Studenti teoretické a matematické fyziky – bakalářské studium

Téma zahrnuje následující úkoly: 1) naučit se pracovat s programy Maple nebo Mathematica (speciálně bude třeba tenzorová algebra); 2) seznámit se podrobně s třídou cirkulárních prostoročasů; 3) prostudovat a zkontrolovat text zmíněný v upoutávce; 4) postoupit dále ve studiu "1+2+1" rozštěpení křivosti cirkulárních prostoročasů. Téma je dlouhodobější, v bakalářské práci lze očekávat splnění bodů 1) a částečně 2)-3).

Cílem práce bude systematické studium úplné třídy vakuových řešení v Einsteinově-Gaussově-Bonnetově teorii gravitace, s kosmologickou konstantou a případně s čistým zářením, které patří do Kundtovy rodiny s nulovými optickými skaláry. Některé přesné prostoročasy tohoto typu již byly nalezeny, ale vždy jen bez nediagonálních “gyratonových” členů. Pokusíme se odvodit explicitní tvar rovnic pole a pak přistoupíme k jejich integraci, čímž připravíme cestu k jejich následné analýze.

Rovnice geodetické deviace představuje velmi užitečný nástroj pro analýzu křivosti daného prostoročasu a poskytuje jasný návod, jak mohou být odchylky od ploché geometrie experimentálně identifikovány. Za tímto účelem se však zpravidla uvažuje pouze lineární přiblížení. V rámci bakalářské práce by se student měl seznámit s popisem geodetické deviace, zahrnutím korekcí vyšších řádů a jejich vlivem na pozorovatelné efekty gravitačního pole ovlivňující relativní pohyb volných testovacích částic.

Geodetický, případně elektro-geodetický pohyb v polích stacionárních, Kerrových-Newmanových černých děr je plně integrabilní, tuto vlastnost však ruší přítomnost dalšího zdroje (byť stacionárního a axiálně symetrického). V polích černých děr obklopených hmotou se tak geodetická dynamika typicky stává chaotickou, což může mít i astrofyzikální důsledky. V minulosti jsme se studenty problém studovali pro několik vnějších zdrojů typu tenkého disku či prstence. V této práci by se měl prostudovat případ tzv. invertovaných Kuzminových-Toomreových disků, které mají tu výhodu, že nemají žádný okraj (působící vždy určité obtíže) - rozprostírají se hladce od horizontu až do nekonečna, přičemž na obou těchto místech jejich hustota dostatečně rychle vymizí. Zadání je vhodné pro absolventy základního kursu obecné teorie relativity.

V newtonovské i obecně relativistické nebeské mechanice je podstatnou otázkou dlouhodobý vývoj příslušného dynamického systému. I volný pohyb jediného bodového tělesa (“částice”) v daném gravitačním poli je plně integrabilní jen za vysokých symetrií a speciální multipólové struktury zdroje. V obecné relativitě je problém mnohem zajímavější díky tomu, že v okolí velmi kompaktních zdrojů (černých děr) existují hyperbolické pevné body v podobě nestabilních (nicméně vázaných) kruhových orbit. Po poruše systému, např. v důsledku přítomnosti dalšího hmotného zdroje okolo černé díry, se tzv. homoklinické orbity, oscilující mezi zmíněnými kruhovými orbitami a potenciálovým svahem na vyšších poloměrech, mají tendenci “rozpadat” v chaotickou vrstvu. V této práci by se měly homoklinické orbity najít pro prostoročasy černých děr “porušených” přítomností kruhových disků či prstenců, popř. - pro srovnání - pro odpovídající newtonovská pole s bodovým tělesem v centru. Zadání je vhodné pro absolventy základního kursu obecné teorie relativity.

V obecné relativitě existuje sada algebraických a diferenciálních podmínek, tzv. Rainičovy podmínky [1], které zaručují, že zdrojem daného gravitačního pole popsaného metrickým tenzorem je pole elektromagnetické. Obdobně existují i podmínky zaručující to, že zdrojem je ideální tekutina [2]. Tématem bakalářské práce bude případ, kdy zdrojem je elektromagnetické pole i ideální tekutina současně. Obecná otázka zní, zda existují podmínky, které by existenci takovéhoto kombinovaného zdroje zaručovaly.

V obecné relativitě je pohyb testovacích hmotných bodů popsán geodetikami. Otázkou však je, jak se pohybují nebodová tělesa. Problém spočívá v tom, že kvůli omezení rychlosti vzájemných interakcí rychlostí světla nemáme k dispozici absolutně tuhá tělesa, jejichž pohyb by bylo možné zkoumat. Existuje jednoduchý analytický model popisující pohyb dvojice hmotných bodů spojených "pružinou", jejíž působení je aproximováno výměnou interakčních částic. Tento model však lze použít pouze v případě pohybu po přímce a tedy vysoké symetrie zkoumaného prostoročasu. Bylo by užitečné popsat tuto interakci pomocí struny, na jejíchž koncích by byly hmotné body připevněny. Strunu lze v obecné relativitě popsat různými způsoby, je tedy užitečné tyto přístupy porovnat a jejich výsledky srovnat s částicovým modelem pružiny.

Formulate 1D theory of laser-assisted electron scattering. Familiarization with basic scattering theory and photoionization. Implementation of numerical methods for propagation of wave function in a time-dependent potential representing the laser field. This work is especially suitable for students with prior experience with programming.

Student se seznámí s přesným řešením Einsteinových rovnic, které reprezentuje dvojici urychlených černých děr, tzv. C-metrikou. V důsledku symetrií jsou rovnice testovacích polí řešitelné metodou separace proměnných. To platí i ve speciálně relatistické limitě, kde jsou rovnice snadno explicitně řešitelné. V takovém případě místo černé díry bude student uvažovat objekt vhodných symetrií (topologickou sféru) z vodivého materiálu. Posléze budou zkoumat vlastnosti testovacího elektromagnetického pole (s přihlédnutím k patřičným okrajovým podmínkám) na daném pozadí (např. fenomén superradiance) a možnosti jejich vizualizace v globálních souřadnicích .

Cílem práce bude zkoumání zdánlivě jednoduchého systému: volného bodového náboje poblíž nekonečné vodivé desky či drátu. Již vyřešit samotný pohyb v případě, že jsou uvažovány speciálně relativistické efekty je netriviální a není známo přesně. Co se však stane, když se bude vodič pohybovat a bude neideální? Pohyb náboje bude zkoumán v různých aproximacích.

Rotační elektromagnetická superradiance je jev, jehož existence vyplývá již z termodynamických zákonitostí. Typicky je explicitně zkoumána na příkladech rotujícího válce či sféry, v relativistickém případě pak na Kerrově černé díře -- tedy na objektech bez lineárního pohybu. Úkolem studenta bude se seznámit s existujícími pracemi a také přeným s řešením Einstenových rovnic -- C-metrikou --, která reprezentuje rovnoměrně urychlené rotující černé díry. Vzhledem ke skutečnosti, že C-metrika je algebraicky speciální (typu D), tak je možné řešit Maxwellovy rovnice metodou separace proměnných. Student prozkoumá chování elektromagnetických polí v speciálně relativistické limitě v daných urychlených souřadnicích. Vzhledem k netriviálnosti systému lze očekávat technické komplikace, ale i jejich odhalení a formulace problému samotného bude přínosem.

Práce se soustředí na studium, fyzikální interpretaci a názornou vizualizaci vlivu impulzních gravitačních vln na testovací částice. Student se seznámí s klasickým popisem těchto prostoročasů a ve vybraných případech bude modelovat explicitní chování geodetik (zejména neexpandující impulzy s gyratonovými členy a kosmologickou konstantou). Dále se student může seznámit se spinorovým popisem expandujících impulzů a jeho možnými aplikacemi.

Meziatomární coulombický rozpad (ICD) [1] je relaxační auto-ionizační mechanismus, kterým může excitovaný atom předat svou přebytečnou energii sousednímu atomu. ICD patří do třídy Feshbachových rezonančních procesů, vykazujících více-elektronový charakter. Teoretické studium takových procesů vyžaduje použití pokročilých metod jako jsou mnoho-částicové Greenovy funkce. Pro kvantitativní výpočty v reálných systémech jsou tyto postupy úspěšné a efektivní, jejich složitost ale komplikuje kvalitativní pochopení detailních aspektů procesu. Práce je součástí dlouhodobého záměru s cílem vytvořit málo-dimenzionální numericky exaktně řešitelný efektivní model, simulující ICD mezi dvěma elektrony zachycenými v potenciálových jámách a interagující efektivní párovou interakcí. Podobné modely již byly vytvořeny a používány ke studiu ICD v kvantových tečkách a dalších efektivně dvou-elektronových polovodičových strukturách [2,3]. Následně budeme na tomto modelu studovat například vliv symetrie počátečního a finálního stavu rozpadu na chování rozpadové šířky ve Fanově teorii, efekt započítání nebo zanedbání výměnné interakce mezi elektrony a podobně. Po rozšíření modelu na tři částice bude možné studovat také nedávno popsaný mechanismus "superexchange ICD" [4,5], případně interferenční jevy mezi dvěma blízkými rezonančními stavy, vedoucími potenciálně až k jevu zvanému "bound states in continuum" [6].

Familiarization with the basic theory of single- and multi-channel scattering in non-relativistic quantum mechanics. Derive analytic solutions for the Siegert states in simple two-channel systems. Implement a numerical method for finding the Siegert solutions of the Schrodinger equation. Study trajectories of the corresponding S-matrix poles on the Riemann surface of the S-matrix.

Nejen v důsledku nenulovosti kosmologické konstanty je přirozené studovat otázku do jaké míry by měla být fundamentální grupou transformací ve speciální relativitě právě grupa Poincareho, tedy polopřímý součin Lorentzovy grupy a prostoročasových translací. De Sitterova grupa SO(1,4) má stejnou dimenzi a nalezneme v ní standardní rotace a boosty, ale neobsahuje komutujici translační část. To má celou řadu důsledků, které je možné studovat. Student by měl popsat strukturu de Sitterovské speciální relativity a porovnat ji se standardní speciální relativitou. Vybranou odlišnost je možné podrobněji analyzovat. Dále lze prostudovat limitní případy s ohledem na kosmologickou konstantu.

1. Nastudovat základy obecné teorie relativity a seznámit se s klíčovými vlastnostmi gravitačního pole kompaktního zdroje [1]. 2. Rozšířit diskuzi obsaženou v [2] týkající se metody použité v [3] pro newtonovskou gravitaci a pro Schwarzschildovu metriku ve Weylových souřadnicích. 3. Zkoumat vliv volby souřadnic na tvar tenzoru energie a hybnosti a hledat metody, které by tento vliv mimimalizovaly. Zkoumat možnost variační formulace problému. 4. Výsledky demonstrovat na dalších přesných řešeních z Weylovy třídy [4,5].

Student se bude zabývat přesným řešením Einsteinových-Maxwellových rovnic, které popisuje statické černé díry s elektrickým nábojem rovným jejich hmotnosti, jež jsou v rovnováze díky tomu, že jejich vzájemné elektrostatické odpuzování se vzájemně vyruší s jejich gravitační interakcí. Práce nejprve shrne známé vlastnosti Majumdarova-Papapetrouova řešení -- jeho horizonty, singularity a konformní strukturu, případně pohyb částic v něm. Potom se zaměří na řešení perturbované, v němž černé díry získají malou rychlost. Student si zvolí nějaký speciální případ a prostuduje jeho vývoj, případně zjistí, jak se změní pohyb testovacích částic v porovnání s původním přesným řešením. Dále se pokusí stávající perturbační přístup popisující dvě vzájemně se pohybující černé díry rozšířit na tři tělesa a bude se věnovat také speciálním případům, kdy lze pohyb černých děr případně popsat analyticky. Prostuduje též vliv perturbací na trajektorie testovacích částic a jejich stabilitu a zjistí, zda dráhy nezačnou vykazovat známky chaotického chování.

Téme geodetického chaosu v poli porušených černých děr spojuje tři oblasti teoretického výzkumu: astrofyzikální motivaci v podobě akrečních disků a prstenců kolem černých děr, obecnou relativitu jako teorii prostoročasu (gravitace), a teorii dynamických systémů, která poskytuje nástroje pro studium dlouhodobých důsledků slabých odchylek od integrability (v daném případě od integrability geodetického pohybu v polích izolovaných stacionárních černých dír). Práce bude vycházet z výsledků, které jsme se studenty získali v předchozích letech, speciálně se soustředí na nalezení kruhových a s nimi asociovaných homoklinických orbit v některých konkrétních potenciálech či metrikách.

Magnetická pole generovaná plazmatem akreujícím na černé díry jsou podstatným prvkem modelů takových astrofyzikálních objektů jako jsou aktivní galaktická jádra či rentgenové dvojhvězdy. Dnešní modely akrece jsou v konečné fázi výsledkem rozsáhlých numerických MHD kódů, nicméně nejjednodušší případy stacionárních a axiálně symetrických zdrojů byly vyřešeny i analyticky. Astrofyzikálně zajímavý případ testovací proudové smyčky byl studován v řadě článků a řešení prezentováno v různých podobách. Cílem této práce by mělo být využít tato publikovaná řešení pro zobrazení polí v konkrétních případech, speciálně pak k modelování pole soustavy koncentrických smyček (odpovídající tenkému proudovému disku).

50 let je známo, že v centru Kerrova prostoročasu je kruhová prstencová singularita, která ohraničuje vnitřně plochý disk interpretovatelný buď jako sídlo hmoty záporné plošné hustoty, nebo jako regulární vakuový průchod do druhé asymptoticky ploché oblasti variety. Nedávno však vyšel článek, který tvrdí, že geometrická povaha centrálního disku je jiná. Bylo by zajímavé zkontrolovat tuto "issue" nejen pro Kerrův, ale i pro Appellův prostoročas, který je topologicky (ale i strukturou momentů) Kerrovu velmi podobný (a je jednodušší). Jedná se (snad) o vděčné téma pro zájemce o geometrii. Téma předpokládá znalost obecné relativity na úrovni kursu NTMF111.

Polní rovnice obecné teorie relativity (OTR) jsou nelineární. Na jedné straně díky tomu existují např. černoděrová řešení, ovšem protože nelze až na výjimky provádět superpozici řešení, jsou přesná řešení vzácná a ještě vzácněji reprezentují reálná pole nějakých gravitujících objektů. Mnohá řešení vykazují všelijaké singularity, což v OTR znamená nejen nekonečně silná pole, ale také přítomnost dalších patologií, např. podél některých světočar mohou částice cestovat zpět v čase. Cílem práce by bylo nahradit "patologické oblasti" objemovým zdrojem a zkoumat nakolik se podobá reálné látce. Obecně se dá očekávat, že silnější pole bude vyžadovat podivnější a podivnější látku. Navrhovaná metoda by spočívala ve "shlazení" singulární části prostoročasu vhodně hladkou funkcí (lze zapsat analyticky) a numerickém zkoumání výsledku (analytické metody asi nestačí). Při práci se student seznámí s důležitými řešeními Einsteinových rovnic a jejich vlastnostmi.

Prostudovat literaturu o teoriích gravitace, zvláště o teoriích Horndeskiho typu, zaměřit se na prostoročasy representující černé díry nebo jednoduché kosmologické modely. Provést přehled metod umožňujících formulaci zákonů zachování pro perturbace přesných řešení rovnic pole v těchto teoriích. Soustředit se na metody vycházející z přístupů Katze, Bičáka, Lynden-Bella, Petrova a dalších a s jejich pomocí se pokusit vyjádřit například hmotnost černých děr v asymptoticky anti-de Sitterových případně dalších "kosmologických" prostoročasech.

Student se seznámí s přesnými řešeními Einsteinových rovnic: Schwarzschildovým ř., Vaidyovým ř., fotonovými raketami a C-metrikou. Následně rozvine konstrukci C-metriky jako limity fotonových raket a tím přenese výsledky ohledně gravitačního záření atp. do prostoročasu C-metriky. Zároveň rozpracuje různé limitní případy a jednodušší modely akcelerace, aby vyvrátil či potvrdil smysluplnost daného modelu.

1. Nastudovat základy obecné teorie relativity a seznámit se s klíčovými vlastnostmi gravitačního pole kompaktního zdroje [1]. 2. Nastudovat křivočaré souřadnice dle [2]. 3. Nastudovat podoby Ernstovy rovnice a Ernstova potenciálu pro Kerrovu metriku [3]. 4. Zkoumat chování různých metod numerického řešení parciálních diferenciálních rovnic při řešení Ernstovy rovnice [4,5].

1. Nastudovat základy obecné teorie relativity a kompaktifikace prostoročasů za použití konformně související metriky [1,2]. 2. Nastudovat 3+1 zápis geometrie prostoročasu [3]. 3. Zkoumat chování vybraných řešení vlnové rovnice na hyperboloidálních nadplochách v asymptoticky plochých prostoročasech s ohledem na jejich efektivní reprezentaci při numerickém řešení vlnové rovnice. 4. Popsat uvažované volby souřadnic s použitím veličin 3+1 formalismu a případně i zkoumat možnost jejich dynamické volby např. prostřednictvím zdrojových funkcí zobecněných harmonických souřadnic.

Student se seznámí rovnicemi popisující chování testovacích polí (elektromagnetické, gravitační) na pozadí černých děr. Tyto, takzvané Teukolského rovnice, lze řešit zavedením Debyeovských potenciálů, které připouští i klasická plochá řešení. Ovšem interpretace zdrojů se v tomto případě mění. V tom by spočívalo těžistě této práce.

Student by v rámci práce měl zkoumat gravitační čočkování kupou galaxií a soustředit se na lokální vliv jednotlivých galaxií kupy. Halo dominantní temné hmoty kupy lze popsat profilem Navarra, Frenka a Whitea (NFW), ke kterému lze v základním přiblížení přidat hmotné body představující jednotlivé galaxie. Nejdříve s využitím modelu s jednou galaxií posoudí vliv volby základních parametrů NFW profilu na zjištěné vlastnosti kritických křivek a kaustik. Model poté rozšíří přidáním dalších hmotných bodů a prozkoumá charakter kombinování perturbací od jednotlivých bodů.

Student se seznámí s vlastnostmi konformních transformací, geometrickým popisem nulových geodetických kongruencí, definicí Robinsonovy-Trautmanovy (RT) a Kundtovy (K) třídy prostoročasů a jejich nejvýznamnějšími představiteli (statické černé díry, (ne)expandující gravitační vlny, gyratony). Dále využije konformního vztahu mezi RT a K geometriemi k identifikaci konformního faktoru a Kundtovské části metriky odpovídající známému přesnému RT řešení rovnic gravitačního pole, případně se pokusí o hledání a fyzikální interpretaci řešení nových, a to jak v Einsteinově teorii relativity tak teoriích modifikovaných.

Nejprve by se měl student detailně seznámit s přesným Kerrovým řešením Einsteinových rovnic gravitačního pole, které popisuje rotující černou díru. Dále v této geometrii prozkoumá existenci netwistující nulové geodetické kongruence a s ní svázané foliace prostoročasu světelnými nadplochami. Poté se pokusí o zavedení vhodných adaptovaných souřadnic.

1. Nastudovat základy obecné teorie relativity a seznámit se s klíčovými vlastnostmi FLRW kosmologického modelu a Schwarzschildovy černé díry včetně důvodů různé volby souřadnic. 2. Nastudovat odvození Oppenheimerova a Snyderova modelu gravitačního kolapsu. 3. Podrobně sepsat vztahy pro transformace mezi různými sadami souřadnic používaných při popisu Shwarzschildova prostoročasu. 4. Zkoumat analyticky a numericky prodloužení těchto souřadnic skrze povrch kolabující hmoty Oppenheimerova a Snyderova modelu.

Vibrace molekul se standardně popisují pomocí aproximace Bornovy-Oppenheimerovy. Ta vede na popis pohybu jader v ustředněném poli elektronů, kterému se říká povrch potenciálové energie. Dimenzionalita dynamiky závisí na počtu stupňů volnosti tj. na velikosti molekuly, která je prakticky neomezeně velká. Numerické nároky rostou s dimenzionalitou exponenciálně přitom analyticky řešitelných modelů je velmi málo, například harmonické vibrace. V této práci se student seznámí s výpočtem vázaných stavů a Greenovy funkce pro dynamiku vibrací v 1-3 dimenzionálních modelech. Hlavním cílem práce bude posoudit, jaké chyby se člověk dopustí nahrazením obecného anharmonického problému modelem složeným z interagujících harmonických potenciálu, který je možné efektivně řešit maticovými iteračními metodami.

Cílem práce je uvažovat systém kontaktně interagujících částic jako jednoduchý model objektu s vnitřním momentem hybnosti a s jeho použitím ilustrovat chování částice se spinem ve speciální a obecné teorii relativity. V práci bude nejprve potřeba zkoumat model složeného systému s momentem hybnosti, jehož kohezi zprostředkují modelové částice se zápornou hmotností. Již v rámci speciální teorie relativity bude potřeba diskutovat zavedení vektoru spinu, chování těžiště systému při změně inerciálního systému a pod. Práce by pak měla zkoumat, jak je možné takovýto model vnořit do křivého prostoročasu. Nejprve bude vhodné uvažovat speciální případ pohybu v prostoročase Schwarzschildovy černé díry. Přirozeným pokračováním je otázka, za jakých podmínek je pohyb takového systému v křivém prostoročase aproximován Mathissonovými - Papapetrouovými rovnicemi.

"Rattleback" je hračka ve tvaru malé lodičky, která se položí na stůl a roztočí. Pokud se roztočí nesprávným směrem dojde k vibracím lodičky a samostatné změně směru rotace (viz heslo rattleback na anglické wikipedii tam ukázaná videa). Zdánlivé narušení zachování momentu hybnosti, je způsobeno interakcí s podložkou. Cílem této práce je pokusit se vymyslet molekulární systém vázaný na povrch, který by vykazoval podobné chování.

Rešeršní část práce by měla shrnout gravitační kolaps popsaný Oppenheimerovým-Snyderovým modelem a zmínit různé volby souřadnic v tomto dynamickém prostoročase. Následovat by měl přehled výsledků získaných v klíčovém článku [1], tedy odvození rovnic pro vývoj elektromagnetického pole při kolapsu, vysvětlení volby počátečních dat, popis chování dipólového elektromagnetického pole při gravitačním kolapsu a diskuze vlivu volby souřadnic. Práce by měla směřovat k formulaci soustavy evolučních rovnic elektromagnetického pole vhodných k numerickému řešení.

Tato práce by měla porovnat – v rámci statické a axisymetrické třídy řešení Einsteinových rovnic – geometrii prostoročasů generovaných singulárními kruhovými prstenci (které již v tomto směru byly studovány v literatuře) s geometrií odpovídající časově symetrickému okamžiku vývoje tzv. Brillových gravitačních vln. Toto řešení je dynamické a popisuje soustřeďující se a poté opět rozplývající oblast zvýšené křivosti, přičemž v časově symetrickém okamžiku odpovídá momentálně statickému a axiálně symetrickému rozložení křivosti s maximem podél určité kružnice. Výhodou tohoto řešení (oproti nekonečně tenkým prstencům) je, že i ve zmíněném maximu je křivost konečná.

Many binary stars can experience catastrophic interaction accompanied by almost instantaneous loss of mass, angular momentum, and energy. This "common envelope" interaction is critical for many pathways of binary evolution leading to tight binaries composed of white dwarfs, neutron stars, and black holes, including the progenitors of gravitational wave sources. Recently, these events were identified in time-domain surveys of the sky, which brings an unique opportunity to understand this phase by direct modeling of observations of the associated transient brightenings. Recent work on these transients shows that mass loss occurs most likely from the vicinity of the outer Lagrange point (L2) and lasts many orbits. However, the dynamics of gas leaving the binary star has not been fully explored in the setting relevant for the observed events.

Vibrace molekul se standardně popisují pomocí aproximace Bornovy-Oppenheimerovy. Ta vede na popis pohybu jader v ustředněném poli elektronů. Tato aproximace se musí netriviálně zobecnit za přítomnosti více elektronových stavů nebo dokonce elektronvých rozptylových stavů. Pokud se dynamiky účastní více vibračních módů, mohou se objevit nové efekty spojené s netriviální topologii povrchu potenciálové funkce. V této práci se posluchač seznámí s popisem srážky elektronu s molekulou a v případě zájmu s pojmy spojenými s vícedimenzionální vibrační dynamikou (symetrie, kónické průsečíky, Jahn-Tellerův efekt, Berryho fáze). Získané znalosti moho sloužit jako odrazový můstek pro další práci v atomové a molekulové fyzice, v částicové fyzice nebo v teorii transportu elektronu v pevných látkách. Součástí práce bude seznámení se s maticovými iteračními metodami pro řešení úloh lineární algebry a práce je určená též studentům matematiky.

Při studiu gravitačního čočkování je čočkující objekt modelován buď spojitě rozloženou hmotou (v případě silného i slabého čočkování galaxiemi či kupami galaxií), nebo sadou diskrétních hmotných bodů (v případě mikročočkování hvězdami či hvězdnými systémy). Spojitě modelované systémy však ve skutečnosti mají i svou diskrétní složku: čočkující kupy galaxií obsahují jednotlivé galaxie; čočkující galaxie obsahují trpasličí galaxie, kulové hvězdokupy, na ještě jemnější škále jednotlivé hvězdy. Cílem práce je otestovat na jednoduchých modelech vliv přidané diskrétní složky na čočkování spojitě modelovanými objekty a posoudit možné důsledky na analýzu pozorovaných čoček.

Numerický výpočet rozptylové délky při nízko-energetických srážkách atomů, která je potřebného např. při popisu Bose-Einsteinova kondenzátu.

Řadu fyzikálních procesů v kvantové mechanice je možné popsat jako interakci tzv. diskrétního stavu s kontinuem. Příkladem může být rezonanční rozptyl. Při něm se metastabilní stav, popsaný kvadraticky integrabilní vlnovou funkcí odpovídající zachycení rozptylované částice, rozpadá do kontinua rozptylových stavů. Při řešení tohoto problému se obvykle předpokládá exponenciální rozpad diskrétního stavu s odpovídající rozpadovou šířkou určenou například v nejnižším řádu poruchové teorie. Rozpad je nicméně exponenciální pouze v případě konstantní vazby diskrétního stavu na kontinuum (nezávislé na energii rozptylového stavu) - tzv. Fanův model. Cílem práce bude numerická simulace časového vývoje v případě realističtějšího modelu s nekonstantní vazbou a studium odchylek od očekávaného exponenciálního průběhu.

Numerický výpočet fázových posuvů v kvantové teorii rozptylu závisí na kvalitní reprezentaci kontinua. V nedávné době byl v tomto kontextu navržen nový přístup k jeho diskretizaci prostřednictvím tzv. báze vlnových balíků, která mimo jiné dává dokonalou kontrolu nad hustotou diskrétních hladin v různých intervalech energie. Student by se měl seznámit s vlastnostmi této báze a možnostmi jejího využití v různých numerických přístupech k řešení rozptylového problému.

Magnetická pole generovaná plazmatem akreujícím na černé díry jsou podstatným prvkem modelů takových astrofyzikálních objektů jako jsou aktivní galaktická jádra či rentgenové dvojhvězdy. Dnešní modely akrece jsou v konečné fázi výsledkem rozsáhlých numerických MHD kódů, nicméně nejjednodušší případy stacionárních a axiálně symetrických zdrojů byly vyřešeny i 'analyticky'. Astrofyzikálně zajímavý případ testovací proudové smyčky byl studován v řadě článků a řešení prezentováno v různých podobách. Cílem této práce by mělo být porovnat tato publikovaná řešení a případně jich využít k nalezení pole soustavy koncentrických smyček (odpovídajících disku kolem černé díry).

Černé díry obklopené disky či tenkými prstenci jsou patrně centrálními objekty galaktických jader a některých rentgenových dvojhvězd. Navzdory nelinearitě obecné relativity je ve statickém a axiálně symetrickém případě možné takovéto "superpozice" přesně a jednoduše popsat. Statičnost však nepřipouští rotaci a v důsledku efekty tzv. "draggingu", jejichž kombinace u vícesložkových systémů by mohla být velmi zajímavá. Stacionární "superpozice" jsou bohužel velmi obtížné, ale aspoň pro pomalou rotaci jich lze dosáhnout perturbací statických prostoročasů. Námětem této práce bude studium vlastností lineární perturbace Schwarzschildova řešení vyvolané přítomností lehkého rotujícího tenkého disku. Téma je určeno pro absolventy přednášky NTMF111.

1. Seznamte se s následujícími okruhy problémů [1-4] a shrňte je v rešeršní části práce - Skalární vlnová rovnice ve sféricky symetrickém prostoročase - Konformní diagramy sféricky symetrických asymptoticky plochých časoprostorů - Kritické jevy v gravitačním kolapsu - Základy numerického řešení obyčejných diferenciálních rovnic 2. Podrobně nastudujte metodu numerické evoluce kolabujícího skalárního pole v kompaktifikovaných souřadnicích [5] 3. Numericky zkoumejte jak chování skalárního a gravitačního pole během kolapsu tak i použitých numerických metod.

1. Seznamte s následujícími okruhy problémů [3-6]: - Kerrův prostoročas a jeho vlastnosti - Pohybové rovnice bodových částic v Boyerových-Lindquistových a Kerrových-Schildových souřadnicích - Penroseův proces pro srážku částic - Numerické řešení soustav obyčejných diferenciálních rovnic - Věty o horizontech a množství využitelné energie 2. Podrobněji zkoumejte a ilustrujte možnost extrakce energie při srážce částic v ergosféře Kerrovy černé díry v situaci uvažované v [1] a [2].

V poslední době jsme se se studenty věnovali geodetickému pohybu ve statickém a axiálně symetrickém poli černé díry obklopené tenkým diskem či prstencem. Pomocí vícero metod jsme ukázali, že pohyb je za širokého rozsahu parametrů chaotický, a pokusili se také výsledky aplikovat na astrofyzikální podmínky v jádře naší galaxie. Bylo by zajímavé detailněji prostudovat vlastnosti periodických, homoklinických a/nebo heteroklinických orbit uvažovaných systémů. Tyto orbity jsou pro dynamiku klíčové, poněvadž právě v důsledku jejich perturbace (zde způsobené přítomností disku či prstence) se ve fázovém prostoru otevírají chaotické vrstvy. Typ chování, které se při perturbaci objeví, lze zjistit pomocí tzv. Melnikovovy metody, založené na vyhodnocení určitého (Melnikovova) integrálu podél neporušené homoklinické orbity. Téma je určeno pro absolventy přednášky NTMF111 a předpokládá rozvinutí v diplomovou práci.

Toroidální struktury se zdají být přirozeným stadiem gravitačního kolapsu rotujících těles, ale bylo ukázáno, že stacionární černé díry v nesingulárních asymptoticky plochých (tzv. globálně hyperbolických) prostoročasech obecné relativity mají – alespoň splňuje-li přítomná hmota určitou energetickou podmínku – vždy horizont sférické topologie. Není stále vyjasněno, zda porušení některých z uvedených okolností poskytuje realistickou možnost existence toroidálních černých děr. Metriky s toroidálními horizonty jsou nicméně známy, avšak jejich obvyklé získání z cylindrické situace vyříznutím a identifikací není příliš uspokojivé. Toroidální díry každopádně mohou existovat ve vícerozměrném případě (řešení typu 'black ring'), a také v anti-de Sitterově prostoročasu (se zápornou kosmologickou konstantou); tyto případy by mohly sloužit jako vodítko. Téma je určeno pro absolventy přednášky NTMF111 a umožňuje rozvinutí v diplomovou práci.

Hamiltonova funkce, narozdíl od Hamiltoniánu, je funkcí počátečních a koncových poloh a časů, přičemž její hodnota je dána vyčíslením akce na fyzikální trajektorii. Souvisí přímo s řešením Hamiltonovy-Jacobiho rovnice, energií systému a s amplitudou přechodu u vývoje kvantových systémů.

Cílem práce je analyzovat nová vakuová řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole, která údajně reprezentují zrychlenou (nerotující) černou díru s NUT parametrem. Přestože tato řešení byla matematicky nalezena v roce 2006, jejich jasná fyzikální interpretace stále chybí. Geometrická a fyzikální analýza bude založena na explicitním výpočtu skalárů křivosti, jež určují algebraický typ, nalezení vhodných souřadnic, ve kterých lze vypnout zrychlení, a určení parametrů souvisejících s netriviálním NUT nábojem a zrychlením.

Vznik molekul v kosmickém prostoru je stále obestřen mnohými tajemstvími. Podmínky panující v molekulárních mezihvězdných mračnech se natolik liší od běžných laboratorních, že většina procesů, které tam mohou probíhat není dobře prozkoumána. Kvantová teorie rozptylu v principu popisuje takové procesy přesně, ale prakticky je výpočet většinou nad možnosti dnešních počítačů i pro malé molekuly a je potřeba použít chytré přibližné metody. V této práci půjde o kombinaci klasického a kvantového popisu reakční dynamiky. Kvantový popis určuje interakční poteniál, v němž se pohybují jádra atomů podle rovnic klasické mechaniky. V mnohých molekulárních systémech navíc interakční potenciál obsahuje tzv. kónická křížení (tzv. diabolic points) [1] a představuje víceznačnou samu-sebe protínající funkci. Student se naučí základům kvantové teorie rozptylu a aplikaci semiklasických metod na reakční dynamiku. Metody bude testovat na modelových potenciálech inspirovaných tří částicovou srážkou, například D- + H2, nebo antiproton+H2. Práce je vhodná především pro studenty, kteří chtějí pokračovat ve studiu magisterských oborů teoretická fyzika, matematické modelování, biofyzika a chemická fyzika nebo jaderná a subjaderná fyzika.

Techniky manipulace, chytání do pastí a chlazení atomů pomocí optického pole laserů zaznamenaly prudký rozvoj v devadesátých letech. Jednou ze zajímavých aplikací je chytání atomů do optické mřížky, což je periodický potenciál vytvořený stojatou elektromagnetickou vlnou. Atomy se v takové mřížce chovají podobně jako elektrony nebo kvazičástice v pevných látkách, ale jejich vlastnosti lze ladit pomocí vhodných dodatečných elektrických a magnetických polí. Taková konfigurace potom může sloužit jako modelový systém pro studium typických jevů v mnohočásticové fyzice obecně. V této práci půjde o interakci excitovného atomu nebo iontu, který přichází do optické mřížky v níž jsou lapeny další (terčové) atomy. Při vhodné volbě atomů může dojít k uvolnění elektronu, což bylo studováno například v naší skupině pro jednotlivé terčové atomy. Cílem této práce je pokusit se zjistit co se stane, když elektron může odcházet z jednoho z mnoha terčových atomů, což může vést k novým jevům a inspirovat nové experimenty. Technicky půjde o řešení stacionární Schrodingerovy rovnice v jednorozměrném periodickém komplexním potenciálu a fyzikální interpretaci výsleků. Práce je vhodná především pro studenty, kteří chtějí pokračovat ve studiu magisterských oborů teoretická fyzika, matematické modelování, biofyzika a chemická fyzika nebo jaderná a subjaderná fyzika.

Při srážkách elektronů s dvouatomovými molekulami dochází často k záchytu elektronu do rezonančního stavů a vznikne tak molekulový iont, jehož jaderná dynamika (vibrační pohyb) je jiný, než u neutrální molekuly a tím může dojít k excitaci molekuly, pokud elektron opět odletí, nebo k disociaci molekuly, pokud elektron zůstane u jednoho z atomů. Pro konstrukci modelu popisujícího jadernou dynamiku těchto srážek je nejprve zapotřebí napočítat potenciální křivky jak pro neutrální, tak pro záporně nabitou molekulu, a dále rozptyl elektronů v aproximaci pevných jader. Student se seznámí s metodami kvantové chemie a R-maticovou metodou pro výpočty rozptylu elektronů na molekulách a získá praktické zkušenosti s výpočty pro konkrétní dvouatomový systém.

Kauzální množiny představují jeden z přístupů ke kvantové gravitaci, který od počatku bere diskrétní povahu prostoročasu jako danou. K množině diskrétních událostí pak přidává jejich kauzální vztahy. Dynamika takového modelu může být dána například sekvenčním růstem, kdy přidáváme další události a s určitou pravděpodobností generujeme jejich kauzální vztahy s původní množinou.

Předpověď procentuálního zastoupení prvků (H,D,He,Li) v raném vesmíru byla jedním z důležitých argumentů pro správnost teorie velkého třesku. Tato přepověď byla učiněna modelováním jaderných reakcí v horkém hustém vesmírném plasmatu. Podobné výpočty lidé dělají pro pozdější fázi vývoje vesmíru, kdy látka natolik vychladla, že se vytvořily atomy a nakonec i molekuly. Přitom je potřeba znát účinné průřezy desítek reakcí [2]. Cílem této práce je kriticky vyhodnotit kavalitu těchto výpočtů (mnohé z nich jsou dosti staré) a pokusit se je zopakovat nebo dokonce zpřesnit, nebo upozornit na případné přehlédnuté procesy.

Student se seznámí s přesnými řešeními Einsteinových rovnic, která popisují neexpandující i expandující impulsní gravitační vlny šířící se v prostoročasech konstantní křivosti. Dále se bude věnovat vybraným aspektům geodetických pohybů v těchto prostoročasech a způsobům jejich vizualizace.

Cílem bakalářské práce je pokusit se nahradit singularitu konkrétního cylindricky symetrického řešení Einsteinových-Maxwellových rovnic plošným zdrojem a na základě jeho vlastností podat fyzikální interpretaci tohoto prostoročasu

Teoretický popis srážek elektronů s molekulami představuje stále velikou výzvu. Kromě toho, že jde o mnohočásticový proces je situace komplikována tím, že elektrony mohou odejít do kontinua a navíc dochází k narušení Bornovy-Oppenheimerovy aproximace. Všechny tyto problémy řeší teorie nelokálního rezonančního modelu [1,2], která však zatím byla použita jen na dvou-atomové molekuly. Na druhou stranu, rovnice vyplývající z této teorie lze snadno formulovat pro harmonické vibrace a řešit je v bázi vlastních funkcí lineárního harmonického oscilátoru. Student se seznámí s výpočtem účinných průřezů vibrační excitace molekuly srážkou s elektronem a provede jeho zobecnění nahrazením 1D oscilátorové báze vícedimenzionální bází.

Numericky přesně řešitelný problém difrakce částice na strukturované bariéře a jeho interpretace pomocí přibližného řešení. Student se naučí pracovat s klíčovými pojmy kvantové teorie rozptylu a rezonancí, které můžou sloužit jako odrazový můstek pro další práci v atomové a molekulové fyzice, v částicové fyzice nebo v teorii transportu elektronu v pevných látkách.

Nastudujte klíčové publikace k tématu a na základě publikovaných ale i vlastních analytických i numerických výpočtů detailně ilustrujte jev superradiace ve frekvenčním i časovém obraze u klasického Zeľdovičova modelu superradiace pro elektromagnetické pole vně otáčejícího se vodivého válce. Do práce zahrňte i stručný přehled publikovaných výsledků týkajících se superradiace pro pole v okolí Kerrovy černé díry.

Integrální rovnice teorie rozptylu (Fredholmova integrální rovnice druhého druhu) se dá řešit analyticky v případě tak zvaného separabilního potenciálu. Cílem této bakalářské práce je najít takováto řešení pro systémy elektron-atom nebo elektron-molekula a provést jejich analytické prodloužení do oblasti komplexních energií. Práce je vhodná jak pro studenty fyziky, tak i pro studenty matematického modelování ve fyzice. Výhodou je znalost programů Mathematica, Maple, apod.

Úkolem studenta bude nejprve shrnout vlastnosti víceděrových prostoročasů bez kosmologické konstanty, čili statického Majumdarova-Papapetrouova řešení, a dále příslušného zobecnění s kosmologickou konstantou, čili expandujícího řešení Kastora-Traschenové. Dále bude student uvažovat zjednodušený model s pouze dvěma černými děrami a napočítá zde elektrogeodetiky. Nakonec se pokusí o totéž v dynamickém prostoročasu Kastora-Traschenové.

Otázka generování a možných konfigurací (elektro)magnetického pole v polích černých děr je teoreticky zajímavá a také astrofyzikálně významná. Speciálně magnetická pole generovaná plazmatem obíhajícím kolem černých děr jsou podstatným prvkem modelů takových velmi energetických zdrojů jako jsou aktivní galaktická jádra či rentgenové dvojhvězdy. Dnešní 'realistické' akreční modely jsou v konečné fázi výsledkem rozsáhlého numerického MHD modelování, nicméně nejjednodušší případy stacionárních a axiálně symetrických zdrojů byly vyřešeny i 'analyticky'. Astrofyzikálně zajímavý případ testovací proudové smyčky byl studován v řadě článků a řešení prezentováno v různých podobách. Cílem této práce by mělo být porovnat tato publikovaná řešení a případně jich využít k nalezení pole soustavy koncentrických smyček (vytvářejících kolem černé díry disk).

Výpočet rezonančních nebo rozpadových šířek metastabilních stavů atomů a molekul a jejich iontů představuje pro mnohočásticovou kvantovou fyziku velice obtížný problém. Jeho podstata tkví především v nutnosti popisu elektronů uvolněných do kontinua. V praxi jsou vlnové funkce kontinua jsou často aproximovány kvadraticky integrabilními funkcemi, které se rutinně používají k popisu vázaných stavů, ale nemohou postihnout rozptylovaný elektron. Získané tzv. pseudo-spektrum může být přesto s pomocí momentové teorie použito k výpočtu rozpadových šířek. Přestože je tato metoda poměrně rozšířená, důkladnější studium její spolehlivosti v literatuře chybí. Cílem práce je studovat vlastnosti výpočetní techniky známé jako Stieltjes imaging při výpočtu rezonančních šířek na modelovém jedno-dimenzionálním rozptylovém problému a porovnat získané výsledky s přesným řešením.

Analyticky řešitelný model pro dvoukanálový rozptyl a jeho rozbor s ohledem na teorii neelastických srážek v atomové a molekulární fyzice. Student se naučí pracovat s klíčovými pojmy mnohokanálové teorie rozptylu a rezonancí, které můžou sloužit jako odrazový můstek pro další práci v atomové a molekulové fyzice, v částicové fyzice nebo v teorii transportu elektronu v pevných látkách.

Geodetický pohyb kolem izolovaných stacionárních černých děr je plně integrabilní, avšak přítomnost dodatečného zdroje (např. disku či prstence) integrabilitu naruší a v systému se typicky objeví chaos. Tuto "robustní" skutečnost, která může mít astrofyzikální význam včetně observačních důsledků, jsme studovali různými metodami v přesných prostoročasech Weylova typu popisujících statickou a axiálně symetrickou soustavu černé díry obklopené tenkým diskem či prstencem. Záměrem tohoto návrhu je podrobit obdobnému studiu dynamiku pohybu testovacích částic v odpovídajících Newtonových polích, v nichž jsou některé obecně relativistické rysy (zejména existence horizontu) simulovány modifikací gravitačního potenciálu. Výsledky takového porovnání by byly dobrým ukazatelem použitelnosti (pseudo-)newtonovských aproximací při analýze dlouhodobých vývojů ve zmíněných polích.

Cílem práce je demonstrovat, jak ve formalizmu newtonovské fyziky pomocí okamžitého silového působení reprezentovat dynamická elektromagnetická a gravitační pole. Půjde především o vysvětlení skutečnosti, že v této limitě není přítomna tzv. aberace. Jako vhodný explicitní model pro studium zmíněných efektů poslouží Kinnersleyho třída přesných řešení Einsteinových rovnic, jež popisují pole libovolně zrychlujících zdrojů, a to i v případě nenulové kosmologické konstanty.

Přehledová práce z matematické relativity o geometrii anti-de Sitterově vesmíru a tzv. topologických objektů získaných různými identifikacemi AdS prostoročasu. Tyto objekty hrají důležitou roli "toy"-modelů pro mnoho zajímavých fyzikálních efektů. Předpokládá se znalost základů diferenciální geometrie a obecné teorie relativity v rozsahu NTMF111 a NTMF037 a ochota studovat rozsáhlý materiál často přesahující látku vykládanou na bakalářské úrovni.

práce by měla předložit přehled geometrie nízkodimenzionálních tzv. BTZ (Banados-Teitelboim-Zanelli) černých děr. Tyto objekty lze získat identifikací části anti-deSitterova vesmíru v 2+1 dimenzi. Cílem práce by mělo být studovat, shrnout a pedagogicky vyložit geometrii těchto děr, studovat fázové přechody k prázdnému anti=de Sitterovu vesmíru a prostoročasu obsahujícímu bodové částice.

Cílem práce je shrnout, navzájem porovnat a dále prozkoumat přesná řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole s hmotným polem emitovaného nulového záření, která modelují urychlený pohyb lokalizovaných objektů – fotonových raket. Půjde zejména o geometrickou a fyzikální analýzu Kinnersleyho a Bonnorovy třídy těchto řešení.

Tématem práce jsou význačné vlastnosti obecné teorie relativity jako je kalibrační volnost nebo gravitomagnetismus a jejich diskuze m.j. i z hlediska Machova principu. Protože přesné řešení Einsteinových rovnic představuje obtížnou úlohu, bude při výpočtech použita postminkovská aproximace poskytující možnost studovat společně pohyb částic modelujících jak hmotu, tak i pozorovatele, jeho inerciální systém a jím pozorované světelné paprsky. V takovýchto modelech působení hmoty na inerciální systém pozorovatele bude třeba nalézt měřitelné (a tedy kalibračně invariantní) veličiny a studovat závislosti mezi nimi. Tyto veličiny by měly charakterizovat např. rozložení hmoty či jejím pohybem způsobené roztáčení inerciálního systému vybraného pozorovatele. Při vypracování práce je třeba se seznámit se základy obecné relativity, použité aproximace a řešením obyčejných diferenciálních rovnic pro pohyb částic.

Pohyb hmotných bodů v gravitačním poli lze popsat a vypočítat poměrně snadno. V případě těles s vnitřními stupni volnosti je však situace podstatně složitější. Dva hmotné body spojené nehmotnou tyčí, jejíž délka se v čase mění, mohou i v newtonovském případě změnit parametry své dráhy v gravitačním poli. Existují také příklady jednoduchých nebodových těles, která mění svou dráhu při pohybu po zakřivených plochách. To naznačuje, že i v obecné relativitě by mohlo docházet k podobnému jevu. Studium pohybu dvojic hmotných bodů splňujících předepsanou vazbu ukazuje, že tomu tak skutečně je. Otázkou však například zůstává definice fyzikálně přípustné vazby, těžiště či geometrického středu soustavy a také její energie.

Tématem práce bude působení gravitačních vln na pohyb částic a na něm založené detektory gravitačních vln. 1. Slabé gravitační vlny v Einsteinově teorii relativity 2. Pohyb testovacích částic a fotonů v gravitační vlně 3. Funkce interferometrických detektorů gravitačních vln 4. Alternativní metody detekce gravitačních vln

Studium velmi úzkých rezonancí v potenciálovém rozptylu. Vývoj numerických metod pro velmi úzké rezonance, případně rezonance s nesouměřitelně rozdílnou dobou rozpadu do dvou různých kanálů.

Úkolem studenta bude: (i) seznámit se s popisem (vakuových) statických a axiálně symetrických prostoročasů pomocí Weylovy metriky a s odpovídajícím tvarem Einsteinových rovnic; (ii) seznámit se s řešeními polních rovnic, jejichž zdrojem jsou tenké disky či prstence, a sepsat o nich krátký přehled. Možnosti vlastní práce: (iii) pochopit rozdíly v povaze základních prstencových řešení a pokusit se je doložit prozkoumáním okolí jejich singularit; případně (iv) pokusit se navrhnout další řešení diskového typu, speciálně promyslet možnosti řešení pro disky s hladkým průběhem hustoty na okraji/okrajích.

Při gravitačním čočkování vzdáleného kvasaru mezilehlou galaxií vytváří gravitační pole galaxie několik pozorovatelných obrazů kvasaru. Pokud světlo některého z těchto obrazů prochází přímo hvězdnou populací čočkující galaxie, je navíc ovlivněno všemi hvězdami ležícími podél jeho dráhy. Vzhledem k tomu, že úhlový pohyb kvasaru vůči kaustické struktuře vytvořené gravitačním polem těchto hvězd obecně není zanedbatelný, dochází k časové modulaci světelného toku obrazu, takzvanému kvasarovému mikročočkování. Cílem práce je zjistit citlivost příslušné světelné křivky na velikost vyzařující oblasti akrečního disku kvasaru, na jeho orientaci a na jeho povrchovém rozložení intenzity.

Cílem práce je studium analytických vlastností vazbových energií a rezonančních parametrů na vazbových konstantách jednoduchých potenciálů (Suma Diracových delta funkcí). Z výpočtu energií vázaných stavů se dají v principu určit energie a šířky rezonancí pomocí analytického prodloužení v těchto parametrech. Toto analytické prodloužení bude provedeno pomocí aproximací Padé třetího typu (statistická aproximace).

Poslední dobou se objevilo několik velmi efektivních metod pro numerické řešení časově závislé Schrödingerovy rovnice. Student by se s nimi měl seznámit a porovnat jejich efektivitu při řešení jedno- a dvoudimenzionálních problémů.

V rámci pokusů o skloubení kvantové teorie a obecné teorie relativity (při zachování kovariance) bylo zjištěno, že odlišná povaha času v obou teoriích výrazně ztěžuje jejich sjednocení. V obecné relativitě je hamiltonián vazbou a je tedy na fyzikálních řešeních nulový. Jelikož hamiltonián generuje časový vývoj klasicky i kvantově, vedlo to k otázce, zda je čas skutečně fundamentalní a nutnou veličinou.

Standardní kosmologické modely vycházejí z kosmologického principu, podle kterého je vesmír homogenní a izotropní. Toto však ve skutečnosti platí jen na velmi velkých škálách a nikoliv přesně. Proto se uvažují poruchy standardních modelů -- obvykle do prvního (lineárního), v poslední době i do druhého řádu. Téma zahrnuje mnoho konkrétních otázek, např. specifikace typu perturbací pro konkrétní typy nehomogenit či neizotropií, ale i principiální problémy jako např. souřadnicově nezávislou formulaci perturbační teorie či stanovení energie perturbací.

Studium klasických systémů vykazujících nekolizní singularity řešení pohybových rovnic.

V teorii relativity se vždy znovu zdůrazňuje rozdíl mezi souřadnicovými složkami tenzorů a invarianty z nich spočítanými. U invariantů se obvykle dodává, že to jsou veličiny, které 'by skutečně někdo změřil'. Správně je však třeba dodat, kdo by je změřil, poněvadž různí 'pozorovatelé' provádějí svá měření různě (speciálně na různých prostorupodobných nadplochách). V této práci by měl student rozmyslet, co by změřili pozorovatelé na kruhových orbitách v Minkowskiho a v Kerrově prostoročasu. V Minkowskiho případě se jedná o známý 'paradox rotujícího kotouče', v Kerrově prostoročasu do hry vstupuje i 'opravdová' gravitace, včetně rotačního strhávání inerciálních systémů. Téma je vhodné pro absolventy přednášky z obecné relativity.

V práci půjde o ilustraci možnosti extrakce rotační energie černých děr. Základem práce mělo být seznámení se s rovnicemi geodetiky v prostoročase rotující stacionární černé díry a jejich prvními integrály. Za použití analytických či numerických postupů pak bude konkrétně zkoumán možný proces extrakce rotační energie černé díry.

Výpočet průchodu proudu molekulou zapojenou v elekrickém obvodu v modelu těstné vazby a formulace tohoto problému v rámci kvantové teorie rozptylu.

V práci studujeme dynamiku systémů, jejichž hmotnost se mění. Vycházíme z obecného Newtonova pohybového zákona a v pohybových rovnicích uvažujeme změnu hybnosti související ze změnou hmotnosti. V první části této práce formulujeme a řešíme pohybové rovnice pro různé příklady takovýchto systémů. Příklady jsou rozděleny do tří skupin. První skupinu tvoří Buquoyovy úlohy s hmotností přímo závislou na poloze, druhá je tvořena úlohami dopravního pásu pro hmotnost závislou na čase a v třetí uvádíme úlohy kapky v mraku, pluhu a rakety. V druhé části práce podrobně zkoumáme zákon zachování energie v obecném případě systémů s proměnnou hmotností. Presentujeme jeho formulaci v několika verzích a ukazujeme její platnost na většinì příkladů z první části práce.

Cílem práce je vyjasnit souvislost mezi některými třídami přesných řešení Einsteinových rovnic gravitačního pole, zejména konformně plochými prostoročasy s čistým zářením (případně analogickými řešeními algebraického typu N) a s kosmologickou konstantou. Konkrétním úkolem je najít explicitní transformace mezi řešeními, které nedávno nalezli Edgar s Ramosovou, a již od 80. let známými řešeními tohoto typu, která nalezli Ozsváth, Robinson a Rózga.

V předložené práci studujeme geometrickou formulaci Hamiltonovy mechaniky. Nejprve se zabýváme situací, kdy hamiltonián nezávisí na čase. V tomto případě je příslušnou geometrickou arénou 2n-dimenzionální symplektická varieta. Následně připouštíme časově závislé hamiltoniány a přecházíme na 2n+1 dimenzionální rozšířený fázový prostor. Vývoj mechanického systému je v obou případech určen integrálními křivkami vektorového pole, které je dáno Hamiltonovými kanonickými rovnicemi. Pro oba případy rovněž zavádíme kanonické transformace. Na závěr geometicky interpretujem Hamiltonovu-Jacobiho rovnici.

Předložená práce ukazuje možnosti aplikace diferenciální geometrie na Lagrangeův formalismus. V první kapitole jsou položeny základy geometrické formulace Lagrangeovy mechaniky, je ukázán význam tečného bandlu konfigurační variety a dynamického vektorového pole, které řeší Lagrangeovy rovnice v jejich geometrickém tvaru. Je zformulován a dokázán také významný teorém Emmy Noetherové. Druhá kapitola pak zavádí další geometrické pojmy související s Lagrangeovým formalismem v jeho geometrické podobě, a to zejména fíbrovaný prostor, lifty, vektorové pole druhého řádu a Lagrangeovo vektorové pole. Ukázána je také existence symplektické struktury a hamiltonovské dynamiky na tečném bandlu konfigurační variety.