/6 Z
NSZZ025Diplomová práce III 150/10 Z

Povinně volitelné předměty

Z těchto předmětů je potřeba získat alespoň 45 kreditů. Předměty doporučené pro zaměření Matematika pro informační bezpečnost jsou označené (IB). Předměty doporučené pro zaměření Počítačová geometrie jsou označené (PG).

kódPředmětKredityZSLS
NMMB401Automaty a konvoluční kódy(IB)63/1 Z+Zk
NMMB402Číselné algoritmy(IB)63/1 Z+Zk
NMMB404Kryptoanalytické útoky(IB)63/1 Z+Zk
NMMB501Zabezpečení síťových protokolů(IB)52/2 Z+Zk
NMAG436Křivky a funkční tělesa(IB)64/0 Zk
NMMB431Autentifikační schémata(IB)32/0 Zk
NMMB436Steganografie a digitální média(IB)32/0 Zk
NMMB437Právní aspekty ochrany dat(IB)32/0 Zk
NMMB531Číselné síto(IB)32/0 Zk
NMMB532Standardy a kryptografie(IB)32/0 Zk
NMMB533Matematický software(IB)31/1 Z+Zk
NMMB534Kvantová informace(IB)63/1 Z+Zk
NMMB538Eliptické křivky a kryptografie(IB)63/1 Z+Zk
NMAG401Algebraická geometrie(PG)52/2 Z+Zk
NMMB440Geometrie počítačového vidění(PG)62/2 Z+Zk
NMMB442Geometrické problémy v robotice(PG)62/2 Z+Zk
NMAG563Úvod do složitosti CSP(PG)32/0 Zk
NMMB536Optimalizace a aproximace CSP(PG)62/2 Z+Zk
NMNV531Inverzní úlohy a regularizace(PG)52/2 Z+Zk
NMNV407Maticové iterační metody 1(PG)64/0 Zk
NMNV438Maticové iterační metody 2(PG)52/2 Z+Zk
NMNV534Numerické metody optimalizace(PG)52/2 Z+Zk
NMMB535Komprimované snímání(PG)62/2 Z+Zk
NPGR013Speciální funkce a transformace ve zpracování obrazu(PG)32/0 Zk
NPGR010Počítačová grafika III(PG)62/2 Z+Zk
NMMB433Geometrie pro počítačovou grafiku(PG)32/0 Zk
NPGR029Variační metody ve zpracování obrazu(PG)32/0 Zk

Doporučené volitelné předměty

kódPředmětKredityZSLS
NMMB451Aplikace matematiky v informatice 30/2 Z0/2 Z
NMMB452Seminář z matematiky inspirované kryptografií 30/2 Z0/2 Z
NMMB453Studentský logický seminář 20/2 Z0/2 Z
NMMB551Seminář z kombinatorické, algoritmické a finitní algebry 20/2 Z0/2 Z
NPGR022Speciální seminář ze zpracování obrazu 20/2 Z0/2 Z
NMAG337Úvod do teorie grup 52/2 Z+Zk
NSWI090Počítačové sítě I 32/0 Zk
NSWI021Počítačové sítě II 32/0 Zk
NSWI045Rodina protokolů TCP/IP 32/0 Zk
NPGR003Počítačová grafika I 62/2 Z+Zk
NPGR004Počítačová grafika II 52/1 Z+Zk

Státní závěrečná zkouška

Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce

Získání alespoň 120 kreditů.
Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
Splnění povinně volitelných předmětů v rozsahu alespoň 45 kreditů.
Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.

Ústní část státní závěrečné zkoušky

Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního oboru Matematické metody informační bezpečnosti se skládá z dvou tematických okruhů. Z tematického okruhu 1 dostane student jednu otázku. Z tematického okruhu 2 si student zvolí buď dvě z variant 2A, 2B, 2C pro zaměření Matematika pro informační bezpečnost, nebo dvě z variant 2D, 2E, 2F, 2G pro zaměření Počítačová geometrie. Z každé zvolené varianty dostane jednu otázku.

Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_mmit_szz.shtml.

Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky

Společný základ

1.Základní matematické obory.
Složitostní třídy a výpočetní modely, náhodnost a pseudonáhodnost, algoritmy pro práci s algebraickými strukturami, konvexní optimalizace.

Užší zaměření

2A Informace a kódy
Klasická a kvantová informace a její přenos. Důsledky kvantové Fourierovy transformace pro kryptografii. Konvoluční kódy. Práce se skrytou a poškozenou informací.

2B Číselné algoritmy
Faktorizace: metody Pollard rho a Pollard p-1, algoritmus CFRAC (včetně aproximace odmocniny pomocí řetězových zlomků a řešení Pellovy rovnice), a kvadratické síto (včetně Tonelli-Shanksova algoritmu). Základní metody řešení diskrétního logaritmu: Pohlig-Hellman, Baby steps-giant steps a indexový kalkul.

2C Eliptické křivky
Základní vlastnosti algebraických funkčních těles a jejich grupy divisorů. Weierstrassova normální forma eliptické křivky - ekvivalence a odvození. Picardova grupa a sčítání bodů eliptické křivky. Morfismy, endomorfismy a izogenie. Využití v kryptografii.

2D Počítačové vidění a robotika
Matematický model perspektivní kamery. Výpočet pohybu kalibrované kamery z obrazů neznámé scény. 3D rekonstrukce ze dvou obrazů neznámé scény. Geometrie tří kalibrovaných kamer. Denavit-Hartenbergův popis kinematiky manipulátoru. Inverzní kinematická úloha pro šestistupňový sériový manipulátor – formulace a řešení. Kalibrace parametrů manipulátoru – formulace a řešení.

2E Zpracování obrazu a počítačová grafika
Modelování inverzních problémů, regularizační metody, digitalizace obrazu, zaostřování a odšumování obrazu, detekce hran, obrazová registrace, komprese, syntéza obrazu, metody compressed sensing, analytická, kinematická a diferenciální geometrie.

2F Aproximace a optimalizace
Konvexní optimalizační problémy, dualita, Lagrangeova duální funkce. Algoritmy pro řešení úloh konvexní optimalizace, metoda vnitřního bodu. Problém splnitelnosti omezení (CSP), algebraický přístup k řešení dichotomické hypotézy. Vážený problém splnitelnosti omezení (vCSP). Příklady výpočetních problémů, které lze popsat v jazyku vCSP, algebraická teorie. Řešení problémů s extrémně velkým vstupem.

2G Numerická lineární algebra
LU a Choleského rozklad matice, metody nejmenších čtverců, Krylovovské prostory, maticové iterační metody (Arnoldiho, Lanczosova metoda, metoda sdružených gradientů, zobecněná metoda minimálních reziduí), QR algoritmus, regularizační metody pro řešení lineárních inverzních problémů, numerická stabilita.

© 2013–2017 Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakulta. Design noBrother.
Za obsah odpovídá Studijní oddělení.