Studijní program P4M3 Matematická analýza

Oborová rada

Aktuální složení rady je na adrese http://mff.cuni.cz/phd/or/p4m3.

Spolupracující ústavy

– Matematický ústav AV ČR, v.v.i.
Žitná 25, 115 67 Praha 1
http://www.math.cas.cz

Domovská stránka studijního programu

Vypsaná témata

Jsou k nahlédnutí v SIS na adrese http://mff.cuni.cz/phd/temata/p4m3.

Poskytovaná výuka

Seznam požadavků ke státní doktorské zkoušce

Pro účely státní doktorské zkoušky jsou na stránkách oborové rady http://karlin.mff.cuni.cz/studium/phd/4m3/ vedeny dva seznamy témat označené jako seznam A a seznam B.

Seznam A

1. Teorie distribucí

2. Pokročilejší partie spektrální teorie

3. Komplexní analýza

4. Úvod do abstraktní harmonické analýzy

5. Úvod do teorie aproximací

6. Klasické partie harmonické analýzy

7. Haudsorffova míra a záměna proměnných v integrálu

8. Prostory funkcí s konečnou variací a aproximace hladkými funkcemi

9. Kvalitativní teorie ODR

10. Klasická teorie potenciálu

11. Základy teorie hyperbolických zákonů zachování

12. Úvod do teorie optimálních řízení

13. Sturm-Liouvilleova teorie lineárních rovnic 2. řádu

14. Integrální rovnice a problém vlastních čísel

15. Laplaceova transformace

Seznam B

1. Úvod do teorie interpolací

2. Topologický stupeň

3. Integrální reprezentace na kompaktech

4. Teorie C*-algeber

5. Deskriptivní teorie množin

6. Prostory funkcí

7. Singulární integrály

8. Littewoodova-Payleyova teorie

9. Rieszovy a Besselovy potenciály

10. Hardyho prostory

11. Zobrazení s konečnou distorzí

12. Isoperimetrická nerovnost

13. Diferencovatelnost konvexních funkcí

14. Úvod do teorie homogenizace

15. Základy teorie stochastických parabolických rovnic

16. Existenční teorie pro Navierův-Stokesův-Fourierův systém

17. Atraktor: struktura a odhady dimenze

18. Volterrovy integrální rovnice

19. Regularita Navierových-Stokesových rovnic

Témata obou seznamů mají jednotný rozsah odpovídající přibližně 70-100 stránkám knižního textu. Školitel studenta chystajícího se na státní doktorskou zkoušku vybere jedno téma ze seznamu A a jedno téma ze seznamu B. K těmto dvěma tématům přidá ještě třetí téma (stejného rozsahu) podle vlastního uvážení, a to buď z uvedených seznamů, nebo téma dle vlastního výběru, které se na seznamech (zatím) nevyskytuje. Třetí téma by mělo být blízké hlavnímu oboru studia či výzkumu studenta. Soubor tří témat pak předloží školitel oborové radě ke schválení ještě před podáním žádosti o stanovení termínu zkoušky. OR posoudí přiměřenost návrhu a hlasováním rozhodne, zda návrh schvaluje. Je-li návrh schválen, jsou tím otázky pro doktorskou zkoušku stanoveny. Vlastní zkouška pak sestává ze tří částí odpovídajících schváleným třem tématům. Třetí téma, pokud dosud nebylo součástí seznamů A či B, může být do budoucna na některý z těchto seznamů rozhodnutím OR zařazeno.

Seznam témat A a témat B má k datu vydání této publikace výše uvedenou podobu. Podrobnější rozpracování uvedených témat, stejně jako případná nová témata, která byla do některého ze seznamů po tomto datu přidána pomocí mechanismu, uvedeného výše, lze nalézt na adrese http://karlin.mff.cuni.cz/studium/phd/p4m3/phdzkouska.php.

Doporučená literatura

– Adams, R.A.: Sobolev spaces. Pure and Applied Mathematics, Vol. 65. Academic Press, 1975.

– Alfsen, E.M.: Compact convex sets and boundary integrals. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 57. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1971.

– Amann, H.: Ordinary differential equations : an introduction to nonlinear analysis. De Gruyter, Berlin, 1990.

– Ambrosio, L., Fusco, N., Pallara, D.: Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000.

– Armitage, D.H., Gardiner, S.J.: Classical potential theory. Springer, London, 2001.

– Bennett, C., Sharpley, R.: Interpolation of Operators. Pure and Applied Mathematics, 129. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988.

– Benyamini, Y., Lindenstrauss, J.: Geometric Nonlinear Functional Analysis, Vol. 1. Colloquium Publications Vol 48, Amer. Math. Soc., 2000.

– Bergh, J., Löfström, J.: Interpolation spaces. An introduction. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, No. 223. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1976.

– Bressan, A., Piccoli, B.: Introduction to the mathematical theory of control. AIMS Series on Applied Mathematics Vol 2, AIMS, 2007.

– Chavel, I.: Isoperimetric inequalities. Differential geometric and analytic perspectives. Cambridge Tracts in Mathematics, 145. Cambridge University Press, Cambridge, 2001.

– Cheney, E.W.: Introduction to approximation theory. McGraw-Hill Book Co., New York-Toronto, Ont.-London 1966.

– Deimling, K.: Nonlinear functional analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1985.

– DeVore, R.A., Lorentz, G.G.: Constructive approximation. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 303, Springer-Verlag, Berlin, 1993.

– DiBenedetto, E.: Partial differential equations. Birkhauser Boston Inc., 1995.

– Evans, L.C.: Partial differential equations. American Mathematical Society, Providence, 2010.

– Evans, L.C., Gariepy, R.F.: Measure theory and fine properties of functions. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1992.

– Folland, B.B.: A course in abstract harmonic analysis. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1995.

– Grafakos, L.: Classical Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics, 250. Springer, New York, 2009.

– Grafakos, L.: Modern Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics, 249. Springer, New York, 2008.

– Hartman, Ph.: Ordinary differential equations. S. M. Hartman, Baltimore, Md., 1973.

– Iwaniec, T., Martin, G.: Geometric Function Theory and Non-linear Analysis. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2001.

– Kechris, A.S.: Classical descriptive set theory. Graduate Texts in Mathematics, 156. Springer-Verlag, New York, 1995.

– Kufner, A., John, O., Fučík, S.: Function Spaces. Monographs and Textbooks on Mechanics of Solids and Fluids; Noordhoff International Publishing, Leyden; Academia, Praha, 1977.

– Pick, L., Kufner, A., John, O., Fučík, S.: Function spaces. Vol. 1. Second revised and extended edition. De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, 14. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2013.

– Robinson, J.C.: Infinite-dimensional dynamical systems : an introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge University Press, 2001.

– Rudin, W.: Functional analysis. Second edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.

– Rudin, W.: Analýza v reálném a komplexním oboru. Academia, Praha, 2003.

– Srivastava, S.M.: A course on Borel sets. Graduate Texts in Mathematics, 180. Springer-Verlag, New York, 1998.

– Stein, E.M.: Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton Mathematical Series, No. 30 Princeton University Press, Princeton, N.J. 1970.

– Stein, E.M.: Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton Mathematical Series 43. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993.

– Takesaki, M.: Theory of operator algebras. I. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1979.

– Widder, D.V.: The Laplace Transform Princeton Mathematical Series Vol 6, Princeton, 1941.

– Ziemer, W.P.: Weakly differentiable functions. Sobolev spaces and functions of bounded variation. Graduate Texts in Mathematics, 120. Springer-Verlag, New York, 1989.