Numerická a výpočtová matematika

Garantující pracoviště: Katedra numerické matematiky
Oborový garant: doc. Mgr. Petr Knobloch, Dr., DSc.

Numerická a výpočtová matematika se zabývá zpracováním matematických modelů pomocí výpočetní techniky. Realizuje přechod od teoretické matematiky k prakticky použitelným výsledkům. S jejím použitím se lze setkat v technice a v přírodních vědách, v ekonomice, lékařských vědách aj. Student se seznámí jak s teorií výpočtových procesů a algoritmů, tak s aplikacemi v oblastech počítačového modelování, simulace a řízení složitých struktur a procesů. Důraz je kladen též na tvořivou práci s počítačem a vytváření software na vysoké úrovni.

Absolventi nacházejí uplatnění především tam, kde se systematicky používá výpočetní technika (průmysl, školství, základní i aplikovaný výzkum, veřejná správa, justice, banky apod.).

Vstupní požadavky

Předpokládáme, že student tohoto programu má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:

– Znalost angličtiny na úrovni umožňující studium odborné literatury a sledování odborných přednášek v angličtině.

– Diferenciální počet pro funkce jedné a několika reálných proměnných.

– Integrální počet pro funkce jedné reálné proměnné.

– Teorie míry, Lebesgueova míra a Lebesgueův integrál.

– Základy lineární algebry (maticový počet, vektorové prostory).

– Základy funkcionální analýzy (Banachovy a Hilbertovy prostory, duály, omezené operátory, kompaktní operátory).

– Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic (základní vlastnosti řešení a maximálních řešení, soustavy lineárních rovnic, stabilita).

– Základy teorie parciálních diferenciálních rovnic (kvazilineární rovnice prvního řádu, Laplaceova rovnice, rovnice vedení tepla, vlnová rovnice).

– Základy numerické matematiky (numerická kvadratura, základy numerického řešení obyčejných diferenciálních rovnic, metoda konečných diferencí pro parciální diferenciální rovnice).

– Základy analýzy maticových výpočtů (Schurova věta, ortogonální transformace, rozklady matic, základní iterační metody).

Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.

Doporučený průběh studia

Podrobnější informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_20_nvm.shtml.

1. rok studia

2. rok studia

Shrnutí studijního plánu

Povinné předměty

Povinně volitelné předměty

Je třeba získat alespoň 30 kreditů z povinně volitelných předmětů.

Doporučené volitelné předměty

Státní závěrečná zkouška

Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce

– Získání alespoň 120 kreditů.

– Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.

– Splnění povinně volitelných předmětů v rozsahu alespoň 30 kreditů.

– Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.

Ústní část státní závěrečné zkoušky

Při ústní zkoušce budou každému studentovi zadány tři otázky z níže uvedených tematických okruhů. Obsah těchto okruhů pokrývají povinné předměty.

Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_20_nvm_szz.shtml.

Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky

1. Parciální diferenciální rovnice
Lineární eliptické, parabolické a hyperbolické rovnice, nelineární diferenciální rovnice v divergenčním tvaru; Sobolevovy prostory; variační formulace; existence a vlastnosti řešení; monotónní a potenciální operátory.

2. Metoda konečných prvků
Prostory konečných prvků a jejich aproximační vlastnosti; Galerkinova aproximace lineárních eliptických úloh; odhady chyby; řešení nelineárních rovnic v divergenčním tvaru.

3. Numerická lineární algebra
Základní přímé a iterační maticové metody; krylovovské metody; projekce a problém momentů; souvislost spektrální informace a konvergence.

4. Adaptivní diskretizační metody
Numerická kvadratura, odhady chyby, adaptivita; numerické metody pro obyčejné diferenciální rovnice, odhady lokální chyby, adaptivní volba časového kroku.

5. Numerické metody optimalizace
Metody pro řešení nelineárních algebraických rovnic a jejich soustav; metody pro minimalizaci funkcionálu bez omezení; lokální a globální konvergence metod.