Studijní program Matematika

Oborová rada doktorského studijního programu Matematika

Aktuální složení oborové rady je na adrese http://mff.cuni.cz/phd/or/m.


Obecná poznámka, platná pro všechny obory programu Matematika

Součástí studijního plánu každého studenta nebo studentky doktorského studia v rámci doktorského studijního programu Matematika by mělo být vystoupení na konferenci. Vhodnou přípravou pro vystoupení na mezinárodní konferenci je vystoupení na interní konferenci Week of Doctoral Students of the School of Mathematics (WDS-M), kterou každoročně s tímto účelem pořádá matematická sekce, viz http://karlin.mff.cuni.cz/wds-m/. Vystoupení na WDS-M není všeobecnou povinností pro všechny studenty, ale je-li vystoupení na WDS-M zařazeno do individuálního studijního plánu studenta na daný akademický rok, stáva se pro něj povinným. Povinnost vystoupení na WDS-M je tak dáno především rozhodnutím školitele resp. jeho dohodou s příslušným studentem či studentkou.


4M1 Algebra, teorie čísel a matematická logika

Rada doktorského studijního oboru 4M1

Aktuální složení rady je na adrese http://mff.cuni.cz/phd/rdso/4m1.

Spolupracující ústavy

Matematický ústav AV ČR, v.v.i.
Žitná 25, 115 67 Praha 1
http://www.math.cas.cz
Ústav informatiky AV ČR, v.v.i.
Pod Vodárenskou věží 2, 182 07 Praha 8
http://www.ustavinformatiky.cz/

Vypsaná témata

Jsou k nahlédnutí v SIS na adrese http://mff.cuni.cz/phd/temata/4m1.

Poskytovaná výuka

kód Předmět ZS LS
NAIL056 Logický seminář I   0/2 Z
NAIL080 Logický seminář II   0/2 Z
NMAG460 Komutativní algebra 1   3/1 Z+Zk
NMAG466 Teorie svazů 2   2/0 Zk
NMAG475 Výběrový seminář z MSTR   0/2 Z 0/2 Z
NMAG498 Výběrová přednáška z MSTR 1   2/0 Zk
NMAG499 Výběrová přednáška z MSTR 2   2/0 Zk
NMAG561 Komutativní algebra 2   2/0 Zk
NMAG562 Homologická a homotopická algebra   2/0 Zk
NMAG563 Úvod do složitosti CSP   2/0 Zk
NMAG565 Algebra a nekonečná kombinatorika   2/0 Zk
NMAG567 Reprezentace grup 2   2/2 Z+Zk
NMAG568 Charaktery v teorii čísel   2/0 Zk
NMAG571 Algebraický seminář   0/2 Z 0/2 Z
NMAG573 Seminář k problému CSP   0/2 Z 0/2 Z
NMMB451 Aplikace matematiky v informatice   0/2 Z 0/2 Z
NMMB452 Seminář z matematiky inspirované kryptografií   0/2 Z 0/2 Z
NMMB453 Studentský logický seminář   0/2 Z 0/2 Z
NMMB471 Výběrový seminář z MMIB   0/2 Z 0/2 Z
NMMB498 Výběrová přednáška MMIB 1   2/0 Zk
NMMB499 Výběrová přednáška MMIB 2   2/0 Zk
NMMB551 Seminář z kombinatorické, algoritmické a finitní algebry   0/2 Z 0/2 Z
NMMB621 Doktorandský seminář z kryptologie   0/2 Z 0/2 Z
NTIN071 Automaty a gramatiky   2/2 Z+Zk
NLTM001 Teorie množin   2/2 Z+Zk
NMAG575 Forsing   2/0 Zk
NMAG576 Seminář z forsingu   0/2 Z
NLTM011 Pokročilá teorie modelů   2/2 Z+Zk
NLTM014 Nestandardní seminář I   0/2 Z
NLTM015 Nestandardní seminář II   0/2 Z
NLTM026 Booleovy algebry   2/0 Zk
NMAG577 Seminář z počtů   0/2 Z 0/2 Z
NLTM036 Základní nestandardní seminář   0/2 Z
NTIN062 Složitost I   2/1 Z+Zk
NTIN063 Složitost   2/1 Z+Zk
NTIN064 Vyčíslitelnost   2/0 Zk
NTIN065 Vyčíslitelnost II   2/0 Zk
NTIN073 Rekurze   2/0 Zk
NTIN074 Rekurze II   2/1 Z+Zk
NTIN088 Algoritmická náhodnost   2/0 Zk
NTIN089 Algoritmická náhodnost II   2/0 Zk
NMAI067 Logika v informatice   2/0 Zk
NAIL021 Booleovské funkce a jejich aplikace   2/0 Zk
NMAI040 Úvod do teorie čísel   2/0 Zk
NDMI066 Algebraická teorie čísel   2/0 Zk

Seznam požadavků ke státní doktorské zkoušce

Student si po dohodě se školitelem vybere jednu ze tří specializací: ,,Algebra", ,,Matematická logika" nebo ,,Teorie čísel." Státní doktorskou zkoušku koná ve vybrané specializaci podle následujícího seznamu požadavků:

Algebra

I. Širší základ
Povinná část.

I.1 Základy algebry
Teorie grup: konečné grupy, Sylowovy věty, struktura konečně generovaných komutativních grup, volné grupy a jejich podgrupy.

Okruhy, moduly a reprezentace algeber: noetherovské okruhy, Groebnerovy báze, Projektivní a injektivní moduly, Krull–Schmidtova věta. Lineární reprezentace grafů a moduly nad algebrami cest.

Univerzální algebra: Variety algeber, Birkhoffova věta. Svazy kongruencí. Přepisující systémy.

II. Pokročilé partie
Studující si vybere po dohodě se školitelem dvě různá témata z pokročilých partií specializace ,,Algebra, ,,Teorie čísel nebo ,,Matematická logika.'' Aspoň jedno z nich ale musí být některé z následujících (II.1–II.9):

II.1. Teorie grup
Akce grupy na množině. Permutační, řešitelné a nilpotentní grupy. Lineární grupy. Jenoduché konečné grupy, jednoduchost An a PSLn(K). Základy teorie rozšíření grup, semidirektní součiny grup. Grupová algebra a reprezentace grup, Maschkeho věta, tabulky charakterů, modulární a integrální reprezentace.

II.2 Binární systémy
Levodistributivní grupoidy (volné, monogenerované, problém slov), souvislost s grupami pletenců. Mediální a oboustranně distributivní grupoidy, rovnicová teorie mediálních idempotentních grupoidů. Normální podkvazigrupy a kongruence lup a kvazigrup, nuklea, centrum, nilpotence. Vazby na multiplikační grupu. LCC, CC, extra, bolovské a moufangovské lupy. Inverzní vlastnosti, diasociativita. Izotopie, centrální a mediální kvazigrupy. Toyodova věta.

II.3 Komutativní algebra I
Komutativní noetherovské okruhy: spektrum, lokalizace, primární rozklady, Krullova věta o dimenzi. Celistvá rozšíření, Dedekindovy obory, faktorizace ideálů. Algebraické množiny, radikálové ideály, Hilbertova věta o nulách.

II.4 Komutativní algebra II
Galoisova rozšíření, grupy a korespondence. Normy a stopy. Cyklická a radikálová rozšíření, neřešitelnost polynomiálních rovnic v radikálech. Tenzorový součin, lokalizace a zúplnění modulů. Regulární posloupnosti, hloubka, Auslander–Buchsbaumova věta. Cohen–Macaulayovy a Gorensteinovy okruhy.

II.5 Teorie modulů
Direktní limity. Čistě–injektivní moduly, modelově–teoretické souvislosti. Funktory Ext a dlouhá exaktní posloupnost. Filtrace. Dekonstruovatelnost pro regulární a singulární kardinály (závislost na rozšíření ZFC, Hillovo lemma, Shelahova věta o singulární kompaktnosti). Struktura Whiteheadových a Baerových modulů. Kategorie modulů, Moritova věta.

II.6 Teorie reprezentací algeber
Konečně dimenzionální algebry jako faktory algeber cest grafů. Skoro štěpitelná zobrazení, AR–posloupnosti, AR–graf konečně dimenzionální algebry. Dědičné algebry. Konečný, krotký a divoký typ. Gabrielova věta. Vychylující moduly a vychýlené algebry. Derivované kategorie.

II.7 Univerzální algebra a teorie svazů
Svazy variet, reprezentační věty, konečně bázované variety, Malcevovy podmínky, primální algebry a jejich zobecnění, rovnicová logika, aritmetika volných svazů, algebraické reprezentace svazů, variety svazů, modulární a geometrické svazy.

II.8 Univerzálně algebraické metody v CSP
Minimální množiny konečných algeber, jejich typy, uniformita, separace a hustota. Struktura minimálních množin. Abelovskost a řešitelnost obecných algeber. Charakterizace vypouštění typů pro lokálně konečné variety. Souvislost složitosti CSP a klonu polymorfismů. Schaeferova věta. Malcevské CSP, problémy konečné šířky.

II.9 Kombinatorika na slovech
Dicksonovo lemma. F–pologrupy (minimální množina generátorů, kódy, podmínka stability, řády pologrupy). Chomskeho hierarchie (formální gramatiky a odpovídající automaty, Kleenova věta, pumpovací lemmata, Parikhova věta). Rovnice ve volných monoidech (věta o kompaktnosti, grafové lemma, vlastnosti defektu, ekvivalenční a testovací množiny). Postův korespondenční problém.

Doporučená literatura

Anderson, F. W., Fuller, K. R.: Rings and Categories of Modules. GTM 13. 2nd ed. Springer, New York, 1992.
Assem I., Simson, D., Skowronski, A.: Elements of the Representation Theory of Associative Algebras I. LMSST 65. Cambridge University Press, Cambridge, 2006.
Berstel, J., Perrin, D.: Theory of Codes. Academic Press, London, 1985.
Bruck, R. H.: A Survey of Binary Systems. Springer, Berlin, 1971.
Bruns, W., Herzog, J.: Cohen–Macaulay Rings. CSAM 39. Cambridge University Press, Cambridge, 1998.
Bulatov, A., Krokhin, A., Larose, B.: Dualities for constraint satisfaction problems. In: Complexity of Constraints, LNCS 5250. Springer, New York, 2008.
Bulatov, A., Valeriote, M.: Results on the algebraic approach to the CSP. Proc. Dagstuhl Sem., LNCS, Springer, New York, 2008.
Burris, S., Sankappanavar, H. P.: A Course in Universal Algebra. Springer, New York, 1981.
Crawley, P., Dilworth, R. P.: Algebraic Theory of Lattices. Prentice Hall, 1973.
Dehornoy, P.: Braids and Self Distributivity. Birkhauser. Basel, 2000.
Eilenberg, S.: Automata, languages and machines A and B. Academic Press, 1973, 1974.
Eisenbud, D.: Commutative Algebra. GTM 150. Springer, New York, 1995.
Eklof, P. C., Mekler, A. H.: Almost–Free Modules. 2nd ed. Elsevier, Amsterdam, 2002.
Enochs, E. E., Jenda, O. M. G.: Relative Homological Algebra. Vol. 1,2. GEM 30, 54. 2nd ed. W. de Gruyter, Berlin, 2011.
Facchini, A.: Module Theory. Birkhauser, Basel, 1998.
Goebel, R., Trlifaj, J.: Approximations and Endomorphism Algebras of Modules. Vol. 1,2. GEM 41. 2nd ed. W. de Gruyter, Berlin, 2012.
Gratzer, G.: General Lattice Theory. 2nd ed. Birkauser, Basel, 1998.
Hobby, D., McKenzie, R.: The structure of finite algebras, Contemp. Math. 76. AMS, Providence, 1988.
Jezek, J.: Universal Algebra. Text přístupný na http://www.karlin.mff.cuni.cz/~jezek.
Lallement, G.: Semigroups and combinatorial applications. Wiley, 1979.
Lang, S.: Algebra. 3rd ed. Academic Press, New York, 1993.
Lothaire, M.: Algebraic Combinatorics on Words. Cambridge University Press, Cambridge, 2002.
Lothaire, M.: Applied Combinatorics on Words. Cambridge University Press, Cambridge, 2005.
Lothaire, M.: Combinatorics on Words. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.
Matsumura, H.: Commutative Ring Theory. CSAM 8. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
Pflugfelder, H. O.: Quasigroups and Loops: Introduction. Heldermann Vlg, Berlin, 1990.
Prochazka, L. a kolektiv: Algebra. Academia, Praha, 1990.
Rotman, J. J.: An introduction to the theory of groups. Springer, New York, 1995.
Rowen, L .H.: Graduate Algebra: Commutative View. GSM 73. AMS, Providence, 2006.
Rowen, L. H.: Graduate Algebra: Noncommutative View. GSM 91. AMS, Providence, 2008.
Rozenberg, G., Salomaa, A. (eds.): Handbook of Formal Languages, vol. 1 – 3. Springer, 2004.
Weibel, C.: An Introduction to Homological Algebra. CSAM 38. Cambridge University Press, Cambridge, 1994.
Weintraub, S. H.: Representation Theory of Finite groups. GSM 59. AMS, Providence, 2003.

Matematická logika

I. Širší základ
Povinná část.

I.1 Základy logiky
Výroková logika a logika prvního řádu. Struktury prvního řádu, Tarského definice splňování. Predikátový počet, dokazatelnost. Věty o úplnosti a o kompaktnosti. Teorie množin jako teorie prvního řádu. Gödelova věta o neúplnosti a o nedokazatelnosti bezespornosti. Turingovy stroje: universální stroj, algoritmicky nerozhodnutelné problémy, halting problem. Eliminace kvantifikátorů v uspořádaném tělese reálných čísel.

II. Pokročilé partie
Studující se vybere po dohodě se školitelem dvě z uvedených šesti témat.

II.1. Obecná teorie modelů
Základní pojmy: podstruktura a elementární podstruktura, diagram, homomorfisimus, vnoření a elementární vnoření, isomorfismus. Löwenheim–Skolemovy věty. Modelová úplnost. Definovatelné množiny, typy, eliminace kvantifikátorů. Konstrukce modelů: pomíjení typů, Henkinova konstrukce, Skolemizace. Craigova interpolace, elementarní řetězce, Robinsonova věta o bezespornosti, nerozlišitelné prvky. Saturované a homogenní modely, prvomodely. Ultraprodukt a jeho zakladní vlastnosti. Elementarní třídy.

II.2 Aplikovaná teorie modelů
Realně uzavřená uspořádaná tělesa a jejich redukty a rozšíření, Věty Tarského a Wilkiova. O–minimálni struktury a jejich základní geometrické a topologické vlastnosti. Stabilní a omega–stabilní teorie, nespočetná kategoričnost, Morleyho věta. Minimální a silně minimalní struktury, obecné uzávěrové operace, geometrie a dimense v silně minimálních strukturách. Omega–stabilní grupy, Cherlin–Zilberova hypotéza. Hrushovského amalgamačni metoda.

II.3. Teorie množin
Axiomatika teorie ZFC. Axiom výběru AC, Zornovo lema, dobrá uspořádání. Ordinální a kardinální aritmetika, transfinitní indukce. Nekonečná kombinatorika: nezávislé a skorodisjunktní systémy množin, Ramseyova věta, uzavřené a neomezené množiny a stacionární množiny, diamantový princip, Martinův axiom. Stromy (Suslinovy, Aronszajnovy, Kurepovy), Suslinova hypotéza. Booleovy algebry, ultrafiltry, Stoneova dualita. GCH. Konstruktivní množiny, axiom V=L. GCH a AC v L. Forcing a Booleovské modely, nezávislost CH. Nedosažitelné a měřitelné kardinály, elementární vnoření. Deskriptivní teorie množin: Borelovské, analytické a projektivní množiny, nekonečné hry, determinovanost. Uniformizační věty. Borelovské ekvivalence. Polské prostory, Polské grupy a jejich akce.

II.4. Teorie vyčíslitelnosti
Částečně rekurzivní funkce, rekurzivní množiny a rekurzivně spočetné množiny. Univerzální částečně rekurzivní funkce, index. Věty o rekurzi, Riceova věta. Kreativní množiny. Efektivní neoddělitelnost. Operace skoku. Aritmetická hierarchie. Stupně nerozhodnutelnosti. Aritmetický forcing, prioritní metody. Kolmogorovská složitost, základy algoritmické náhodnosti.

II.5 Teorie důkazů a formální aritmetika
Gentzenův sekvenční kalkulus, eliminace řezu, Herbrandova věta. Craigova interpolace. Robinsonova aritmetika Q a Peanova aritmetika PA. Interpretovatelnost teoríi. Nerozhodnutelnost Q a PA. Dokazatelně totální rekursivní funkce. Nemožnost konečné axiomatizace PA. Logika druhého řádu, jednoduchá teorie typů, infinitární logika. Reversní matematika. Neklasické logiky: intuitionistická, modální, vícehodnotové.

II.6 Logika a složitost
Časová a prostorová složitost algoritmů, hlavní třídy složitosti. Boolovské obvody a hlavní známé spodní odhady na jejich velikost. Koncept přirozených důkazů spodních odhadů (Razborov–Rudich). Teorie konečných modelů, deskriptivní složitost. Definovatelnost v konečných strukturách, Faginova věta. Logiky s operátorem pevného bodu. 0–1 zákony. Ehrenfeucht–Fraissého metoda. Lokalita a věty Gaifmana a Hanfa. Oblázkové hry. Problém spektra. Důkazová složitost, vyrokové důkazové systémy (Cook–Reckhow). Resoluce, DPLL algoritmus pro SAT a jejich souvislost. Fregeho systémy a rozšířené Fregeho systémy. Spodní odhad na délku důkazů v resoluci. Omezená aritmetika. Definovatelnost polynomiální hierarchie. Dosvědčovací funkce a vyhledávací problémy. Překlady do výrokové logiky. Problém konečné axiomatizovatelnosti omezené aritmetiky.

Doporučená literatura

Balcar, B., Stěpánek, P.: Teorie množin. Academia, Praha, 1986, 2001.
Bartoszynski, T., Judah, H.: Set Theory, On the Structure of Real Line. A. K. Peters, Wellesley, Massachussets, 1995.
Barwise, J. (ed.): Handbook of Mathematical Logic. NHPC, 1972 (rusky Nauka, Moskva, 1982).
Buss, S. R. (ed.): Handbook of Proof Theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics 137. Elsevier, Amsterdam, 1998.
Cook, S. A., Nguyen, P.: Logical foundations of proof complexity. Cambridge University Press.
Demuth, O., Kryl, R., Kučera, A.: Teorie algoritmů I, II. SPN, Praha, 1984, 1989.
Devlin, K. J.: Constructibility. Springer–Verlag, Heidelberg, 1984.
Dries van den, L.: Tame Topology and O–minimal Structures. London Mathematical Society Lecture Note Series, no. 248, 1998.
Ebbinghaus, H.–D., Flum, J., Thomas, W.: Mathematical Logic. Springer–Verlag, Heidelberg, 1984.
Ebbinghaus, H.–D., Flum, J.: Finite Model Theory. Springer–Verlag, 2005.
Gabbay, D., Guenthner, F. (eds.): Handbook of Philosophical Logic I–IV. D. Riedel Publishing comp., 1983.
Hájek, P., Pudlák, P.: Metamathematics of First–Order Arithmetic. Springer–Verlag, Heidelberg, 1993.
Hodges, W.: Model Theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
Chang, C. C., Keisler, H. J.: Model–Theory. NHPC, New York, 1973 (rusky Mir, Moskva, 1977).
Jech, T.: Set Theory. Springer–Verlag, 2002.
Kechris, A.: Classical descriptive set theory. Springer–Verlag, New York, 1994.
Krajíček, J.: Bounded arithmetic, propositional logic, and complexity theory. Cambridge University Press, Cambridge, 1995.
Kunen, K.: Set Theory, An Introduction to Independence Proofs. NHPC, New York, 1980.
Laxembourgh, W. A. J., Stroyan, K. D.: Introduction to the Theory of Infinitesimals. Academic Press, London, 1976.
Li, M., Vitanyi, P.: An Introduction to Kolmogorov Complexity and Its Applications. Springer, 1997.
Marker, D.: Model Theory — An Introduction. Springer, 2002.
Moschovakis, Y.: Descriptive Set Theory. North–Holland, 1980.
Odifreddi, P.: Classical Recursion Theory. The Theory of Functions and Sets of Natural Numbers. NHPC, New York, 1989.
Papadimitriou, C. H.: Computational Complexity. Addison Wesley, 1994.
Pillay, A.: Geometric Stability Theory. Clarendon Press, Oxford, 1996.
Priest, G.: An Introduction to Non–Classical Logic Cambridge University Press, 2001.
Rogers, H., Jr.: Theory of Recursive Functions and Effective Computability. Mc Graw–Hill, New York, 1967.
Shelah, S.: Classification Theory. NHPC, New York, 1990.
Shelah, S.: Proper and Unproper Forcing. Springer–Verlag, Heidelberg, 1998.
Shoenfield, J. R.: Mathematical Logic. Addison Wesley Publishing Company, Reading, 1967 (rusky Nauka, Moskva, 1975).
Simpson, S.: Subsystems of second order arithmetic. Springer–Verlag, New York, 1999.
Soare, R. I.: Recursively Enumerable Dets and Degrees, A Study of Computable Functions and Computably Generated Sets. Springer–Verlag, Heidelberg, 1987.
Takeuti, G.: Proof Theory. Elsevier, Amsterdam, 1987.

Teorie čísel

I. Širší základ
Teorie čísel: Hustota prvočísel, Legendreovy a Jacobiho symboly, kvadratická reciprocita, řetězové zlomky, kvadratická číselná tělesa, Rabinův–Millerův algoritmus a RSA, kvadratické síto.

Kryptologie: Generátory pseudonáhodných čísel, symetrické a proudové šifry, hašovací funkce, dokazatelná bezpečnost, kryptografické protokoly, důkazy s nulovou znalostí.

Počítačová algebra: Berlekampův algoritmus pro faktorizaci polynomů. Groebnerovy báze a Buchbergerův algoritmus. Faktorizace polynomů s celočíselnými koeficienty.

II. Pokročilé partie oboru
Studující si vybere po dohodě se školitelem dvě různá témata z pokročilých partií specializace ,,Algebra, ,,Teorie čísel nebo ,,Matematická logika.'' Aspoň jedno z nich ale musí být některé z následujících (II.1–II.4):

II.1 Pokročilé kryptoanalytické metody
Teorie booleovských funkcí, S–boxy, jejich kryptografické vlastnosti, lineární a diferenciální kryptoanalýza, LLL–algoritmus a jeho kryptoanalytické aplikace.

II.2 Faktorizace
Struktura číselných těles (norma, prvoideály, ramifikace, jednotky). Rozklad ideálu na prvoideály v číselných tělesech (Pohst–Zassenhausova věta, Dedekindovo kritérium). Celoobory a celistvá báze. Duální báze. Číselné síto a jeho dílčí algoritmy (hledání odmocniny, volba polynomu aj.). Další faktorizační algoritmy (p-1, p+1, rho, použití eliptických křivek) a jejich význam pro číselné síto. Testy a důkazy prvočíselnosti (kvadratický Frobeniův, N-1 test, ECPP, algoritmy pracující v polynomiálním čase).

II.3 Samoopravné kódy
Klasická teorie cyklických kódů. Samoduální kódy a teorie invariantů. Konvoluční kódy. Turbo kódy. Dekódovací algoritmy, zejména Viterbiho a různé algoritmy pro Reed–Solomonovy kódy. Kvaternární kódy. Pokrývací poloměr a aplikace ve steganografii. Podrobná znalost BCH, alternatních, Kerdockových, Preparatových, Justensenových, Reedových–Mullerových a QR kódů. Asymptotické odhady a konstrukce asymptoticky dobrých kódů. LDPC kódy. MDS kódy. Základní odhady (Plotkin, Hamming, Griesmer, Singleton, Johnson, Gilbert–Varšamov, lineární programování).

II.4 Eliptické křivky
p–adická čísla. Variety nad konečnými tělesy (Frobeniův morfismus, Hasse–Weilova věta pro jakobián, Tatova věta). Aritmetika eliptických křivek (grupový zákon, racionální body, torzní body, izomorfismy a izogenie). Montgomeryho skalární násobení. Párování a jeho implementace. Výpočet počtu bodů (elementární metody, Schoofův a Satohův algoritmus, komplexní násobení). Výpočet diskrétního logaritmu (činská věta o zbytku, baby–step giant–step, Pollardovy metody). Kryptografie založená na párování. Použití eliptických křivek pro faktorizaci a testy prvočíselnosti.

Doporučená literatura

Cassels, J. W. S.: Local Fields. Cambridge University Press, Cambridge, 1986.
Cohen H.: A course in computational algebraic number theory. Springer, Berlin, 1993.
Cohen, H., Frey, G. et al. (eds.): Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography. Chapman & Hall–CRC, Boca Raton, 2005.
Crandall, R., Pomerance, C.: Prime Numbers — A Computational Perspective. 2nd ed. Springer, New York, 2005.
Goldreich, O.: Foundations of Cryptography, Basic Tools. Cambridge University Press, Cambridge, 2001.
Gôuvea, F. Q.: P–adic Numbers: An Introduction. Springer, New York, 1997.
Hardy, G. H., Wright, E. M.: An Introduction to the Theory of Numbers. Clarendon Press, Oxford, 1945.
Irelan, K., Rosen, M.: A classical introduction to modern number theory. Springer, Berlin, 1990.
Koblitz, N.: Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms. Springer, 1993.
Koblitz, N.: P–adic Numbers, P–adic Analysis and Zeta–Functions. Springer, 1984.
Lang, S.: Algebra. Springer, New York, 2003.
Lang, S.: Algebraic Number Theory. Springer, New York, 1994.
Marcus, D. A.: Number Fields. Springer, 1977.
Menezes, A.J. et al. (eds.): Handbook of Applied Cryptography. Chapman & Hall–CRC, Boca Raton, 2006.
Milne, J. S.: Algebraic Number Theory. Text přístupný na http://www.jmilne.org/math/.
Milne, J. S.: Elliptic Curves. Text přístupný na http://www.jmilne.org/math/.
Pless, V. S., Brualdi, R. A., Huffman, W. C. (eds.): Handbook of Coding Theory. North Holland, 1998.
Silverman, J. H.: The Arithmetic of Elliptic Curves. Springer, 1986.
Steuding, J.: Diophantine Analysis. Chapman & Hall, 2005.
Stinson, D. R.: Cryptography: Theory and Practice. CRC Press, Boca Raton, 2006.
Sudan, M.: Algorithmic Introduction to Coding Theory. Text přístupný na http://theory.lcs.mit.edu/…/course.html.

4M2 Geometrie a topologie, globální analýza a obecné struktury

Rada doktorského studijního oboru 4M2

Aktuální složení rady je na adrese http://mff.cuni.cz/phd/rdso/4m2.

Spolupracující ústavy

Matematický ústav AV ČR, v.v.i.
Žitná 25, 115 67 Praha 1
http://www.math.cas.cz

Vypsaná témata

Jsou k nahlédnutí v SIS na adrese http://mff.cuni.cz/phd/temata/4m2.

Poskytovaná výuka

kód Předmět ZS LS
NMAG569 Matematické metody kvantové teorie pole   0/2 Z
NMAG575 Forsing   2/0 Zk
NMAG471 Základy teorie kategorií   2/2 Z+Zk
NMAG461 Hyperkomplexní analýza   2/0 Zk
NMAG566 Riemannova geometrie 2   2/0 Zk
NMAG451 Fraktály   0/2 Z
NMAG498 Výběrová přednáška z MSTR 1   2/0 Zk
NMAG561 Komutativní algebra 2   2/0 Zk
NMAG437 Seminář z diferenciální geometrie   0/2 Z
NMAG452 Úvod do diferenciální topologie   2/0 Zk
NMAG454 Fibrované prostory a kalibrační pole   3/1 Z+Zk
NMAG532 Algebraická topologie 2   2/2 Z+Zk
NMAG448 Teorie invariantů   2/2 Z+Zk

Seznam požadavků ke státní doktorské zkoušce

I. Širší základ
Výběr alespoň tří témat z následujících:

I.1. Obecná topologie
Základní pojmy. Urysonovo lemma, Tietzeova věta. Souvislost a lokální souvislost. Kompaktnost a lokální kompaktnost. Tichonovova věta, Stoneova–Weierstrassova věta, Čechova–Stoneova kompaktifikace. Parakompaktnost. Stoneova věta o parakompaktnosti metrických prostorů. Metrizovatelné prostory, metrizační věty, úplnost metrických prostovů. Topologické grupy, základní vlastnosti. Uniformní prostory a stejnoměrně spojitá zobrazení, metrizovatelnost, úplnost.

I.2. Teorie množin
Axiomatika teorie množin. Ordinální a kardinální čísla, základní aritmetika s nimi. Axiom výběru a jeho ekvivalenty, transfinitní rekurze. Nekonečna kombinatorika, stacionární množiny. Ramseyova věta, Erdosova–Radoova věta, lemma o delta systému, nezávislé systémy. Částečná uspořádání.

I.3. Teorie kategorií
Kategorie a funktory, příklady. Přirozené transformace a ekvivalence, příklady. Limity a kolimity, úplnost, jejich tvar v konkrétních kategoriích. Adjunkce, reflektivita a koreflektivita. Uzavřené a kartézsky uzavřené kategorie. Malé kategorie. MacLaneova reprezentace.

I.4. Vybrané partie z algebry
Tenzorová algebra, speciálně multilineární algebra. Vybrané partie z teorie okruhů a modulů (rozšíření, resolventy, gradace, filtrace). Základy homologické algebry (homologie komplexů, kohomologie grup a jiných algebraických systémů).

I.5. Riemannovy variety
Teorie konexí. Paralelní přenos. Riemannova metrika, Riemannovy konexe, tenzory křivosti a jejich význam. Sekcionální křivost a její význam. Geodetické křivky. Homogenní Riemannovy variety. Hermitovské metriky. Podvariety euklidovského prostoru. Grupy holonomií.

I.6. Analýza na varietách
Vektorové fibrované prostory, jejich klasifikace. Diferenciální operátory, invariantní diferencialní operátory na homogenních varietách. Integrace na varietách. Základy integrální geometrie na varietách. Fourierova a Radonova transformace. Komplexní variety, holomorfní a meromorfní funkce.

I.7. Lieovy grupy a algebry
Klasifikace jednoduchých Lieových algeber a jejich konečnědimenzionálních representací. Rozklad tensorového součinu na ireducibilní komponenty. Klimykova formule. Charaktery reprezentací a charakterové formule (Weylova. Freudenthalova aj.).

I.8. Algebraická topologie
Homologické a kohomologické grupy (buďto simpliciální nebo singuární) a jejich výpočet. Borsukovy věty, věty o invariantnosti oblasti a o invariantnosti dimenze, základní věta algebry. Eulerova věta. Stupeň zobrazení. Lefschetzova věta o pevném bodu. De Rhamovy kohomologie. Základy homotopické teorie.


II. Pokročilé partie oboru
Výběr jednoho z následujících témat:

II.1. Obecná topologie
Bezbodové přístupy k topologii. Různé varianty Stonevy duality. Booleovy algebry, Heytingovy algebry, spojité svazy, s nimi spojené duality. Zesilování struktury bezbodové topologie. Prostory spojitých funkcí, možné topologie na nich, Arzelova–Ascoliho věta, Cp(X). Kardinální invarianty topologických prostorů, jejich vzájemné vztahy. Prostory ultrafiltrů, kardinílní charakteristiky. Počítačová topologie. Topologická dynamika, skoro periodické body, klasifikace dynamických systémů, Ellisův obal, rekurence v dynamických systémech, aplikace v kombinatorice. Vlastnosti topologických prostorů související s kombinatorickými principy teorie nmožin. Struktry spojitosti, teorie miformních a proximitních systémů.

II.2. Teorie množin
Booleovy algebry, částečná uspořádaní. Stoneova dualita, strukturální vlastnosti. Kombinatorické principy, Martinův axiom, Fodorova–Solovayova věta, Silverova věta, Suslinovy a Aronszajnovy stromy. Kurepova hypotéza, Hausdorffův gap. Základy forcingu. PFA. Elementární podstruktury, ultraprodukt, základy pcf teorie.

II.3. Teorie kategorií
Monády a monadické kategorie. Kategorie a logika. Základy teorie toposů. Konkrétní kategorické otázky speciálních struktur. Teorie konkrétních kategorií a struktur. Iniciální a terminální vytváření objektu. Algebraické a topologické kategorie. Úplná a skoro úplná vnoření. Strnulé objekty, strnulé grafy, algebry a prostory. Univerzalita a skoro univerzalita, skoro univerzalita kategorie parakompaktích prostorů.

II.4. Geometrie homogenních a symetrických prostorů
Homogenní prostory, reduktivní prostory, kanonické konexe. Invariantní metriky a diferenciální operátory na homogenních prostorech, zvláště riemannovských. Teorie riemannovských symetrických prostorů, příklady, klasilikace. Některá zobecnění symetrických prostorů, Einsteinovy prostory.

II.5. Parabolické structury na varietách
Graduované Lieovy algebry, jejich realné formy. Hlavní fibrované prostory, konexe, kovariantní derivace a jejich křivosti. Homogenní diferenciální operátory. Cartanovy a parabolické geometrie, Cartanova konexe a její křivost. Konformní, projektivní, kvaternionické geometrie a další příklady parabolických geometrií.

II.6. Integrální geometrie a komplexní analýza
Funkce více komplexních proměnných. Komplexní variety, Hermitovské a Kaehlerovy variety. Svazky a předsvazky. Diferenciální formy na komplexních varietách a Dolbeautovy kohomologie. Radonova a Penroseova transformace.

II.7. Invariantní diferenciální operátory
Spin struktury na Riemannových varietách. Dirakův operátor jeho vlastnosti, Laplaceův operátor. Spektrální vlastnosti differenciálních operátorů. Teorie operátorů Dirakova typu. Konformní invariance operátorů na konformní varietě. Bochnerova a Weitzenbockovy formule. Invariantní operátory pro jiné geometrické struktury.

II.8. Algebraická topologie
Derivované funktory. Spektrální posloupnosti a jejich aplikace. Fibrace, homologická a homotopická teorie fibrací. Topologie Lieových grup a klasifikačních prostorů. Charakteristické třídy vektorových bandlů, Chern–Weilův izomorfismus. Základy K–teorie. Kohomologické operace. Teorie obstukcí. Indexové věty Operády, algebry nad operádami.

Doporučená literatura

Adámek, J., Herrlich H., Strecker G.: Abstract and Concrete Categories. Wiley, New York, 1990.
Adámek, J.: Matematické struktury a kategorie. SNTL, Praha, 1982.
Balcar, B., Štěpánek, P.: Teorie množin. Academia, Praha, 1980.
Borceaux, F., Bosche van den, G.: Algebra in a Localic Topos with Applications to Ring Theory. Springer, 1983.
Čap, A., Slovák, J.: Parabolic geometries, I: Background and general theory. AMS Publishing House, 2009.
Ellis, R.: Lectures in Topological Dynamics. Benjamin, New York, 1967.
Engelking, R.: General Topology. PWN, Warsawa, 1977.
Friedrich, Th.: Dirac Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Wiesbaden, 1997.
Fulton, W., Harris, J.: Representation Theory. A first course, GTM 129. Springer New York, 1991.
Fustenberg, H.: Reccurence in Ergodic Theory and Combinatorial Number Theory. Princeton University Press, Princeton, 1981.
Gillmann, L., Jerison, M.: Rings of continuous functions. D. van Nostrand, New York, 1960.
Harris, J.: Algebraic geometry. A first course, GTM 133. Springer, New York, 1992.
Hatcher A.: Algebraic Topology. Text přístupný na http://www.math.cornell.edu/…/ATpage.html.
Helgason, S.: Differential geometry, Lie groups and Symmetric spaces. Pure and Appl. Math. 80, Ac. Press, 1978.
Isbell J. R.: Uniform spaces. Amer. Math. Soc., Providence, 1964.
Johnstone, P. T.: Stone Spaces. Cambridge University Press, Cambridge, 1982.
Johnstone, P. T.: Topos Theory. Academic Press, London, 1972.
Juhásy, I.: Cardinal functions in topology — Ten Years Later. Math Centre Tracts 125, Amsterdam, 1980.
Juhásy, I.: Cardinal Functions in Topology. Math. Centre Tracts 34, Amsterdam, 1975.
Kelley, J. L.: General Topology. Van Nostrand, New York, 1955.
Kunen, K.: Set Theory — An Introduction to Independence Proofs. North–Holland, Amsterdam, 1980.
Lawson, B. L., Michelsohn, M. L.: Spin Geometry. Princeton Math. Series, Princeton, 1989.
MacLane, S.: Categories for the Working Mathematician. GTM5. Springer–Verlag, New York, 1970.
MacLane, S.: Homology. Academic Press, New York, 1963.
Massey, W.: Singular Homology theory. GTM 70. Springer, New York, 1976.
Monk, J. D., Bonnet, R.: Handbook of Boolean Algebras, vol 1. North–Holland, Amsterdam, 1989.
Pult, A.: Podprostory Euklidových prostorů. SNTL, Praha, 1986.
Pultr, A., Trnková, V.: Combinatorial, Algebraic and Topological Representations of Groups, Semigroups and Categories. Academia, Praha, 1980.
Rudin, M. E.: Lectures on Set Theoretic Topology. Amer. Math. Soc., Providence, 1975.
Samelson, H.: Notes on Lie algebras. Van Nostrand, New York, 1969.
Sharpe, R. W.: Differential geometry. GTM 166. Cartans Generalization of Kleins Erlangen Program, Springer, 1997.
Wells, R. O. jr.: Differential analysis on complex manifolds. GTM65. Springer New York, 1979.

4M3 Matematická analýza

Rada doktorského studijního oboru 4M3

Aktuální složení rady je na adrese http://mff.cuni.cz/phd/rdso/4m3.

Spolupracující ústavy

Matematický ústav AV ČR, v.v.i.
Žitná 25, 115 67 Praha 1
http://www.math.cas.cz

Domovská stránka studijního oboru 4M3

http://karlin.mff.cuni.cz/…ium/phd/4m3/.

Vypsaná témata

Jsou k nahlédnutí v SIS na adrese http://mff.cuni.cz/phd/temata/4m3.

Poskytovaná výuka

kód Předmět ZS LS
NMMA437 Derivace a integrál pro pokročilé 1   2/0 Zk
NMMA438 Derivace a integrál pro pokročilé 2   2/0 Zk
NMMA433 Deskriptivní teorie množin 1   2/0 Zk
NMMA434 Deskriptivní teorie množin 2   2/0 Zk
NMMA440 Diferenciální rovnice v Banachových prostorech   2/0 Zk
NMMA583 Kvalitativní vlastnosti slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic   2/0 Zk
NMMA577 Kvazikonformní zobrazení 1   2/0 Zk
NMMA578 Kvazikonformní zobrazení 2   2/0 Zk
NMMA561 Operátorové algebry 1   2/0 Zk
NMMA562 Operátorové algebry 2   2/0 Zk
NMMA403 Reálné funkce 1   2/0 Zk
NMMA404 Reálné funkce 2   2/0 Zk
NMMA461 Regularita Navier — Stokesových rovnic   0/2 Z 0/2 Z
NMMA584 Regularita slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic   0/2 Z
NMMA451 Seminář z geometrické analýzy   0/2 Z 0/2 Z
NMAA009 Seminář z matematické analýzy   0/2 Z 0/2 Z
NMMA454 Seminář z prostorů funkcí   0/2 Z 0/2 Z
NMMA575 Topologické a geometrické vlastnosti konvexních množin 1   2/0 Zk
NMMA576 Topologické a geometrické vlastnosti konvexních množin 2   2/0 Zk
NMMA435 Topologické metody ve funkcionální analýze 1   2/0 Zk
NMMA436 Topologické metody ve funkcionální analýze 2   2/0 Zk
NMMA565 Úvod do teorie aproximací 1   2/0 Zk
NMMA566 Úvod do teorie aproximací 2   2/0 Zk
NMMA533 Úvod do teorie interpolací 1   2/0 Zk
NMMA534 Úvod do teorie interpolací 2   2/0 Zk
NMAG533 Harmonická analýza 1   3/1 Z+Zk
NMAG534 Harmonická analýza 2   3/1 Z+Zk
NMMO623 Matematické metody v mechanice kontinua tuhých látek pro doktorandy 1   2/0 Zk
NMMO624 Matematické metody v mechanice kontinua tuhých látek pro doktorandy 2   2/0 Zk
NMMO539 Matematické metody v mechanice nenewtonovských tekutin   2/0 Zk
NMMO535 Matematické metody v mechanice pevných látek   2/0 Zk
NMMO536 Matematické metody v mechanice stlačitelných tekutin   2/0 Zk
NMMO621 Nelineární diferenciální rovnice a nerovnice pro doktorandy I   2/0 Zk
NMMO622 Nelineární diferenciální rovnice a nerovnice pro doktorandy II   2/0 Zk
NMMO561 Regularita řešení Navier-Stokesových rovnic   2/0 Zk
NMAG437 Seminář z diferenciální geometrie   0/2 Z 0/2 Z
NMAG569 Matematické metody kvantové teorie pole   0/2 Z 0/2 Z
NMMO461 Seminář z mechaniky kontinua   0/2 Z 0/2 Z
NMMA452 Seminář z parciálních diferenciálních rovnic   0/2 Z 0/2 Z
NMMA458 Topologický seminář   0/2 Z 0/2 Z

Seznam požadavků ke státní doktorské zkoušce

Pro účely státní doktorské zkoušky jsou na stránkách RDSO http://karlin.mff.cuni.cz/…ium/phd/4m3/ vedeny dva seznamy témat označené jako seznam A a seznam B.

Seznam A

1. Teorie distribucí

2. Pokročilejší partie spektrální teorie

3. Komplexní analýza

4. Úvod do abstraktní harmonické analýzy

5. Úvod do teorie aproximací

6. Klasické partie harmonické analýzy

7. Haudsorffova míra a záměna proměnných v integrálu

8. Prostory funkcí s konečnou variací a aproximace hladkými funkcemi

9. Kvalitativní teorie ODR

10. Klasická teorie potenciálu

11. Základy teorie hyperbolických zákonů zachování

12. Úvod do teorie optimálních řízení

13. Sturm-Liouvilleova teorie lineárních rovnic 2. řádu

14. Integrální rovnice a problém vlastních čísel

15. Laplaceova transformace

Seznam B

1. Úvod do teorie interpolací

2. Topologický stupeň

3. Integrální reprezentace na kompaktech

4. Teorie C*-algeber

5. Deskriptivní teorie množin

6. Prostory funkcí

7. Singulární integrály

8. Littewoodova-Payleyova teorie

9. Rieszovy a Besselovy potenciály

10. Hardyho prostory

11. Zobrazení s konečnou distorzí

12. Isoperimetrická nerovnost

13. Diferencovatelnost konvexních funkcí

14. Úvod do teorie homogenizace

15. Základy teorie stochastických parabolických rovnic

16. Existenční teorie pro Navierův-Stokesův-Fourierův systém

17. Atraktor: struktura a odhady dimenze

18. Volterrovy integrální rovnice

19. Regularita Navierových-Stokesových rovnic

Témata obou seznamů mají jednotný rozsah odpovídající přibližně 70–100 stránkám knižního textu. Školitel studenta chystajícího se na státní doktorskou zkoušku vybere jedno téma ze seznamu A a jedno téma ze seznamu B. K těmto dvěma tématům přidá ještě třetí téma (stejného rozsahu) podle vlastního uvážení, a to buď z uvedených seznamů, nebo téma dle vlastního výběru, které se na seznamech (zatím) nevyskytuje. Třetí téma by mělo být blízké hlavnímu oboru studia či výzkumu studenta. Soubor tří témat pak předloží školitel RDSO ke schválení ještě před podáním žádosti o stanovení termínu zkoušky. RDSO posoudí přiměřenost návrhu a hlasováním rozhodne, zda návrh schvaluje. Je-li návrh schválen, jsou tím otázky pro doktorskou zkoušku stanoveny. Vlastní zkouška pak sestává ze tří částí odpovídajících schváleným třem tématům. Třetí téma, pokud dosud nebylo součástí seznamů A či B, může být do budoucna na některý z těchto seznamů rozhodnutím RDSO zařazeno.

Seznam témat A a témat B má k datu vydání této publikace výše uvedenou podobu. Podrobnější rozpracování uvedených témat, stejně jako případná nová témata, která byla do některého ze seznamů po tomto datu přidána pomocí mechanismu, uvedeného výše, lze nalézt na adrese http://karlin.mff.cuni.cz/…dzkouska.php.

Doporučená literatura

Adams, R.A.: Sobolev spaces. Pure and Applied Mathematics, Vol. 65. Academic Press, 1975.
Alfsen, E.M.: Compact convex sets and boundary integrals. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 57. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1971.
Amann, H.: Ordinary differential equations : an introduction to nonlinear analysis. De Gruyter, Berlin, 1990.
Ambrosio, L., Fusco, N., Pallara, D.: Functions of bounded variation and free discontinuity problems. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2000.
Armitage, D.H., Gardiner, S.J.: Classical potential theory. Springer, London, 2001.
Bennett, C., Sharpley, R.: Interpolation of Operators. Pure and Applied Mathematics, 129. Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988.
Benyamini, Y., Lindenstrauss, J.: Geometric Nonlinear Functional Analysis, Vol. 1. Colloquium Publications Vol 48, Amer. Math. Soc., 2000.
Bergh, J., Löfström, J.: Interpolation spaces. An introduction. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, No. 223. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1976.
Bressan, A., Piccoli, B.: Introduction to the mathematical theory of control. AIMS Series on Applied Mathematics Vol 2, AIMS, 2007.
Chavel, I.: Isoperimetric inequalities. Differential geometric and analytic perspectives. Cambridge Tracts in Mathematics, 145. Cambridge University Press, Cambridge, 2001.
Cheney, E.W.: Introduction to approximation theory. McGraw-Hill Book Co., New York-Toronto, Ont.-London 1966.
Deimling, K.: Nonlinear functional analysis. Springer-Verlag, Berlin, 1985.
DeVore, R.A., Lorentz, G.G.: Constructive approximation. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 303, Springer-Verlag, Berlin, 1993.
DiBenedetto, E.: Partial differential equations. Birkhauser Boston Inc., 1995.
Evans, L.C.: Partial differential equations. American Mathematical Society, Providence, 2010.
Evans, L.C., Gariepy, R.F.: Measure theory and fine properties of functions. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1992.
Folland, B.B.: A course in abstract harmonic analysis. Studies in Advanced Mathematics. CRC Press, Boca Raton, FL, 1995.
Grafakos, L.: Classical Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics, 250. Springer, New York, 2009.
Grafakos, L.: Modern Fourier Analysis. Graduate Texts in Mathematics, 249. Springer, New York, 2008.
Hartman, Ph.: Ordinary differential equations. S. M. Hartman, Baltimore, Md., 1973.
Iwaniec, T., Martin, G.: Geometric Function Theory and Non-linear Analysis. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 2001.
Kechris, A.S.: Classical descriptive set theory. Graduate Texts in Mathematics, 156. Springer-Verlag, New York, 1995.
Kufner, A., John, O., Fučík, S.: Function Spaces. Monographs and Textbooks on Mechanics of Solids and Fluids; Noordhoff International Publishing, Leyden; Academia, Praha, 1977.
Pick, L., Kufner, A., John, O., Fučík, S.: Function spaces. Vol. 1. Second revised and extended edition. De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, 14. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2013.
Robinson, J.C.: Infinite-dimensional dynamical systems : an introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge University Press, 2001.
Rudin, W.: Functional analysis. Second edition. International Series in Pure and Applied Mathematics. McGraw-Hill, Inc., New York, 1991.
Rudin, W.: Analýza v reálném a komplexním oboru. Academia, Praha, 2003.
Srivastava, S.M.: A course on Borel sets. Graduate Texts in Mathematics, 180. Springer-Verlag, New York, 1998.
Stein, E.M.: Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions. Princeton Mathematical Series, No. 30 Princeton University Press, Princeton, N.J. 1970.
Stein, E.M.: Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton Mathematical Series 43. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1993.
Takesaki, M.: Theory of operator algebras. I. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1979.
Widder, D.V.: The Laplace Transform Princeton Mathematical Series Vol 6, Princeton, 1941.
Ziemer, W.P.: Weakly differentiable functions. Sobolev spaces and functions of bounded variation. Graduate Texts in Mathematics, 120. Springer-Verlag, New York, 1989.

4M4 Pravděpodobnost a matematická statistika

Rada doktorského studijního oboru 4M4

Aktuální složení rady je na adrese http://mff.cuni.cz/phd/rdso/4m4.

Spolupracující ústavy

Matematický ústav AV ČR, v.v.i.
Žitná 25, 115 67 Praha 1
http://www.math.cas.cz
Ústav teorie informace a automatizace AV ČR, v.v.i.
Pod Vodárenskou věží 4/1143, 182 08 Praha 8
http://www.utia.cas.cz/cs/

Domovská stránka studijního oboru 4M9

http://karlin.mff.cuni.cz/…ium/phd/4m9/.

Vypsaná témata

Noví studenti již nejsou do tohoto oboru přijímáni, obor slouží pouze k dostudování již studujících studentů. Roli oboru 4M4 přejal od akademického roku 2014/15 obor 4M9 Pravděpodobnost a statistika, ekonometrie a finanční matematika.

Poskytovaná výuka

kód Předmět ZS LS
NMSA600 Beseda KPMS   0/1 Z 0/1 Z
NMSA601 Oborový seminář z pravděpodobnosti a matematické statistiky   0/2 Z 0/2 Z
NMTP613 Seminář z pravděpodobnosti pro doktorandy I   0/2 Z
NMTP614 Seminář z pravděpodobnosti pro doktorandy II   0/2 Z
NMST611 Problémy aplikované statistiky   0/1 Z 0/1 Z
NMTP611 Seminář o stochastických evolučních rovnicích   0/2 Z 0/2 Z
NMAG467 Seminář ze stochastické geometrie   0/1 Z 0/1 Z
NSTP134 Stochastické programování a aproximace   0/2 Z 0/2 Z
NMSA602 Pokročilé partie oboru   2/0 Zk
NMSA603 Pokročilé partie oboru   2/0 Zk
NMST603 Moderní metody matematické statistiky   2/0 Zk
NMTP601 Vybrané partie z prostorového modelování   2/0 Zk
NMST605 Časové řady pro pokročilé   2/0 Zk
NMST535 Simulační metody   2/2 Z+Zk
NMTP604 Pokročilé partie stochastických diferenciálních rovnic   2/0 Zk
NMTP432 Stochastická analýza   4/2 Z+Zk
NMST604 Robustní statistika a ekonometrie — regresní analýza trochu jinak   2/0 Zk
NMTP612 Systémy částic   2/0 Zk

Seznam požadavků ke státní doktorské zkoušce

I. Širší základ
Diferenciální rovnice, funkcionální analýza, komplexní analýza, maticový počet, teorie míry.

II. Pravděpodobnost
Markovovy procesy, martingaly, procesy s nezávislými přírůstky, prostorové modelování, princip invariance, stacionární procesy, stochastická analýza, stochastické diferenciální rovnice, teorie spolehlivosti.

III. Matematická statistika
Teorie odhadu a testování hypotéz, rozhodovací funkce, mnohorozměrná analýza, regrese, výběrová šetření, robustní a neparametrické metody, bayesovská a sekvenční analýza, prostorová statistika, výpočetní aspekty statistických metod, analýza přežití.

Doporučená literatura

Anděl, J.: Základy matematické statistiky. Matfyzpress, Praha, 2007.
Billingsley, P.: Convergence of Probability Measures. Wiley, New York, 1999.
Daley, D., Vere–Jones, D.: Introduction to the Theory of Point Processes I. 2nd ed. Springer, New York, 2003.
Daley. D., Vere–Jones, D.: Introduction to the Theory of Point Processes II. 2nd ed. Springer, New York, 2008.
Hewitt, E., Stromberg, K.: Real and Abstract Analysis. Wiley, New York, 1969.
Jurečková, J., Sen, P. K.: Robust Statistical Procedures. Wiley, New York, 1996.
Kallenberg, O.: Foundations of Modern Probability. Springer–Verlag, Berlin, 1997.
Lehmann, E. L.: Testing Statistical Hypothesis. Chapman & Hall, New York, 1993.
Lehmann, E. L.: Theory of Point Estimation. Wadsworth & Brook/Cole, Pacific Grove, 1991.
Sen, P. K., Singer, J. M.: Large Sample Methods in Statistics. Chapman & Hall, London, 1993.
Shorack, G. R.: Probability for Statisticians. Springer–Verlag, New York, 2000.
Štěpán, J.: Teorie pravděpodobnosti. Academia, Praha, 1987.

4M6 Vědecko–technické výpočty

Rada doktorského studijního oboru 4M6

Aktuální složení rady je na adrese http://mff.cuni.cz/phd/rdso/4m6.

Spolupracující ústavy

Ústav informatiky AV ČR, v.v.i.
Pod Vodárenskou věží 2, 182 07 Praha 8
http://www.ustavinformatiky.cz/
Matematický ústav AV ČR, v.v.i.
Žitná 25, 115 67 Praha 1
http://www.math.cas.cz
Ústav termomechaniky AV ČR, v.v.i.
Dolejškova 1402/5, 182 00 Praha 8
http://www.it.cas.cz/

Vypsaná témata

Jsou k nahlédnutí v SIS na adrese http://mff.cuni.cz/phd/temata/4m6.

Poskytovaná výuka

kód Předmět ZS LS
NMNV451 Seminář numerické matematiky   0/2 Z 0/2 Z
NMNV622 Doktorandský seminář výpočtové matematiky   0/2 Z 0/2 Z
NNNV463 Modelování materiálů – teorie, redukce modelů a efektivní numerické metody   0/2 Z 0/2 Z
NNNV623 Aktuální problémy numerické matematiky   0/3 Z 0/3 Z
NNNV461 Techniky aposteriorního odhadování chyby   2/0 Zk
NNNV464 Aposteriorní numerická analýza metodou vyvážených toků   2/0 Zk
NNNV462 Numerické modelování problémů elektrotechniky   2/0 ZK
NNNV561 Bifurkační analýza dynamických systémů 1   2/0 Zk
NNNV562 Bifurkační analýza dynamických systémů 2   2/0 Zk
NNNV466 Metody rozkladu oblasti   2/0 Zk
NNNV571 Víceúrovňové metody   2/0 Zk
NMMO537 Sedlobodové úlohy a jejich řešení   2/2 Z+Zk
NMMO623 Matematické metody v mechanice kontinua tuhých látek pro doktorandy 1   2/0 Zk
NMMO621 Nelineární diferenciální rovnice a nerovnice pro doktorandy I   2/0 Zk
NNNV569 Numerické výpočty s verifikací   2/0 Zk
NMST442 Maticové výpočty ve statistice   2/2 Z+Zk
NLTM021 Vyčíslitelnost   2/0 Zk

Seznam požadavků ke státní doktorské zkoušce

1. Matematická a funkcionální analýza
Obyčejné a parciální diferenciální rovnice, klasické a slabé řešení. Integrální rovnice. Fourierova transformace. Spektrální teorie lineárních operátorů. Speciální typy operátorů, vlastnosti. Distribuce, Sobolevovy prostory. Monotónní, potenciální operátory. Nelineární diferenciální rovnice.

2. Numerické metody
Metody řešení soustav lineárních algebraických rovnic. Metody pro výpočet vlastních čísel a vektorů matic. Metody řešení soustav nelineárních algebraických rovnic. Aproximace, interpolace a extrapolace. Minimalizační a optimalizační metody. Numerické metody pro obyčejné diferenciální rovnice. Numerická integrace. Metoda konečných diferencí pro řešení diferenciálních rovnic. Metoda konečných prvků a konečných objemů. Numerické řešení nelineárních parciálních diferenciálních rovnic. Multigridní metody.

3. Volitelné okruhy se zaměřením na téma doktorské práce

Doporučená literatura

Axelsson, O., Barker, V. A.: Finite Element Solution of Boundary Value Problems, Theory and Computation. Academic Press, New York, 1984.
Ciarlet, P. G.: The Finite Element Method for Elliptic Problems. North–Holland, Amsterdam, 1978.
Ciarlet, P. G.: Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications. SIAM, 2013.
Demmel, J. W.: Applied Numerical Linear Algebra. PA, SIAM, Philadelphia, 1997.
Dolejší, V., Feistauer, M.: Discontinuous Galerkin Method – Analysis and Applications to Compressible Flow. Springer, 2015.
Feistauer, M., Felcman, J., Straškraba, I.: Mathematical and Computational Methods for Compressible Flow. Clarendon Press, Oxford, 2003.
Feistauer, M.: Mathematical Methods in Fluid Dynamics. Longmann Scientific & Technical, Harlow, 1993.
Fučík, S., Kufner, A.: Nelineární diferenciální rovnice. SNTL, Praha, 1978.
Golub, G. H., Loan van, C. F.: Matrix Computations. 4rd ed., Johns Hopkins University Press, Baltimore, 2013.
Greenbaum, A., Chartier, T. P.: Numerical Methods: Design, Analysis, and Computer Implementation of Algorithms. Princeton University Press, 2012.
Johnson, C.: Numerical Solution of Partial Differential Equations by the Finite Element Method. Cambridge University Press, Cambridge, 1988.
Křížek, M., Neittaanmaki, P.: Mathematical and Numerical Modelling in Electrical Engineering, Theory and Applications. Kluwer, Dordrecht, 1996.
Liesen, J., Strakoš, Z.: Krylov Subspace Methods, Principles and Analysis. Oxford University Press, 2013.
Málek, J., Strakoš, Z.: Preconditioning and the Conjugate Gradient Method in the Context of Solving PDEs. SIAM Spotlight Series, SIAM, Philadelphia, 2015.
Meurant, G.: Computer Solution of Large Linear Systems. North-Holland, 1999.
Nečas, J.: Introduction to the Theory of Nonlinear Elliptic Equations. Teubner, Band 52, 1983.
Ortega, J. M., Rheinboldt, W. C.: Iterative Solution of Nonlinear Equations in Several Variables. Academic Press, New York, London, 1970.
Rudin, W.: Analýza v reálném a komplexním oboru. Academia, Praha, 2003.
Saad, Y.: Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PWS Publishing Company, 1996.
Trefethen, L. N., Bau, D.: Numerical Linear Algebra. SIAM, Philadelphia, 1997.
Ueberhuber, C. W.: Numerical Computation 2. Springer, Berlin, 1995.
Yosida, K.: Functional Analysis. Springer Verlag, Berlin, 1980.

4M8 Obecné otázky matematiky a informatiky

Rada doktorského studijního oboru 4M8

Aktuální složení rady je na adrese http://mff.cuni.cz/phd/rdso/4m8.

Spolupracující ústavy

Matematický ústav AV ČR, v.v.i.
Žitná 25, 115 67 Praha 1
http://www.math.cas.cz

Domovská stránka studijního oboru 4M8

http://karlin.mff.cuni.cz/…ium/phd/4m8/.

Vypsaná témata

Jsou k nahlédnutí v SIS na adrese http://mff.cuni.cz/phd/temata/4m8.

Poskytovaná výuka

kód Předmět ZS LS
NMUM603 Matematika ve starověku I   2/0 Zk
NMUM604 Matematika ve starověku II   2/0 Zk
NMUM363 Didakticko-historický seminář I   0/2 Z
NMUM364 Didakticko-historický seminář II   0/2 Z
NMUM465 Vývoj matematického vzdělávání   0/2 Z
NMUM467 Reformy výuky matematiky   2/0 Z
NMUM602 Didaktika matematiky pro doktorandy   2/2 Z+Zk
NUMV084 ICT ve výuce matematiky I   0/2 Z
NUMV085 ICT ve výuce matematiky II   0/2 Z
NMIN203 Mathematica pro začátečníky   0/2 Z
NMIN264 Mathematica pro pokročilé   0/2 Z
NMUM461 Aplikace matematiky pro učitele   0/2 Kv
NUMV058 Řecké matematické texty I   0/2 Z
NUMV059 Řecké matematické texty II   0/2 Z
NUMV101 Vybrané kapitoly z teorie pravděpodobnosti   2/0 Zk
NDIN010 Didaktika informatiky I   2/1 Z
NDIN013 Didaktika informatiky II   0/2 Z
NAIL102 Filosofické problémy Informatiky   0/1 Z 0/1 Z
NPOZ007 Filozofické problémy fyziky   0/1 Z
NPGR020 Geometrie pro počítačovou grafiku   2/0 Zk
NPGR021 Geometrické modelování   2/2 Z+Zk

Charakteristika oboru

Obor Obecné otázky matematiky a informatiky má tři podobory:

l. Elementární matematika
2. Dějiny matematiky a informatiky
3. Výuka matematiky a informatiky na středních a vysokých školách

Podobor Elementární matematika nabízí řadu možností pro zvyšování celkové matematické kultury středoškolských učitelů, kteří tak budou lépe kvalifikováni pro své učitelské působení všeobecně a zvláště pro práci s talentovanými žáky. Elementární matematikou rozumíme klasické partie matematiky, které nějakým způsobem navazují jak na středoškolskou látku, tak na náplň studia učitelství matematiky a tyto oblasti vhodně rozšiřují. Jedním z cílů práce v elementární matematice by mělo být udržení určité historické kontinuity matematiky a posílení respektu k tradičním matematickým hodnotám. Disertační práce z elementární matematiky by měly být zpravidla metodicko-didaktickou koncovkou celého doktorského studia.

V podoboru Dějiny matematiky a informatiky by měla být pozornost věnována hlavně problematice 19. a 20. století, české matematice a informatice; neměly by být opomíjeny ani biografické a bibliografické aspekty. Historie matematiky úzce souvisí s otázkami výuky matematiky, neboť vývoj je podmiňován i předáváním poznatků prostřednictvím učitelů a učebnic. V zahraničí je často didaktika s historií matematiky spojována do jednoho oboru; podobně tomu bylo dříve i u nás.

Studium v podoboru Výuka matematiky a informatiky by mělo být zahajováno až po několikaleté učitelské praxi uchazeče a to zejména kombinovanou formou (současné prověřování poznatků v učitelské praxi). Jednou částí disertační práce by mohlo být např. sepsání učebního textu, sbírky úloh apod., včetně metodického komentáře, rozboru obtížných partií; to vše by mělo být podloženo vyhodnocením vlastního působení na škole.

Obor je určen zejména pro absolventy učitelského studia kombinací s matematikou nebo informatikou s aprobací pro 3. stupeň (resp. absolventy vysokých škol, kteří mají doplněnou učitelskou kvalifikaci) a pro učitele pedagogických a technických fakult, kteří vyučující matematiku, informatiku, resp. didaktiky těchto předmětů.

Pro přijetí studentů do oboru 4M8 je požadována bezpečná znalost hlubších základů celé středoškolské matematiky a základních univerzitních matematických kursů.

Seznam požadavků ke státní doktorské zkoušce

Koncepce doktorské zkoušky vychází z toho, že cílem studia v daném oboru je vychovat matematika/informatika s širokým všeobecným rozhledem, který sice není připravován cíleně k vědecké práci v některém úzkém oboru, je však erudován natolik, že ve svém středoškolském, respektive vysokoškolském působišti prokáže schopnost tvorby kvalitních učebních textů, je seznámen s výsledky moderních metod vyučování, důkladně se orientuje v odborné literatuře související s jeho specializací a své odborné výsledky pravidelně publikuje.

Doktorandi konají doktorskou zkoušku z matematiky/informatiky, dějin matematiky a informatiky a z vyučování matematice. Stanovení jednotných požadavků pro všechny doktorandy není možné vzhledem k tomu, že konkrétní zaměření jednotlivých studentů jsou rozdílná a pokrývají prakticky všechny disciplíny matematiky a informatiky. Proto lze stanovit požadavky k doktorské zkoušce jen rámcově; jejich upřesnění provede školitel a examinátoři.

I. Požadavky

I.1. Matematika/informatika
Předpokládá se nadhled nad znalostmi požadovanými u státní zkoušky na učitelském studiu na MFF UK. Student musí prokázat, že rozumí souvislostem středoškolské a vysokoškolské látky a orientuje se v základní učebnicové literatuře.

Další požadavky stanoví školitel a examinátoři (minimálně několik kapitol odborného textu, jehož obsah není součástí standardního vysokoškolského kursu). Celá tato partie by měla jít výrazně nad rámec znalostí specifikovaných v předchozím odstavci.

I.2. Dějiny matematiky a informatiky
Předpokládá se, že student rozumí matematické podstatě historických témat a dovede se v nich orientovat. Hlubší matematické znalosti se předpokládají v těch partiích, které bezprostředně souvisejí s jeho specializací. Cílem není podrobná znalost historie matematiky, ale základní orientace ve vývoji některých matematických disciplín.

Školitel a examinátoři určí alespoň 300 stran odborné literatury.

I.3. Vyučování matematice
Předpokládá se, že student je informován o klasických i moderních vyučovacích postupech a dokáže je demonstrovat na konkrétních tématech. Předpokládá se rozhled v metodách řešení matematických úloh a v literatuře.

Školitel a examinátoři určí alespoň 150 stran odborné literatury.

I.4. Specializace
Podle zaměření doktoranda stanoví školitel a examinátoři rozšiřující požadavek v jednom z předchozích tří okruhů (Matematika/informatika, Dějiny matematiky a informatiky, Vyučování matematice) v rozsahu nejméně 100 stran odborného textu.

I.5. Rozšíření obzorů, kultivace
Předpokládá se, že doktorand projevuje zájem o svůj obor, zná a sleduje naše časopisy a literaturu týkající se matematiky, informatiky a vyučování, ovládá způsob citování prací, dovede se orientovat v referativních časopisech a elektronických databázích, zvládá základní práci s počítačem atd.

Doktorská zkouška završuje studijní část přípravy doktoranda, je nadstavbou nad zkouškami a zápočty povinného a rozšiřujícího programu studia. Literatura k doktorské zkoušce je tedy dána jednak požadavky ke zkouškám povinného programu, jednak rozšiřujícími požadavky školitele.

Doporučená literatura

Vybrané svazky z ediční řady Dějiny matematiky. Přehled dosud vyšlých svazků na adrese https://www.fd.cvut.cz/…ce/Edice.htm.
Alten, H.-W., Naini, A. D., Folkerts, M., Schlosser, H., Schlote, K.-H., Wußing, H.: 4000 Jahre Algebra. Springer–Verlag, Berlin–Heidelberg, 2008.
Anglin, W. S., Lambek, J.: The Heritage of Thales. Springer, New York, 1995.
Anglin, W. S.: Mathematics – A Concise History and Philosophy. Springer, New York, 1994.
Boyer, C. B., Merzbach, U. C: A History of Mathematics. 3rd ed., John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey, 2011.
Cooke, R.: The History of Mathematics, A Brief Course. 2nd ed., John Wiley & Sons, Hoboken, New Jersey, 2005.
Dieudonné, J. (ed.): Abrégé d'histoire des mathématiques 1700–1900. Paris 1978; německy Geschichte der Mathematik 1700–1900. Vieweg, Braunschweig, 1985.
Edwards, C. H.: The Historical Development of the Calculus. Springer–Verlag, New York, 1979.
Eves, H. W: An Introduction to the History of Mathematics. 6th ed., Saunders College Publishing, Philadelphia, 1990.
Gericke, H.: Mathematik in Antike, Orient und Abendland. Fourier Verlag, Wiesbaden, 2003.
Hecht, T., Sklenáriková, Z.: Metódy riešenia matematických úloh. SPN, Bratislava, 1992.
Hejný, M.: Teória vyučovania matematiky 2. SPN, Bratislava, 1990.
Herman, J., Kučera, R., Šimša, J.: Metody řešení matematických úloh I, II. Masarykova univerzita, Brno, 2001 a 2004.
Chabert, J.-L.: A History of Algorithms – From the Pebble to the Microchip. Springer–Verlag, Berlin–Heidelberg, 1999.
Juškevič, A. P.: Dějiny matematiky ve středověku. Academia, Praha, 1977.
Katz, V. J.: A History of Mathematics. An Introduction. 3rd ed., Pearson, 2008.
Kline, M.: Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Oxford University Press, New York, 1990.
Komenský, J. A.: Analytická didaktika. SN, Praha, 1947.
Larson, L. C.: Metódy riešenia matematických problémov. Alfa, Bratislava, 1990.
Metropolis, N., Howlett, J., Rota, G.-C.: A History of Computing in the Twentieth Century. Academic Press, New York, 1980.
Naumann, F.: Dějiny informatiky. Od abaku k internetu. Academia, Praha, 2009.
Nový, L. a kol.: Dějiny exaktních věd v českých zemích. ČSAV, Praha, 1961.
Priestley, W. M.: Calculus: An Historical Approach. Springer–Verlag, New York, 1979.
Scriba, C. J., Schreiber, P.: 5000 Jahre Geometrie. Springer–Verlag, Berlin–Heidelberg, 2005; anglicky 5000 Years of Geometry. Birkhäuser, Basel, 2015.
Scholz, E. (Hrsg.): Geschichte der Algebra, Eine Einführung. Wissenschafts-verlag, Mannheim–Wien–Zürich, 1990.
Sonar, T.: 3000 Jahre Analysis. Springer–Verlag, Berlin–Heidelberg, 2011.
Stillwell, J.: Mathematics and Its History. 3rd ed., Springer-Verlag, New York–Dordrecht–Heidelberg–London, 2010.
Veselý, F.: 100 let Jednoty československých matematiků a fyziků. SPN, Praha, 1962.
van der Waerden, B. L.: A History of Algebra, From al-Khwárizmí to Emmy Noether. Springer–Verlag, Berlin, 1985.
Williams, M. R.: A History of Computing Technology. 2nd ed., IEEE Computer Society Press, Los Alamitos, California, 1997.
Wußing, H.: 6000 Jahre Mathematik I, II. Springer–Verlag, Berlin–Heidelberg, 2008, 2009.

4M9 Pravděpodobnost a statistika, ekonometrie a finanční matematika

Rada doktorského studijního oboru 4M9

Aktuální složení komise je na adrese http://mff.cuni.cz/phd/rdso/4m9.

Spolupracující ústavy

Ústav teorie informace a automatizace AV ČR, v.v.i.
Pod Vodárenskou věží 4/1143, 182 08 Praha 8
http://www.utia.cas.cz/cs/

Vypsaná témata

Jsou k nahlédnutí v SIS i na adrese http://mff.cuni.cz/phd/temata/4m9.

Poskytovaná výuka

kód Předmět ZS LS
NMSA600 Beseda KPMS   0/1 Z 0/1 Z
NMSA601 Oborový seminář z pravděpodobnosti a matematické statistiky   0/2 Z 0/2 Z
NMEK613 Stochastické modelování v ekonomii a financích   0/2 Z 0/2 Z
NMTP613 Seminář z pravděpodobnosti pro doktorandy I   0/2 Z
NMTP614 Seminář z pravděpodobnosti pro doktorandy II   0/2 Z
NMST611 Problémy aplikované statistiky   0/1 Z 0/1 Z
NMTP611 Seminář o stochastických evolučních rovnicích   0/2 Z 0/2 Z
NMAG467 Seminář ze stochastické geometrie   0/1 Z 0/1 Z
NSTP134 Stochastické programování a aproximace   0/2 Z 0/2 Z
NMEK612 Dynamická ekonomie a ekonometrie   0/2 Z
NMSA602 Pokročilé partie oboru   2/0 Zk
NMSA603 Pokročilé partie oboru   2/0 Zk
NMST603 Moderní metody matematické statistiky   2/0 Zk
NMEK603 Optimalizace a variační analýza   2/0 Zk 2/0 Zk
NMFM601 Vybrané partie z pojišťovnictví a finanční matematiky   2/0 Zk
NMTP601 Vybrané partie z prostorového modelování   2/0 Zk
NMFM612 Pokročilé partie teorie rizika   2/0 Zk
NMST605 Časové řady pro pokročilé   2/0 Zk
NMST535 Simulační metody   2/2 Z+Zk
NMFM614 Pokročilé partie finanční matematiky   2/0 Zk
NMTP604 Pokročilé partie stochastických diferenciálních rovnic   2/0 Zk
NMTP432 Stochastická analýza   4/2 Z+Zk
NMEK605 Kapitoly z moderní optimalizace a ekvilibrií   2/0 Zk
NMEK606 Kapitoly z moderní optimalizace a ekvilibrií   2/0 Zk
NMFM613 Finanční modelování v životním pojištění   2/0 Zk
NMFM611 Pokročilé partie matematiky neživotního pojištění   2/0 Zk
NMFM602 Matematické metody v řízení solventnosti a účetním výkaznictví pojišťoven   2/0 Zk
NMST604 Robustní statistika a ekonometrie — regresní analýza trochu jinak   2/0 Zk
NMTP612 Systémy částic   2/0 Zk
NMEK617 Teorie prospektů   2/0 Zk

Seznam požadavků ke státní doktorské zkoušce

Zkouška se skládá ze tří částí, první tématický okruh je zvolen z I. nebo II. Druhý tématický okruh je zvolen z I., II., III. nebo IV., ale tato volba nesmí být totožná s volbou v prvním tématickém okruhu. Třetí tématický okruh je v přímé návaznosti na zadané téma doktorské disertace.

I. Pravděpodobnost a náhodné procesy.
Teorie extrémních hodnot, teorie spolehlivosti, principy invariance, ergodická teorie. Markovské procesy, martingaly, procesy s nezávislými přírůstky, stacionární procesy, prostorové modelování, stochastická geometrie, stochastická analýza, stochastické diferenciální rovnice.

II. Matematická statistika.
Teorie odhadu a testování hypotéz, rozhodovací funkce, mnohorozměrná analýza, regrese, výběrová šetření, robustní a neparametrické metody, bayesovská a sekvenční analýza, prostorová statistika, výpočetní aspekty statistických metod, simulační metody, analýza přežití.

III. Ekonometrie a operační výzkum.
Ekonometrické modely, časové řady. Optimalizace v prostorech konečné dimenze. Konvexní a variační analýza. Celočíselné, nelineární, parametrické, dynamické a stochastické programování. Stabilita, analýza výsledků. Teorie her a oligopolu. Operační výzkum. Teorie užitku, mikroekonomické a makroekonomické modely, ekonomická dynamika.

IV. Finanční a pojistná matematika.
Stochastické finanční modely, aplikace na kursy, akcie, kontrakty. Řízení rizik, portfolio, zajišťovací nástroje, výnosové křivky. Tabulky úmrtnosti, vyrovnávání tabulek. Teorie kredibility, Bayesovké metody, tvorba pojišťovacích tarifů, odhady strukturálních parametrů. Modelování rizika, teorie ruinování, ekonomický kapitál, účetní výkaznictví pojišťoven.

Doporučená literatura

Anděl, J.: Základy matematické statistiky. Matfyzpress, Praha, 2007.
Baxter, M., Rennie, A.: Financial Calculus. Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
Bazaraa, M. S., Sherali, H. D., Shetty, C. M.: Nonlinear Programming: Theory and Algorithms Wiley, New York, 2006.
Beneš, V., Rataj, J.: Stochastic Geometry – Selected Topics. Kluwer Acad. Publ., Boston, 2004.
Bertsekas, D. P.: Dynamic programming and optimal control, 3rd edition. Athena Scientific, Massachusetts, 2005.
Bickel, P., Doksum, K.:Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics. Chapman& Hall/CRC, Boca Raton, 2015.
Billingsley, P.: Convergence of Probability Measures. Wiley, New York, 1999.
Blum, C., Overbeck, L., Wagner, C.: An Introduction to Credit Risk Modelling. Chapman& Hall/CRC, London, 2003.
Booth, P. et al.: Modern Actuarial Theory and Practice. Chapman& Hall/CRC, London, 2005.
Bowers, N. et al.: Actuarial Mathematics. Society of Actuaries, Schaumburg, IL, 1997.
Brockwell, P. J., Davis, R. A.: Time Series: Theory and Methods. Springer, New York, 1991.
Bühlmann, H., Gisler, A.: A Course in Credibility Theory and its Applications. Springer–Verlag, Berlin–Heidelberg, 2005.
Cipra, T.: Finanční ekonometrie. Ekopress, Praha, 2008.
Cipra, T.: Matematika cenných papírů. HZ, Praha, 2000.
Cipra, T.: Penze: kvantitativní přístup. Ekopress, Praha 2012.
Clarke, R.: Optimization and Nonsmooth Analysis. Wiley Interscience, New York, 1983.
Davidson, J.: Stochastic Limit Theory. Advanced Texts in Econometrics. Oxford University Press, Oxford, 1994.
Denuit, M. et al.: Actuarial Theory for Dependent Risks. Wiley, Chichester, 2005.
Dupačová, J., Hurt, J., Štěpán, J.: Stochastic Modeling in Economics and Finance. Kluwer, Dordrecht, 2002.
Dupačová, J.: Portfolio Optimization and Risk Management. Osaka University Press, Osaka, 2009.
Elton, E. J., Gruber, M. J.: Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. Wiley, New York, 1987.
Fan, J., Yao, Q.: Nonlinear Time Series. Springer, New York, 2003.
Föllmer, H., Schied, A: Stochastic Finance. An Introduction in Discrete Time. de Gruyter, Berlin, 2002.
Hájek, J., Šidák, Z., Sen, P.K.: Theory of Rank Tests. Academic Press, Orlando, 1999.
Hamilton, J. D.: Time Series Analysis. Princeton University Press, Princeton, 1994.
Hewitt, E., Stromberg, K.: Real and Abstract Analysis. Wiley, New York, 1969.
Jurečková, J., Sen. P. K., Picek, J.:Methodology in Robust and Nonparametric Statistics. Chapman& Hall/CRC, Boca Raton, 2013.
Jurečková, J., Picek, J.: Robust Statistical Methods in R. Chapman& Hall/CRC, Boca Raton, 2006.
Kallenberg, O.: Foundations of Modern Probability. Springer–Verlag, Berlin, 1997.
Karatzas, I., Shreve S. E.: Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer-Verlag, New York, 1988.
Klebanov, L. B., Kozubowski, T. J., Rachev, S.: Ill-Posed Problems in Probability and Stability of Random Sums. Nova Scientific Publ., New York, 2006.
Lehmann, E. L.: Testing Statistical Hypothesis. Chapman& Hall, New York, 1993.
Lehmann, E. L.: Theory of Point Estimation. Wadsworth & Brook/Cole, Pacific Grove, 1991.
Mandl, P.: Pravděpodobnostní dynamické modely. Academia, Praha, 1985.
Mendelson, E.: Introducing Game Theory and Its Applications. Chapman& Hall/CRC, Boca Raton, 2004.
Moller J., Waagepetersen R.: Statistical Inference and Simulation for Spatial Point Processes. Chapman& Hall/CRC, Boca Raton, 2004.
McNeil, A. J., Frey, R., Embrechts, P.: Quantitative Risk Management. Princeton University Press. Princeton 2005.
Oksendal B.: Stochastic Differential Equations. Springer, Heidelberg, 2003.
Panjer, H., Wilmot, G.: Insurance Risk Models. Society of Actuaries, Schaumburg, IL, 1992.
Rachev, S., Klebanov, L.B., Stoyanov S.V., Fabozzi, F.J.: The Methods of Distances in the Theory of Probability and Statistics. Springer, New York, 2013.
Rockafellar, R. T., Wets, R. J.: Variational Analysis. Springer Verlag, Berlin, 1998.
Seidler, J.: Vybrané partie ze stochastické analysy. Matfyzpress, Praha, 2011.
Sen, P. K., Singer, J. M.: Large Sample Methods in Statistics. Chapman& Hall/CRC, London, 1993.
Serfling, R.J.: Approximation Theorems of Mathematical Statistics. Wiley, New York, 2002.
Shapiro, A., Dentcheva, D., Ruszczyński, A.: Lectures on Stochastic Programming, Modeling and Theory. MPS-SIAM Series on Optimization, 2009.
Shorack, G. R.: Probability for Statisticians. Springer–Verlag, New York, 2000.
Schott, J. R.: Matrix Analysis for Statistics. Wiley, New York, 1997.
Schneider R., Weil, W.: Stochastic and Integral Geometry. Springer, Berlin, 2008.
Štěpán, J.: Teorie pravděpodobnosti. Academia, Praha, 1987.
Wolsey, L. A., Nemhauser, G. L.: Integer and Combinatorial Optimization, Wiley, New York, 1999.

© 2013–2017 Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakulta. Design noBrother.
Za obsah odpovídá Studijní oddělení.