2.3.2 Matematické metody informační bezpečnosti, plán N

2.3.2 Matematické metody inf. bezpečnosti, plán N

Garantující pracoviště: Katedra algebry
Oborový garant: doc. RNDr. Jiří Tůma, DrSc.

Plán N je určen pro studenty, kteří zahájili studium oboru MMIB v roce 2012/13 až 2014/2015. Vzhledem k tomu, že průběh prvního ročníku plánů NN a N oboru MMIB je identický, doporučujeme posluchačům, kteří začali studovat v plánu N v roce 2014, aby studium dokončili podle plánu NN.

Doporučený průběh studia

1. rok studia

Doporučené volitelné předměty

2. rok studia

Doporučené volitelné předměty

3. rok studia

^* Místo NMAG303 lze zapsat NMMB208.

Doporučené volitelné předměty

Shrnutí studijního plánu

Povinné předměty

Doporučené volitelné předměty

Státní závěrečná zkouška

Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce

– Získání alespoň 180 kreditů.

– Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.

– Odevzdání vypracované bakalářské práce ve stanoveném termínu.

Ústní část státní závěrečné zkoušky

Zkouška má přehledový charakter. Žádá se, aby posluchač prokázal pochopení základních pojmů, principů a výsledků, byl schopen je ilustrovat na příkladech a předvedl určitou míru syntézy.

Ústní část státní závěrečné zkoušky se skládá ze tří tématických okruhů: "Matematická analýza a lineární algebra", "Algebra"a "Kryptologie a teorie čísel". Z každého tématického okruhu dostane student jednu otázku.

Požadavky pro ústní část státní závěrečné zkoušky

Matematická analýza a lineární algebra

1. Posloupnosti a řady čísel a funkcí
Limity posloupností a součty řad. Kritéria absolutní a neabsolutní konvergence číselných řad. Stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí. Mocninné řady.

2. Diferenciální počet
Spojitost a derivace funkcí jedné reálné proměnné. Hlubší věty o spojitých funkcích. Věty o střední hodnotě a jejich důsledky. Vztahy monotonie a znaménka derivace. Konvexita. Taylorův polynom. Taylorovy řady.

3. Integrální počet
Primitivní funkce, určitý integrál. Základní vlastnosti, vztah k primitivní funkci. Metody výpočtu, věty o substituci a integrace per partes. Základní kritéria existence.

4. Matice a determinanty, soustavy lineárních rovnic
Základní pojmy a operace s maticemi a jejich vlastnosti. Hodnost matice. Soustavy lineárních rovnic, Gaussova eliminace, podmínky rešitelnosti. Determinanty a metody jejich výpočtu.

5. Vektorové prostory
Pojem vektorového prostoru, lineární nezávislost, lineární obal, báze a dimenze. Steinitzova věta o výměně. Podprostory a jejich dimenze. Skalární součin, ortogonalizační proces, ortonormální báze. Ortogonální projekce, metoda nejmenších čtverců a pseudoinverze. Diagonalizace a ortogonální diagonalizace. Různé typy rozkladů matic.

6. Lineární a bilineární formy
Lineární, bilineární a kvadratické formy, matice lineárních zobrazení, vlastní čísla lineárních zobrazení a matic, charakteristický polynom. Polární báze a zákon setrvačnosti pro kvadratické formy. Matice jednoduchých geometrických zobrazení.

Algebra

1. Grupy
Základní vlastnosti permutací. Příklady grup. Podgrupy, homomorfismy. Rozkladové třídy, Lagrangeova věta, normální podgrupy a faktorizace.

2. Komutativní okruhy
Základy dělitelnosti v okruzích, ireducibilní prvky, největší společný dělitel. Gaussovy obory, obory hlavních ideálů, Eukleidovy obory a rozšířený Eukleidův algoritmus.

3. Polynomy
Dělitelnost v okruzích polynomů jedné i více proměnných. Rozklady a kořeny polynomů. Gaussovo lemma. Polynomy více proměnných a afinní variety. Hilbertova věta o bázi.

4. Tělesa
Minimální polynom a stupeň rozšíření. Faktorokruhy. Kořenová a rozkladová rozšíření. Konstrukce a klasifikace konečných těles. Cykličnost konečných multiplikativních grup v tělesech.

5. Počítačová algebra. 
Asymptotické chování funkcí. Základní operace s celými čísly a jejich složitost (násobení, dělení, největší společný dělitel). Diskrétní Fourierova transformace a rychlé násobení polynomů. Algoritmy na Čínskou větu o zbytcích, interpolace.

Kryptologie a teorie čísel

1. Teorie čísel
Struktura cyklické grupy (podgrupy, generátory, endomorfismy a automorfismy). Grupa invertibilních prvků, Eulerova funkce. Kvadratické zbytky, Legenderovy a Jacobiho symboly, jejich výpočet. Věta o reciprocitě. Rabinův-Millerův algoritmus. Hustota prvočísel.

2. Samoopravné kódy
Přenos informace, entropie, Shannonova věta. Lineární kódy: Hammingovy kódy, MDS kódy. Hammingův odhad a perfektní kódy. Cyklické kódy a jejich algebraická interpretace, příklady.

3. Kryptologie
Symetrická a asymetrická kryptografie, základní metody, systémy a postupy. Booleovské funkce, algebraický normální tvar, korelace a korelační matice. Lineární posuvné registry a lineární rekurentní posloupnosti. Útoky hrubou silou, diferenční a lineární kryptoanalýza.