2.5  Matematické modelování ve fyzice a technice

Garantující pracoviště: Matematický ústav UK
Oborový garant: prof. RNDr. Josef Málek, CSc., DSc.

Studijní obor Matematické modelování ve fyzice a technice je mezioborovým studiem, které spojuje matematiku a fyziku.

Fyzikální část vede studenta k získání schopnosti formulovat matematické modely pro kvantitativní i kvalitativní analýzu fyzikálních systémů, přičemž studium je zaměřeno především na fyzikálními systémy v termodynamice spojitého prostředí. (Proudění tekutin a jejich směsí, deformace pevných látek, vzájemná interakce pevných látek a tekutin a další.) V rámci rozsáhlé spolupráce s dalšími pracovišti Univerzity Karlovy či Akademie věd se ovšem studenti mohou věnovat i matematickému modelování v jiných oborech přírodních či společenských věd.

Matematická část studia je zaměřena na teorii parciálních diferenciálních rovnic. Student se důkladně seznámí s moderními metodami pro teoretickou analýzu systémů nelineárních parciálních diferenciálních rovnic, a dále také s příslušnými numerickými metodami pro jejich řešení, a to včetně implementace daných metod s pomocí moderních softwarových nástrojů.

Obecným cílem studia je připravit studenta k tvůrčímu využití soudobých matematických prostředků při zkoumání rozmanitých jevů reálného světa a souvisejících ryze matematických problémů. Absolventi matematického modelování jsou připraveni působit jak v akademickém tak v komerčním sektoru, a to nejen díky vynikajícím znalostem matematiky a fyziky, ale také díky samostatnosti, schopnosti rychle se zorientovat v nové problematice a schopnosti konzultovat a řešit problémy ve spolupráci se specialisty z různých vědních oborů jako jsou například fyzikové, inženýři, lékaři, ekonomové a programátoři.

Obor Matematické modelování ve fyzice a technice má jeden studijní plán. Do akademického roku 2015/2016 se tento studiní plán nazýval plán N.

Vstupní požadavky

Předpokládáme, že student tohoto oboru má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:

Diferenciální počet jedné a několika reálných proměnných. Integrální počet jedné reálné proměnné. Křivkový a plošný integrál, objemový integrál. Teorie míry, Lebesgueův integrál.
Základy lineární algebry (vektorové prostory, matice, determinanty, Jordanův kanonický tvar, ortogonalizace, vlastní čísla a vlastní vektory, základy multilineární algebry, kvadratické formy). Numerické řešení soustav lineárních algebraických rovnic (Schurova věta, QR rozklad, LU rozklad, singulární rozklad, úlohy nejmenších čtverců, částečný problém vlastních čísel, metoda sdružených gradientů, GMRES, zpětná chyba, citlivost a numerická stabilita, QR algoritmus).
Základy komplexní analýzy (Cauchyova věta, reziduová věta, konformní zobrazení, Laplaceova transformace).
Základy funkcionální analýzy a teorie metrických prostorů (Banachovy a Hilbertovy prostory, operátory a funkcionály, Hahn-Banachova věta, duální prostory, omezené operátory, kompaktní operátory, základy teorie distribucí).
Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic (základní vlastnosti řešení a maximálních řešení, soustavy lineárních rovnic, stabilita) a parciálních diferenciálních rovnic (kvazilineární rovnice prvního řádu, Laplaceova rovnice a rovnice vedení tepla – fundamentální řešení a princip maxima, vlnová rovnice – fundamentální řešení, konečná rychlost šíření vlny).
Základy klasické mechaniky (Newtonovy pohybové zákony, Lagrangeovy rovnice, Hamiltonovy rovnice, variační formulace, mechanika tuhého tělesa, setrvačníky).
Pasivní znalost angličtiny umožňující dostatečné porozumění matematickým přednáškám a odborným textům.

Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.

Doporučený průběh studia

Podrobnější informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_mod.shtml.

1. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
NMMA401Funkcionální analýza 1 84/2 Z+Zk
NMMA405Parciální diferenciální rovnice 1 63/1 Z+Zk
NMMO401Mechanika kontinua 62/2 Z+Zk
NOFY036Termodynamika a statistická fyzika 63/1 Z+Zk
NMNV405Metoda konečných prvků 1 52/2 Z+Zk
NMMA406Parciální diferenciální rovnice 2 63/1 Z+Zk
NSZZ023Diplomová práce I 60/4 Z
NMMO402Termodynamika a mechanika nenewtonovských tekutin 52/1 Z+Zk
NMMO403Počítačové řešení úloh fyziky kontinua 52/2 Z+Zk
NMMO404Termodynamika a mechanika pevných látek 52/1 Z+Zk
 Volitelné a povinně volitelné předměty 1  

2. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
NSZZ024Diplomová práce II 90/6 Z
NMNV407Maticové iterační metody 1 64/0 Zk
NSZZ025Diplomová práce III 150/10 Z
 Volitelné a povinně volitelné předměty 30  

Shrnutí studijního plánu

Povinné předměty

kódPředmětKredityZSLS
NMMA401Funkcionální analýza 1 84/2 Z+Zk
NMMA405Parciální diferenciální rovnice 1 63/1 Z+Zk
NMMA406Parciální diferenciální rovnice 2 63/1 Z+Zk
NMMO401Mechanika kontinua 62/2 Z+Zk
NMMO402Termodynamika a mechanika nenewtonovských tekutin 52/1 Z+Zk
NMMO403Počítačové řešení úloh fyziky kontinua 52/2 Z+Zk
NMMO404Termodynamika a mechanika pevných látek 52/1 Z+Zk
NMNV405Metoda konečných prvků 1 52/2 Z+Zk
NMNV407Maticové iterační metody 1 64/0 Zk
NOFY036Termodynamika a statistická fyzika 63/1 Z+Zk
NSZZ023Diplomová práce I 60/4 Z
NSZZ024Diplomová práce II 90/6 Z
NSZZ025Diplomová práce III 150/10 Z

Povinně volitelné předměty

Je třeba získat alespoň 16 kreditů z povinně volitelných předmětů.

kódPředmětKredityZSLS
NMMA407Obyčejné diferenciální rovnice 2 52/2 Z+Zk
NMMA531Parciální diferenciální rovnice 3 42/0 Zk
NMMO432Klasické úlohy mechaniky kontinua 42/1 Z+Zk
NMMO531Biotermodynamika 52/2 Z+Zk
NMMO532Matematická teorie Navierových-Stokesových rovnic 32/0 Zk
NMMO533Nelineární diferenciální rovnice a nerovnice 1 63/1 Z+Zk
NMMO534Nelineární diferenciální rovnice a nerovnice 2 63/1 Z+Zk
NMMO535Matematické metody v mechanice pevných látek 32/0 Zk
NMMO536Matematické metody v mechanice stlačitelných tekutin 32/0 Zk
NMMO537Sedlobodové úlohy a jejich řešení 52/2 Z+Zk
NMMO539Matematické metody v mechanice nenewtonovských tekutin 32/0 Zk
NMMO541Teorie směsí 42/1 Z+Zk
NMNV403Numerický software 1 52/2 Z+Zk
NMNV404Numerický software 2 52/2 Z+Zk
NMNV501Řešení nelineárních algebraických rovnic 52/2 Z+Zk
NMNV532Paralelní maticové výpočty 52/2 Z+Zk
NMNV537Matematické metody v mechanice tekutin 1 32/0 Zk
NMNV538Matematické metody v mechanice tekutin 2 32/0 Zk
NOFY026Klasická elektrodynamika 62/2 Z+Zk
NTMF034Elektromagnetické pole a speciální teorie relativity 52/1 Zk

Doporučené volitelné předměty

kódPředmětKredityZSLS
NMMA452Seminář z parciálních diferenciálních rovnic 30/2 Z0/2 Z
NMMA461Regularita Navier — Stokesových rovnic 30/2 Z0/2 Z
NMMA583Kvalitativní vlastnosti slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic 32/0 Zk
NMMA584Regularita slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic 30/2 Z
NMMO461Seminář z mechaniky kontinua 30/2 Z0/2 Z
NMMO561Regularita řešení Navier-Stokesových rovnic 32/0 Zk
NMMO564Vybrané problémy matematického modelování 30/2 Z
NMNV402Nelineární funkcionální analýza 52/2 Z+Zk
NMNV541Tvarová a materiálová optimalizace 1 32/0 Zk
NMNV542Tvarová a materiálová optimalizace 2 32/0 Zk

Státní závěrečná zkouška

Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce

Získání alespoň 120 kreditů.
Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
Splnění povinně volitelných předmětů v rozsahu alespoň 16 kreditů.
Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.

Ústní část státní závěrečné zkoušky

Student po předchozí přípravě ústně zodpoví šest otázek z teorie parciálních diferenciálních rovnic (jedna otázka), funkcionální analýzy (jedna otázka), teorie metody konečných prvků (jedna otázka), teorie řešení algebraických rovnic (jedna otázka), kinematiky a dynamiky kontinua (jedna otázka) a teorie konstitutivních vztahů pro tekutiny a pevné látky (jedna otázka).

Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_mod_szz.shtml.

Požadavky pro ústní část státní závěrečné zkoušky

1. Termodynamika a mechanika kontinua

Kinematika. Tensor napětí. Bilanční rovnice. Konstitutivní vztahy. Modely pro pevné látky a tekutiny.

2. Funkcionální analýza a parciální diferenciální rovnice

Lineární operátory a funkcionály, kompaktní operátory. Distribuce. Prostory funkcí. Slabá řešení lineárních eliptických, parabolických a hyperbolických úloh druhého řádu – základní existenční teorie a kvalitativní vlastnosti řešení.

3. Numerické metody

Numerické metody řešení diferenciálních rovnic. Metoda konečných prvků. Maticové iterační metody.

© 2013–2017 Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakulta. Design noBrother.
Za obsah odpovídá Studijní oddělení.