F 11 Matematické a počítačové modelování

Požadavky ke státní rigorózní zkoušce

Širší vědní základ (Uchazeč složí zkoušku ze tří z uvedených oblastí)

• Mechanika kontinua – Tenzorová algebra a analýza, tenzory velké deformace, infinitezimální deformace. Bilanční rovnice, konstitutivní vztahy, princip objektivity, materiálová symetrie. Klasifikace materiálů. Formulace okrajových úloh a příklady jejich řešení.
• Pokročilé partie klasické matematické analýzy – Základy diferenciálního a integrálního počtu funkcí jedné a více reálných proměnných. Teorie míry a integrálu. Fourierovy řady. Základy komplexní analýzy. Teorie obyčejných diferenciálních rovnic.
• Lineární funkcionální analýza – Hilbertovy a Banachovy prostory. Teorie lineárních operátorů, spojité nelineární funkcionály, Hahn-Banachova věta, Fredholmovy věty. Řešení integrálních rovnic. Řešení nelineárních operátorových rovnic: metoda monotónních operátorů, věty o pevném bodě. Lebesgueovy prostory a jejich duály.
• Základy numerických metod – Numerické metody lineární algebry. Interpolace a aproximace funkcí. Metody numerické integrace. Řešení nelineárních rovnic a jejich soustav, soustavy diferenčních rovnic, numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic, optimalizační metody.
• Lineární parciální diferenciální rovnice – Lineární rovnice 1. řádu. Klasifikace rovnic 2. řádu. Formulace základních úloh pro jednotlivé typy rovnic, jejich řešitelnost. Vlastnosti harmonických funkcí. Integrální transformace. Kvantová mechanika: Základní pojmy a  postuláty kvantové mechaniky, Schrödingerova rovnice, relace neurčitosti, spin, jednoduché a mnohačásticové systémy.
• Termodynamika a statistická fyzika – Základní zákony termodynamiky, termodynamické potenciály, soubory ve statistické fyzice, rozdělení, vztah termodynamických a statistických veličin., entropie ve statistické termodynamice, úvod do nerovnovážné termodynamiky.
• Kvantová teorie pevných látek – Typy vazeb, elektronová struktura pevných látek, pásová teorie, lokální stavy, kmity krystalové mříže, transportní a optické vlastnosti.
• Kvantová teorie molekul – Typy vazeb, Bornova-Oppenheimerova a  adiabatická aproximace, molekulové orbitaly, klasifikace hladin, korelační energie, ab initio a semiempirické metody.

Pokročilé partie oboru (uchazeč složí zkoušku z jedné z uvedených oblastí)

• Metody matematické analýzy – nelineární funkcionální analýza, moderní teorie parciálních diferenciálních rovnic a nerovnic, matematická teorie pružnosti a mechaniky tekutin
• Numerická matematika – metoda konečných prvků, metoda sítí, metoda konečných objemů, numerické metody v mechanice kontinua
• Metody počítačové fyziky – spojité a částicové modelování, algebraické manipulace, integrální transformace, počítačová grafika, zpracování obrazu.

Specializace: předseda rigorózní komise může určit uchazeči bezprostředně po obdržení přihlášky specielní okruh, tématicky blízký předložené rigorózní práci.

Doporučená literatura

• Davydov A. S.: Kvantová mechanika, SPN, Praha 1978.
• Ewans L.: Partial Differential Equations, American Mathematical Society, Providence 1998.
• Feistauer M.: Mathematical Methods in Fluid Mechanics, Longman Scientific and Technical Series, Essex, 1993.
• Haslinger J.: Metoda konečných prvků pro řešení variačních rovnic a  nerovnic, skripta MFF UK, Praha 1981.
• Hrach R.: Numerické metody ve fyzikální elektronice I, skripta MFF UK, SPN, Praha 1991.
• Kvasnica J.: Termodynamika, SNTL, Praha 1965.
• Kvasnica J.: Statistická fyzika, Academia, Praha 1983.
• Maršík F.: Termodynamika kontinua, Academia, 1999.
• Nezbeda, Kolafa J., Kotrla M.: Počítačové simulace, skripta MFF UK, Praha 1998.