Upřesnění požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky oboru Teoretická fyzika

Zelené nadpisy by měly tvořit vždy jednu otázku u státní závěrečné zkoušky a měly by odpovídat tomu, co je uvedeno v Karolince platné od akademického roku 2020/2021. Pokud narazíte na nesrovnalosti, informujte Karla Houfka (karel.houfek@matfyz.cuni.cz).

Společné požadavky

Relativistická fyzika

Výchozí principy speciální a obecné teorie relativity: 1. Newtonův zákon, pojem inerciálního systému; princip speciální relativity a tenzorový zápis fyzikálních zákonů; konečnost a invariance rychlosti světla, základní vlastnosti Lorentzových transformací; univerzalita gravitační interakce, princip ekvivalence a jeho experimentální ověřování, pojem lokálního inerciálního systému; princip obecné kovariance, tvar fyzikálních zákonů
Prostoročas, čtyřrozměrný formalismus, transformace souřadnic: časo-prostorová symetrie Lorentzovy transformace a čtyřrozměrný pohled, Minkowského prostoročas, reálný čtyřrozměrný formalismus; tenzorové veličiny a invarianty, metrický tenzor, chování veličin při transformaci souřadnic; prostoročasové diagramy, světelný kužel, chování souřadnicových os při (Lorentzově) transformaci; popis zakřivených prostoročasů
Paralelní přenos a rovnice geodetiky, metrika a afinní konexe, kovariantní derivace: problém přechodu mezi tečnými prostory v různých místech prostoročasu, geometrická představa paralelního přenosu a její realizace na základě principu ekvivalence; geodetiky jako nejrovnější křivky, jako světočáry volných testovacích částic a jako extremální spojnice, newtonovská limita rovnice geodetiky; obecný metrický tenzor, afinní konexe a Christoffelovy symboly; kovariantní a absolutní derivace
Posun frekvence v gravitačním poli: dilatace času a problém synchronizace hodin ve speciální a obecné relativitě; posun frekvence záření mezi dvěma statickými pozorovatelkami ve stacionárním prostoročasu, newtonovská limita vztahu, příklady a odvození z principu ekvivalence; posun frekvence mezi satelitem volně obíhajícím po kruhové dráze a statickým pozorovatelem, dilatace času v satelitní navigaci (GPS)
Křivost prostoročasu: Ricciho identity a zavedení Riemannova tenzoru, základní vlastnosti Riemannova tenzoru, úplná sada jeho symetrií a počet nezávislých složek; geometrický a fyzikální význam Riemannova tenzoru – neintegrabilita paralelního přenosu, rovnice geodetické deviace; Ricciho tenzor a Ricciho skalár; druhé Bianchiho identity
Tenzor energie a hybnosti, zákony zachování a pohybové rovnice: tenzor energie a hybnosti pro nabitý nekoherentní prach a pro elektromagnetické pole, význam jeho složek, zákony zachování (pro systém podrobený vnějším silám a pro systém uzavřený); dokonalá tekutina – odvození rovnice kontinuity a Eulerových rovnic ze zákonů zachování
Einsteinovy rovnice gravitačního pole: Newtonova rovnice gravitačního pole a její kritika z hlediska teorie relativity; pravá strana Einsteinových rovnic: tenzor energie a hybnosti, levá strana Einsteinových rovnic: význačnost Riemannova tenzoru, určení konstant na základě druhých Bianchiho identit, požadavku zachování tenzoru energie a hybnosti a newtonovské limity rovnic; Einsteinovy rovnice jako matematický problém, jejich nelinearita a působení zdroje „na sebe sama“, porovnání s obsahem Maxwellových rovnic; interpretace kosmologického členu
Schwarzschildovo řešení Einsteinových rovnic: Schwarzschildova metrika jako přesné sféricky symetrické řešení vakuových Einsteinových rovnic bez kosmologického členu – nástin odvození (zavedení souřadnic, metrika obecného sféricky symetrického prostoročasu, řešení Einsteinových rovnic – Birkhoffův teorém), základní vlastnosti (symetrie, asymptotická plochost, světelné kužely, horizont jako světelná nadplocha, kauzální hranice, statická mez a plocha nekonečného frekvenčního posunu, černá díra jako dynamická oblast uvnitř horizontu, centrální singularita); časupodobné a světelné geodetiky ve Schwarzschildově poli (konstanty pohybu, diskuse radiálního pohybu metodou efektivního potenciálu), kruhové geodetiky
Homogenní a izotropní kosmologické modely: základní observační zjištění o velkoškálovém vesmíru, kosmologická expanze, „big bang“ a stáří vesmíru; homogenita a izotropie geometricky, „kosmický čas“ a synchronní systém souřadnic, metriky prostorů s konstantní křivostí; „kosmická tekutina“, role látky a záření během vývoje vesmíru; Friedmannova rovnice a role jejích jednotlivých členů, diskuse možných vývojů metodou efektivního potenciálu; přepis rovnice pomocí Ω-faktorů, observační údaje a představa o relativní velikosti členů, urychlená expanze a problém tzv. temné energie

Kvantová fyzika

Popis stavu a pozorovatelných v kvantové teorii: Hilbertův prostor, matice hustoty, spektrální rozklad, komutující operátory, různé reprezentace, přechod k jiné bázi, příklady systémů - stavových prostorů a operátorů, popis měření
Unitární časový vývoj: Schrödingerova, Heisenbergova a Diracova reprezentace, pohybové rovnice v nich, Ehrenfestův teorém, stacionární stavy a integrály pohybu
Kvantová teorie momentu hybnosti: komutační relace, vztah k rotacím, příklady operátorů momentu hybnosti - spin a orbitální moment hybnosti
Základy teorie skládání momentu hybnosti: Clebschovy-Gordanovy koeficienty, příklady skládání pro dvě a tři částice se spinem, konstrukce spin-orbitalů, ireducibilní reprezentace grupy rotací a Wignerovy D-matice, vektorové a tenzorové operátory v kvantové mechanice, Wignerův-Eckartův teorém
Systémy několika nerozlišitelných částic: Boseho a Fermiho statistika, druhé kvantování, příklady - atom helia, několik částic v potenciálové jámě
Stacionární poruchová teorie: korekce energie do 1. a 2. řádu, korekce pro stacionární stavy, degenerované spektrum
Ritzův variační princip: princip a příklady použití, excitované stavy - Hyleraasova-Undheimova věta
Časově závislá poruchová teorie: Dysonův rozvoj, pravděpodobnost přechodu v prvním a druhém řádu, případ spojitého spektra Částice ve sféricky symetrickém poli radiální Schrödingerova rovnice, stacionární stavy, rozptylové stavy, fázové posunutí a diferenciální účinný průřez
Rovnice relativistické kvantové mechaniky pro částice se spinem 0, ½ a 1: Kleinova-Gordonova rovnice pro volnou částici - řešení s kladnou a zápornou energií, rovnice kontinuity, Diracova rovnice pro volnou částici - relativistická invariance, diskrétní symetrie C, P, T, rovinné vlny a popis spinových stavů, helicita a chiralita, Weylova rovnice a její vlastnosti symetrie, Procova rovnice pro volnou částici - dvě ekvivalentní formy rovnice, rovinné vlny, popis spinových stavů
Diracova rovnice pro částici v elektromagnetickém poli: přechod k Pauliho rovnici a spinový magnetický moment, atom vodíkového typu a jemná struktura hladin energie
Kvantování volných polí a jejich částicová interpretace: kanonické kvantování Kleinova-Gordonova pole, komutátory ve stejném čase, energie a impuls kvantovaného pole, kreační a anihilační operátory, Fokův prostor, částice a antičástice, kvantování Diracova pole a antikomutační relace, kanonické kvantování Procova pole, kvantování elektromagnetického pole
Interakce polí: příklady interakčních lagrangiánů: interakce Yukawova typu, interakce vektorového pole s fermiony, kvantová elektrodynamika, přímá čtyřfermionová interakce, princip lokální vnitřní symetrie
S-matice a jednoduché Feynmanovy diagramy: Dysonův rozvoj pro evoluční operátor v interakční reprezentaci, S-matice a invariantní amplituda přechodu, Feynmanovy diagramy na stromové úrovni
Výpočet pravděpodobnosti rozpadu a účinného průřezu reakce: diferenciální pravděpodobnost rozpadu za jednotku času a diferenciální účinný průřez srážky dvou částic: obecné formule a jejich případná integrace pro dvoučásticový koncový stav, příklad rozptylu ve vnějším elektromagnetickém poli

Statistická fyzika

Statistický popis termodynamiky: mikroskopické a makroskopické stavy, statistický popis a ergodicita, termodynamická limita, termodynamická a statistická entropie, partiční suma a termodynamické potenciály ve statistickém popisu
Základní statistické soubory: mikrokanonický, kanonický a grandkanonický statistický soubor, jejich ekvivalence
Fluktuace termodynamických veličin: Gibbsova a Einsteinova metoda, podmínky stability termodynamických potenciálů
Kvantová statistická mechanika: postuláty kvantové statistické mechaniky, matice hustoty a reprezentační prostor Fermiho a Boseho systémů, stavová rovnice a klasická limita
Ideální Boseho-Einsteinův plyn hmotných částic: chemický potenciál a Boseho-Einsteinova kondenzace
Plyn nehmotných bosonů: fotony a fonony, tepelná kapacita pevných látek, záření absolutně černého tělesa
Degenerovaný elektronový plyn: Fermiho mez, Sommerfeldův rozvoj, tepelná kapacita kovů, Pauliho paramagnetismus
Základy teorie neideálních plynů: molekulární síly, van der Waalsova rovnice, grupový a viriálový rozvoj
Základy nerovnovážné statistické fyziky: časový vývoj rozdělovací funkce, hierarchické vývojové rovnice (BBGKY), binární srážky a Boltzmannova kinetická rovnice

Fyzika plazmatu a pevných látek

Základní pojmy teorie plazmatu: definice plazmatu, Debyeovský poloměr, plazmová frekvence, plazmový parametr
Drifty plazmatu v elektrickém a magnetickém poli, adiabatické invarianty
Kinetická teorie plazmatu, Landauův útlum: kinetická rovnice, fázový prostor, Liouvilleův teorém, Boltzmannova rovnice, Vlasovova rovnice, BBGKY, Landauův útlum, kinetická svazková nestabilita
Srážkový člen a relaxace: Coulombovské srážky, časové škály v plazmatu, entropie, H-teorém
Magnetohydrodynamický popis plazmatu: pohybové rovnice hydrodynamiky, základní magnetohydrodynamické efekty (difuze, zamrznutí siločar), lineární a nelineární vlny v plazmatu
Pevná látka jako kvantově mechanický problém mnoha částic: adiabatické přiblížení, Hellmannův-Feynmanův teorém
Harmonické přiblížení pohybu atomů: fononové disperzní pásy, polarizační vektory, Brillouinova zóna, Bornovy-Karmanovy hraniční podmínky
Difrakce na mřížce: Fermiho zlaté pravidlo, středování přes kmity mřížky, Braggův rozptyl, Debyeův-Wallerův faktor
Elektronová pásová struktura: Blochův teorém, relativistické opravy Schrödingerovy rovnice, Brillouinova zóna, Bornovy-Karmanovy hraniční podmínky
Termodynamické vlastnosti krystalů: měrné teplo fononů, měrné teplo elektronů

Počítačová fyzika

Reprezentace reálných čísel na počítači, zaokrouhlovací chyba: reprezentace pomocí pohyblivé řádové čárky, strojové epsilon, (relativní) zaokrouhlovací chyba, vliv zaokrouhlovací chyby na výsledek aritmetických operací
Stabilita algoritmu a podmíněnost úlohy: stabilní a nestabilní algoritmus, souvislost se zaokrouhlovací chybou, dopředná a zpětná stabilita, číslo podmíněnosti úlohy, špatně a dobře podmíněná úloha, ilustrace těchto pojmů na příkladech
Aproximace a interpolace funkcí: reprezentace spojitých veličin na počítači, aproximace funkce a chyba aproximace, polynomiální interpolace a její přesnost: Lagrangeův a Newtonův interpolační polynom, Hermiteova interpolace, kubické splajny
Numerická derivace funkcí, konečné diference: numerická derivace pomocí interpolačního polynomu, konečné diference: dopředné, zpětné a centrované, Richardsonova extrapolace, diskretizační chyba, optimální volba diskretizačního kroku vzhledem k zaokrouhlovací chybě
Numerická integrace funkcí: kvadraturní vzorce a jejich řád, Newtonovy-Cotesovy vzorce a jejich chyba, Eulerův-Maclaurinův sumační vzorec, Rombergův algoritmus, Gaussova kvadratura, souvislost s ortogonálními polynomy
Řešení nelineárních rovnic: věta o pevném bodě kontrahujícího zobrazení, iterační metody, rychlost konvergence a její zvyšování, metoda bisekce, Newtonova metoda
Řešení soustav lineárních rovnic: Gaussova eliminace, LU dekompozice a její stabilita, pivotizace, Choleského rozklad, složitost metod, tridiagonální matice
Základní metody integrace obyčejných diferenciálních rovnic: počáteční a okrajová úloha, numerické řešení počáteční úlohy: jednokrokové Rungeovy-Kuttovy metody, vícekrokové lineární metody, lokální a globální diskretizační chyba, řád metody

Užší zaměření

Studenti si volí dva z okruhů otázek 1-7.

Matematické metody

Základy teorie míry: σ-algebra, borelovské množiny, vnější míra, úplná míra, Lebesgueova míra, měřitelné funkce, jednoduché funkce; znaménková míra (náboj), Hahnova dekompozice, totální variace míry
Banachovy a Hilbertovy prostory, lineární operátory a funkcionály: Banachova věta o pevném bodu; operátory a funkcionály; reprezentace lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru; spektrum, resolventní množina, bodové, spojité a reziduální spektrum, spektrální poloměr, kompaktní operátory, spektrum kompaktního operátoru; duální operátory a prostory, dualita, adjungovaný operátor, samoadjungovaný operátor; báze složená z vlastních vektorů, ortonormální báze v Hilbertově prostoru složená z polynomů a rekurentní vzorec; Hilbertova-Schmidtova věta
Rovnice matematické fyziky a jejich základní vlastnosti, speciální funkce: rovnice transportu, řešení metodou charakteristik; rovnice vedení tepla, existence a jednoznačnost řešení; vlnová rovnice, nalezení elementární vlnové funkce v jedné prostorové dimenzi, d'Alembertův vzorec, vlnový kužel a konečná rychlosti šíření informací; Laplaceova-Poissonova rovnice, elementární řešení, řešení na kouli, Poissonův integrál; funkce Gamma a Beta a jejich použití při výpočtech; Besselovy funkce, polynomy Legendreovy, Laguerrovy, Hermitovy; hypergeometrické řady
Definice distribuce a základní operace s distribucemi
Fourierova transformace funkcí a distribucí: Fourierova transformace pro funkce z L¹(Rⁿ), S(Rⁿ) – prostor rychle klesajících funkcí, L²(Rⁿ); temperované (Schwartzovy) distribuce S'(Rⁿ) a jejich Fourierova transformace; věty o inverzi pro funkce z prostorů L¹(Rⁿ), S(Rⁿ), L²(Rⁿ), S'(Rⁿ); věty o vztahu Fourierova transformace a derivace, Fourierova transformace a konvoluce, též pro distribuce; Fourierova transformace distribuce s kompaktním nosičem, speciálně Diracovy distribuce; použití distribucí pro nalezení fundamentálních řešení obyčejných a parciálních diferenciálních rovnic
Diferencovatelné variety a jejich tečné prostory, vnější kalkulus: topologické a diferencovatelné variety, tečné prostory, vektorová a tenzorová pole, zobrazení variet, podvariety, indukovaná zobrazení, Lieova závorka vektorových polí, Lieova derivace, antisymetrické formy, vnější součin, vnější derivace, exaktní a uzavřené formy, integrování antisymetrických forem, Stokesova věta
Riemannova geometrie a kovariantní derivace: kovariantní derivace a paralelní přenos podél křivek, torze, křivost a jejich geometrický význam, prostor konexí, konexe asociovaná se souřadnicemi a normalizovanou bází, Riemannova a pseudo-Riemannova metrika, Levi-Civitův tenzor, Hodgeův duál, metrický objemový element, Riemannova (metrická) konexe, isometrie a Killingovy vektory, extremální vlastnosti geodetik
Vektorové bundly: vektorové fibrované prostory, vektorová pole – řezy, kovariantní derivace na vektorových bundlech, vektorový potenciál a tenzor křivosti, elektromagnetické a kalibrační pole v řeči vektorových bundlů, kalibrační transformace a kalibrační grupa
Lieovy grupy a Lieovy algebry: Lieova grupa jako hladká varieta, levoinvariantní vektorová pole, Lieova algebra Lieovy grupy, strukturní konstanty a Killingova metrika, jednoparametrické podgrupy, exponenciální zobrazení, univerzální pokrývací grupa, akce grupy na varietě a její generátory
Základy teorie reprezentací grup: reducibilní, ireducibilní a úplně reducibilní reprezentace, charakter reprezentace, Schurova lemmata a jejich důsledky pro konečné grupy - relace ortogonality, počet a dimenze ireducibilních reprezentaci konečných grup Reprezentace grup SO(3) a SU(2) vztah reprezentací Lieovy grupy a její Lieovy algebry, reprezentace Lieovy algebry su(2), reprezentace grupy SU(2), jednoznačné a dvojznačné reprezentace grupy SO(3)

Relativistická teorie gravitace

Lieova derivace, symetrie a Killingovy vektory: tok vektorového pole-- a indukovaná zobrazení tečných prostorů, pull-back a push-forward; odvození indexových výrazů pro Lieovu derivaci skalárů, vektorů a kovektorů; prostoročasové symetrie v jazyce Lieovy derivace a Killingových vektorových polí, odpovídající souřadnicové výroky; základní vlastnosti Killingových vektorů a důsledky jejich existence (konstanty geodetického pohybu)
Riemannův a Weylův tenzor křivosti, geodetická deviace: Ricciho identity a Riemannův tenzor, plně kovariantní verze tenzoru, matematické vlastnosti a počet nezávislých složek, geometrická interpretace Riemanna (neintegrabilita paralelního přenosu), fyzikální interpretace Riemanna (otázka geodetické deviace); druhé Bianchiho identity; Ricciho tenzor a skalár; Weylův tenzor a jeho význam, počet nezávislých složek
Algebraická klasifikace prostoročasů: nulová tetráda a její Lorentzovy transformace; Weylův tenzor, jeho tetrádové komponenty a jejich chování při Lorentzových transformacích; privilegované nulové směry, jejich násobnost a odpovídající algebraické typy; významné algebraicky speciální prostoročasy a jejich interpretace (typy D a N)
Časupodobné a světelné kongruence: kinematika časupodobných a světelných kongruencí — expanze, vířivost a shear kongruence, odpovídající skaláry; vztah mezi vývojem těchto vlastností podél kongruence a geometrií prostoročasu; Frobeniův teorém, nadplochově ortogonální vektorová pole
Prostory konstantní křivosti (Minkowski, de Sitter, anti-de Sitter): maximálně symetrické vakuové prostoročasy a konformní plochost; křivost daná výhradně kosmologickou konstantou; přirozené globální souřadnice Minkowského, de Sitterova a anti-de Sitterova prostoročasu; jejich Penroseovy diagramy, akcelerační resp. kosmologický horizont v Minkowském resp. de Sitterovi; de Sitter jako kontrahující a pak expandující 3-sféra; uzavřené časové smyčky v anti-de Sitterovi versus jeho covering space
Přesná řešení Einsteinových rovnic popisující stacionární černé díry, zákony dynamiky: Schwarzschildovo, Reissnerovo-Nordströmovo, Kerrovo a Kerrovo-Newmanovo řešení Einsteinových rovnic, jejich vlastnosti a analytické rozšíření; jejich prostorová a prostoročasová struktura; otázka inerciálního draggingu v okolí rotujících zdrojů; teorémy o jednoznačnosti stacionárních černých děr, zákony jejich dynamiky (ilustrace na KerrověNewmanově řešení) a otázka extrakce energie z černých děr
Linearizovaná teorie gravitace a rovinné gravitační vlny: pojem slabého pole a odvození linearizované teorie gravitace, linearizované Einsteinovy rovnice a Lorenzova kalibrační podmínka; rovinná harmonická vlna jako řešení linearizovaných polních rovnic, otázka čistě souřadnicových vln a fixování zbývající kalibrační volnosti (TT kalibrace), rozklad řešení do dvou polarizačních módů; chování testovacích částic při průchodu vlny
Přesné prostoročasy s gravitačními vlnami: přesná gravitační vlna typu N jako transverzální efekt geodetické deviace zakódovaný v Ψ4; třída pp-vln v plochém prostoru, Brinkmannův a Rosenův tvar rovinných vln; Kundtova třída neexpandujících gravitačních vln; RobinsonovaTrautmanova třída expandujících gravitačních vln; sendvičové a impulzní gravitační vlny s libovolnou kosmologickou konstantou
Lagrangeovský formalismus v obecné relativitě, zákony zachování: variační odvození Einsteinových rovnic, Hilbertova akce, lagrangián pro geometrickou a zdrojovou stranu Einsteinových rovnic, otázka povrchového členu; zavedení tenzoru energie a hybnosti, invariance vůči diffeomorfismům a zákony zachování; “odvození” Levi-Civitovy konexe na základě nezávislé variace podle metriky a podle jejích derivací; souvislost zákonů zachování s charakterem grupy symetrií (Lieovy grupy, nekonečně-rozměrné pseudogrupy kalibračních transformací)
3+1 rozštěpení prostoročasu, počáteční problém a Hamiltonovský formalismus v obecné relativitě: 3+1 rozštěpení prostoročasu — metrika prostorupodobných nadploch, lapse a shift; kovariantní derivace na nadploše, tenzor vnější křivosti; projekce Riemannova tenzoru: Gaussovy-Codazziho rovnice, rozklad Ricciho tenzoru a skalární křivosti; 3+1 formulace Einsteinových rovnic, vazby a vývojové rovnice; hamiltonovská formulace teorie pole (ilustrace na skalárním a EM poli), hamiltonovská formulace Einsteinových rovnic — vazby a vývojové rovnice (vývojové rovnice bez odvození), otázka povrchových členů a integrální veličiny (ADM hmotnost)

Teoretická astrofyzika a kosmologie

Klasická a relativistická teorie hvězdné stavby, radiální oscilace a stabilita: separace sil krátkého a dlouhého dosahu, 16+3B veličin pro popis statické a sféricky symetrické hvězdy s B druhy baryonů, parametrizace metriky; Einsteinovy rovnice — rovnice pro hmotnost a rovnice pro gravitační potenciál, jejich interpretace; TOV rovnice, její diskuse a integrace pro uniformní hustotu; variační odvození TOV rovnice; rovnice tepelné rovnováhy, rovnice přenosu energie (prouděním, zářením); dynamický problém konvekční stability — radiální adiabatické oscilace, odvození rovnic pro počáteční hodnoty a dynamických rovnic, Sturmův-Liouvilleův problém určení oscilačních módů (myšlenka variačního řešení)
Hvězdný vývoj a jeho závěrečné etapy, gravitační kolaps, supernovy, černé díry: typické parametry hvězd, počet baryonů, neutronů a elektronů (Y-faktory) a jejich vývoj během života hvězd; obecná strategie řešení soustavy rovnic pro rovnováhu hvězd a výsledný (poloměr-hmotnost) graf rovnováh, stabilní větve bílých trpaslíků a neutronových hvězd, typické hustoty energetické škály a pojem chladné katalyzované látky; Chandrasekharova mez; Oppenheimerův-Snyderův přesný sféricky symetrický gravitační kolaps, navázání vnitřního a vnějšího řešení; zdroje energie výbuchu supernov
Stavové rovnice pro degenerovaný plyn, bílí trpaslíci, neutronové hvězdy: degenerovaný plyn, Fermiho hybnost a Fermiho energie, otázka ideálnosti plynu; tlakový integrál, jeho vyhodnocení pro degenerovaný plyn; stavové rovnice degenerovaného ideálního plynu v nerelativistické a ultra-relativistické limitě; hrubé odvození Chandrasekharovy meze, její fundamentální význam; fenomenologie vysokých hustot: neutronizace (inverzní beta rozpad), neutronový “drip”, rozpad nukleonů a kvarková-gluonová fáze
Nerelativistické zářivé procesy v astrofyzice: elektromagnetické pole a záření nerelativistických částic; dipólová aproximace, multipólový rozvoj záření; Thomsonův rozptyl; brzdná síla; záření harmonicky vázané částice a rozptyl na ní
Relativistické zářivé procesy v astrofyzice: elektromagnetické pole a záření relativistických částic; transformace výkonu a specifické intenzity; synchrotronové záření; brzdné záření; Comptonův a inverzní Comptonův rozptyl
Homogenní a izotropní kosmologické modely: kosmologický princip; Friedmannova-Lemaîtreova-Robertsonova-Walkerova metrika; kinematika FLRW metriky: geodetiky, kosmologický redshift, kosmologické horizonty; hmota a záření a jejich kosmologický vývoj; Friedmannovy rovnice; přehled modelů vývoje vesmíru
Kosmologické vzdálenosti, šíření světla, gravitační čočkování: vzdálenost vlastní a souřadnicová, vzdálenosti určené na základě poklesu luminozity a poklesu úhlového průměru; vzhled kosmologicky vzdálených objektů; gravitační čočkování, čočková rovnice; jednoduchá bodová čočka, vlastnosti obrazů, Einsteinův poloměr; slabé čočkování spojitě rozloženou hmotou
Raný vesmír a jeho tepelná historie: tepelná a chemická rovnováha, Boltzmannovy transportní rovnice a jejich řešení; vymrzání interakcí, oddělení částic z tepelné lázně; horké a chladné relikty a jejich zbytkové hustoty, temná hmota z pohledu částicové fyziky, WIMPy; tepelná historie vesmíru, vývoj plazmatu během „prvních tří minut“, elektroslabé a QCD fázové přechody, oddělení neutrin, anihilace pozitronů; prvotní syntéza jader, role deuteria, vývoj poměrného zastoupení neutronů a protonů, deuteria a ⁴He, baryonů a fotonů, problém baryonového čísla; poslední rozptyl fotonů reliktního záření, rekombinace, Sahova rovnice
Vývoj kosmického plazmatu v lineární perturbační teorii: kosmické plazma po nukleosyntéze – složky a jejich interakce; lineární perturbační teorie se skalárními perturbacemi na FLRW pozadí; struktura perturbovaných Boltzmannových rovnic pro fotony, chladnou temnou hmotu a baryony; vývoj teploty a teplotních fluktuací záření; vývoj hustot, hustotních fluktuací a rychlostí temné hmoty a baryonů
Vývoj hustotních perturbací, vznik struktur: perturbační popis hustotních fluktuací; lineární kolaps a Jeansovo kritérium; kosmologický vývoj a spektrum hustotních fluktuací; nelineární kolaps a vznik struktur; výsledky kosmologických simulací vývoje struktur
Reliktní záření a jeho anizotropie: reliktní záření a jeho historie, význam rekombinace; multipólový rozklad teplotních anizotropií; vývoj na velkých škálách, vývoj monopólu před rekombinací, Sachsův-Wolfeův efekt; vývoj na menších škálách, pevná vazba mezi baryony a fotony, akustické oscilace, zvukový horizont, tlumení na malých škálách; spojitost mezi prostorovou strukturou fluktuací v době rekombinace a pozorovanými anizotropiemi; struktura pozorovaného spektra anizotropií, integrovaný Sachsův-Wolfeův efekt, akustické píky, Silkovo tlumení

Pokročilá kvantová mechanika

Základy kvantové teorie rozptylu částice na vnějším potenciálu: časově závislá formulace jednokanálové teorie rozptylu: Møllerovy operátory, zákony zachování, S-matice a diferenciální účinný průřez; časově nezávislá formulace, Greenovy funkce, stacionární rozptylové stavy, LippmannovaSchwingerova rovnice a souvislost s řešením Schrödingerovy rovnice; T-matice
Rozptyl na sféricky symetrickém potenciálu a analytické vlastnosti rozptylových veličin: rozklad rozptylových veličin do parciálních vln, radiální Schrödingerova a Lippmannova-Schwingerova rovnice, vlastní fáze; Jostova funkce, póly S-matice, Levinsonův teorém, virtuální stavy, rezonance; nízko-energetické přiblížení, rozptylová délka
Základy mnohokanálové teorie rozptylu: Kanály a kanálové prostory; Møllerovy operátory a S-matice; časově nezávislá formulace, Lippmannova-Schwingerova rovnice a T-matice; chování rozptylových veličin v okolí prahů, Wignerovy cuspy; diferenciální účinné průřezy
Přibližné metody pro vícečásticové systémy: základní principy metod, Hartreeho-Fokova aproximace, elektronová korelace, metoda konfigurační interakce (CI), metoda vázaných klastrů (coupled clusters) a teorie hustotního funkcionálu (DFT)
Struktura atomů a molekul: elektronové stavy atomů a molekul a jejich klasifikace; vibrační stavy molekul; Wignerovy d-matice jako stacionární stavy pro symetrický setrvačník, rotace molekul
Přibližné metody teorie rozptylu a jejich aplikace: Bornova řada; variační principy v kvantové teorii rozptylu; metoda R-matice; rozptyl elektronů na atomech a molekulách ve „static-exchange“ aproximaci; vibrační a rotační excitace molekuly srážkou
Dekoherence a efektivní redukce: redukce (kolaps) kvantového stavu, skládání systémů, restrikce na podsystém, průměrování přes okolí, efektivní redukce - ekvivalence redukce a restrikce, entropie smíšených stavů
Kvantová mechanika a teorie skrytých proměnných: EPR systém, provázané stavy, lokalita kvantových měření a "nelokalita" korelací, Bellovy nerovnosti, neekvivalence kvantové mechaniky a lokálních teorií skrytých proměnných
Feynmanovská formulace kvantové mechaniky: kvantové historie, kvantová nerozlišitelnost, amplitudy a pravděpodobnosti, pravidla pro amplitudy, dráhový integrál pro nerelativistickou částici, volná Greenova funkce, zahrnutí interakce, ekvivalence rozvoje amplitudy v počtu interakcí a perturbativního řešení Schrödingerovy rovnice, WKB aproximace a klasická limita
Interpretace kvantové mechaniky: kolaps kvantového stavu a unitární vývoj, ontologická povaha kolapsu, realita neměřených veličin, zpožděná měření, kolaps v relativistické teorii, mnohosvětová interpretace, teorie skrytých proměnných, feynmanovská formulace, dekoherence

Kvantová teorie pole

Propagátor kvantovaného pole: definice a výpočet propagátoru jako chronologické kontrakce, příklady skalárního, Diracova a Procova pole, elektromagnetické pole ve fyzikální nekovariantní kalibraci, propagátor jako Greenova funkce
Kovariantní kvantování elektromagnetického pole: Guptova-Bleulerova metoda, propagátor v obecné kovariantní kalibraci, kalibrační nezávislost amplitudy rozptylu na úrovni stromových diagramů
Systematika Dysonova rozvoje S-matice v interakční reprezentaci: Wickovy teorémy, normální tvar operátoru S-matice – rozvoj do normálních součinů polních operátorů, normální uspořádání v interakci v kvantové elektrodynamice
Procesy 2. řádu v kvantové elektrodynamice: Comptonův rozptyl, elastický rozptyl elektronů a pozitronů, produkce mionového páru v elektron-pozitronové anihilaci, dvoufotonová anihilace elektron-pozitronového páru
Diagramy s uzavřenou smyčkou vnitřních linií: ultrafialové divergence a jejich regularizace: dimenzionální regularizace, Pauliho-Villarsova metoda
Index divergence jednočásticově ireducibilního diagramu: odvození výrazu pro index divergence 1PI grafu v modelu teorie pole s interakcí polynomiálního typu, vztah k dimenzi interakčního lagrangiánu, specifika modelů s hmotným vektorovým polem
Techniky praktického výpočtu jednosmyčkových Feynmanových diagramů: Feynmanova parametrizace, symetrická integrace, základní integrální formule pro dimenzionální regularizaci
Příklady spočitatelných diagramů bez ultrafialových divergencí: foton-fotonový rozptyl a relevantní efektivní lagrangián v limitě nízkých energií, anomální magnetický moment elektronu – Schwingerova korekce
Základní techniky renormalizace: identifikace ultrafialově divergentních částí jednosmyčkových grafů, holé a renormalizované veličiny, kontrčleny
Typy renormalizačních kontrčlenů v kvantové elektrodynamice: polarizace vakua, vlastní energie elektronu a korekce k vertexu, renormalizační konstanty Z₁, Z₂ a Z₃, Wardova identita, “on-shell” renormalizační schéma

Pokročilá statistická fyzika

Fázové přechody: klasifikace fázových přechodů, fázová koexistence, spontánní narušení symetrie, parametr uspořádání, Isingův a Heisenbergův mřížkový model, Landauova teorie středního pole
Kritické jevy a univerzalita: škálovací hypotéza, kritické exponenty a vztahy mezi nimi, Landauův-Ginzburgův-Wilsonův model, teorie renormalizační grupy, třídy univerzality
Komplexní systémy: samoorganizované kritické jevy, spinová skla, náhodné grafy, metoda replik Diagramatické metody pro mnohočásticové kvantové systémy časové a teplotní Greenovy funkce, Matsubarův formalismus, teorém souvislých klastrů, Schwingerova-Dysonova rovnice, analytické vlastnosti Greenových funkcí
Systémy interagujících fermionů: kvazičástice a jejich vlastnosti, Landauova rozptylová funkce, teorie Fermiho kapaliny
Teorie supravodivosti: Cooperova nestabilita, BCS teorie, Nambuův formalismus, termodynamické a spektrální vlastnosti supravodičů
Teorie lineární odezvy: Kubova rovnice, fluktuačně disipační teorém, Kramersovy-Krönigovy relace, Onsagerovy relace reciprocity
Mnohočásticové kvantové systémy mimo rovnováhu: poruchový rozvoj na komplexní časové křivce, pohybová rovnice pro korelační funkci, Keldyšův-Schwingerův a Kadanoffův-Baymův formalismus
Kinetické rovnice: redukované hustoty a Wignerova distribuční funkce, BBGKY hierarchie kinetických rovnic, Vlasovova-Landauova aproximace středního pole, Boltzmannova rovnice, H-teorém
Stochastické procesy: časové korelační funkce, markovovská aproximace, detailní rovnováha, Pauliho řídící rovnice, Brownův pohyb a difúze, Langevinova rovnice, Fokkerova-Planckova rovnice

Teorie plazmatu a záření

Vysokoteplotní a termonukleární plazma: definice, odvození Debyeovské délky, plazmové frekvence, polarizační drift
Magnetohydrodynamická rovnováha: MHD model pro rovnováhu, výpočet radiální rovnováhy tlaku a rovnováhy toroidálních sil pro základní konfigurace plazmatu (z-pinch, theta-pinch, screw pinch), zavedení rotační transformace
Magnetohydrodynamická stabilita: koncept zamrznutí magnetických siločar do plazmatu, klasifikace MHD nestabilit, výpočet smyčkové, výměnné a „ballooning“ nestability, koncept lineární stability, rekonexe, svazková nestabilita
Principy udržení plazmatu: inerciální udržení, magnetické udržení (Tokamak, Stelarator, Reversed field pinch, Spheromak), magnetické struktury v atmosférách hvězd
Transport v plazmatu: klasický a neoklasický transport částic, transportní bariéra, „bootstrap“ proud
Zářivé procesy: záření pohybujícího se náboje, brzdné záření, synchrotronové záření, plazmový mechanismus záření, Comptonův rozptyl, rozptyl na vázaných částicích
Zářivá (magneto)hydrodynamika: limita geometrické optiky, kinetická formulace přenosu záření – rovnice přenosu, tlak záření, hvězdný vítr a akrece, rázové vlny, průchod záření plazmatem (disperze, Faradayova rotace)
Obecně-relativistická kinetická teorie: fázový prostor, Liouvilleův teorém, rovnice pohybu nabitých částic a elektromagnetického pole, rovnice pohybu kontinua, průchod záření gravitačním polem (gravitační čočky, reliktní záření)
Numerické modelování plazmatu: částicové modely, metody sítí, numerické nestability

Počítačová fyzika

Faktorizace matic a jejich využití v numerické lineární algebře.: LU dekompozice a její stabilita, QR rozklad a singulární rozklad matice a jejich využití při řešení přeurčených soustav a špatně podmíněných úloh, využití QR rozkladu při hledání vlastních čísel matice
Iterační metody numerické lineární algebry: lineární iterační metody: Jacobiho metoda, Gaussova-Seidelova metoda, superrelaxační metoda, jejich konvergence; multigridová metoda; metoda sdružených gradientů, předpodmínění; Jacobiho metoda hledání vlastních čísel reálných symetrických a hermitovských matic
Integrace obyčejných diferenciálních rovnic: stabilita a konvergence jednokrokových metod a vícekrokových lineárních metod, Dahlquistův teorém, absolutní stabilita a oblast absolutní stability, stabilita systému obyčejných diferenciálních rovnic, systémy se silným tlumením, A-stabilita
Metoda konečných diferencí pro parciální diferenciální rovnice: odvození a chyba vzorců konečných diferencí, obecné s-krokové schéma pro lineární PDR, příklady schémat pro základní parabolické a hyberbolické PDR; řád metody a konzistence, konvergence a stabilita, Laxova věta; CFL podmínka, von Neumannova analýza stability
Metoda konečných prvků pro okrajové úlohy: slabá a variační formulace problémů popsaných eliptickými PDR, Ritzova a Galerkinova metoda: diskretizace pomocí vhodné kompaktní báze, odhad chyby metody konečných prvků; ilustrace na konkrétním problému
Diskrétní Fourierova transformace a její využití: základní vlastnosti diskrétní Fourierovy transformace, Nyquistova kritická frekvence, aliasing; rychlá Fourierova transformace; využití pro výpočet konvoluce a řešení diferenciálních rovnic
Základy metody Monte Carlo.: centrální limitní věta, odhad chyby metody Monte Carlo, využití pro integraci, generování náhodných proměnných s danou rozdělovací funkcí: Metropolisův-Hastingsův algoritmus
Základy metody molekulární dynamiky: pohybové rovnice klasického mnohočásticového systému a jejich numerická integrace: Verletova metoda, Gearovy integrátory; srovnání metod pomocí integrálů pohybu, výpočet středních hodnot makroskopických veličin
Základy kvantových simulací: kvantová Monte Carlo metoda a výpočet základního stavu systému pomocí variačního principu, simulace při konečné teplotě, numerické simulace z prvních principů