Matematika – co by měl znát dobrý absolvent střední školy

Číselné obory
Přirozená a celá čísla, čísla racionální a iracionální, reálná čísla. Komplexní čísla (uvedena dále v samostatném odstavci).

Elementární teorie čísel
Poziční desítková soustava. Prvočísla a čísla složená, rozklad na součin prvočísel, největší společný dělitel, nejmenší společný násobek. Kritéria dělitelnosti.

Úpravy algebraických výrazů
Zlomky, složené zlomky, operace se zlomky, rozšiřování a krácení. Úpravy algebraických výrazů, lomené výrazy, výrazy obsahující mocniny a odmocniny, usměrňování zlomků, absolutní hodnota.

Funkce
Definiční obor, obor hodnot, transformace grafu funkce, funkce sudé, liché, periodické, omezené, monotónní, prosté, inverzní. Maximum a minimum funkce, Funkce lineární, kvadratická, lineární lomená, racionální a polynomické. Funkce mocninná s přirozeným, celým, racionálním a iracionálním exponentem, souvislost s odmocninami. Funkce exponenciální a logaritmická, logaritmy a jejich vlastnosti. Funkce goniometrické: sinus, kosinus, tangens, kotangens. Jednotková kružnice. Vlastnosti, grafy a jejich transformace. Součtové vzorce a jejich důsledky. Aplikace goniometrie v geometrii.

Rovnice a nerovnice v reálném oboru
Lineární rovnice s parametrem. Rovnice a nerovnice: v součinovém a podílovém tvaru, s absolutní hodnotou, kvadratická rovnice a nerovnice (i s absolutní hodnotou), rovnice s neznámou pod odmocninou. Soustavy lineárních rovnic (metoda substituční, adiční, komparační, grafické řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých). Grafické řešení rovnic a nerovnic. Rovnice goniometrické, exponenciální a logaritmické.

Kombinatorika, pravděpodobnost a statistika
Základní kombinatorická pravidla (pravidlo součinu a součtu). Variace, permutace a kombinace bez opakování a s opakováním. Faktoriály, kombinační čísla a jejich vlastnosti, Pascalův trojúhelník. Binomická věta. Pravděpodobnosti jevů, nezávislé jevy. Statistický soubor, znak, četnost, grafické znázornění. Charakteristiky polohy a variability (průměry, modus, medián; rozptyl, směrodatná odchylka). Korelace, její interpretace, souvislost s kauzalitou.

Posloupnosti reálných čísel
Posloupnosti zadané vzorcem pro n-tý člen a rekurentně. Aritmetická posloupnost (zadaná rekurentně i vzorcem) a její vlastnosti, vztah mezi r-tým a s-tým členem, součet prvních n členů. Geometrická posloupnost (zadaná rekurentně i vzorcem) a její vlastnosti, vztah mezi r-tým a s-tým členem, součet prvních n členů. Limita posloupnosti, nekonečná geometrická řada.

Komplexní čísla
Komplexní čísla v algebraickém a goniometrickém tvaru, vzájemné převody. Geometrické znázornění komplexních čísel v Gaussově rovině, aplikace. Operace s komplexními čísly, číslo komplexně združené, absolutní hodnota. Umocňování a odmocňování komplexních čísel, Moivreova věta, binomická rovnice. Řešení kvadratických rovnic v komplexním oboru.

Planimetrie
Vzájemná poloha dvou přímek v rovině. Trojúhelníky, věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků, výšky, těžnice, kružnice opsaná a vepsaná. Pravoúhlé trojúhelníky, věty Eukleidovy, věta Pýthagorova a Thalétova. Trigonometrie pravoúhlého a obecného trojúhelníku, věta sinová a kosinová. Pravidelné n-úhelníky a jejich základní vlastnosti. Čtyřúhelníky a jejich základní vlastnosti. Kružnice, věta o obvodových a středových úhlech, mocnost bodu ke kružnici. Obvody a obsahy rovinných útvarů. Shodná zobrazení v rovině (osová a středová souměrnost, posunutí, otočení). Podobná zobrazení, stejnolehlost. Aplikace geometrických zobrazení při řešení konstrukčních úloh.

Stereometrie
Vzájemná poloha přímek a rovin v prostoru. Volné rovnoběžné promítání. Řešení polohových konstrukčních úloh, řez tělesa rovinou. Odchylka dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin. Vzdálenost bodu od přímky a od roviny, vzdálenost dvou přímek a vzdálenost dvou rovin. Objemy a povrchy těles (mnohostěny, rotační a kosá tělesa).

Analytická geometrie
Vektory a operace s nimi, orientované úsečky. Skalární součin, odchylka a kolmost dvou vektorů. Vektorový součin.
Přímka v rovině: parametrické vyjádření, obecná rovnice, směrnicový a úsekový tvar rovnice přímky. Přímky a roviny v prostoru: parametrické vyjádření, obecná rovnice roviny.
Vzájemná poloha: dvou přímek v rovině i v prostoru, přímky a roviny, dvou rovin; rovnoběžnost, různoběžnost, mimoběžnost.
Odchylka: dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin. Roviny rovnoběžné a kolmé.
Vzdálenost: bodu od přímky (v rovině i v prostoru), bodu od roviny, dvou rovnoběžných přímek, dvou rovnoběžných rovin.
Kuželosečky (kružnice, elipsa, parabola, hyperbola) a jejich základní vlastnosti (ohnisko, excentricita, hlavní a vedlejší poloosa, střed, řídicí přímka, vrchol, asymptota). Rovnice kuželoseček v rovině a rovnice jejich tečen, vzájemná poloha přímky a kuželosečky.

Množiny; matematická logika, výroky, důkazy
Základní množinové pojmy (prvek, prázdná množina, podmnožina, komplement, průnik, sjednocení, rozdíl, Vennovy diagramy), intervaly. Výrok, negace, složené výroky (konjunkce, disjunkce, implikace, ekvivalence), výrokové formule, kvantifikátory, negace. Důkaz přímý a nepřímý, důkaz sporem. Důkaz matematickou indukcí.


Ke studiu doporučujeme například učebnice ze série Matematika pro gymnázia a sbírku Polák, J.: Středoškolská matematika v úlohách I, II. Prometheus, Praha, 2006, 2011. Tyto materiály zcela pokrývají penzum doporučených znalostí a dovedností.

Matematicko-fyzikální fakulta pořádá několik kurzů, v nichž je možno si v případě potřeby utřídit znalosti či doplnit vědomosti a dovednosti: