2.3.1 Matematická analýza

Garantující pracoviště: Katedra matematické analýzy
Oborový garant: doc. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc.

Tento studijní plán je určen pro studenty, kteří zahájili studium oboru Matematická analýza v roce 2013/14 nebo později.

Vstupní požadavky

Předpokládáme, že student tohoto oboru má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:

Diferenciální počet jedné a několika reálných proměnných. Integrální počet jedné reálné proměnné. Teorie míry, Lebesgueova míra a Lebesgueův integrál. Základy algebry (maticový počet, vektorové prostory).
Základy obecné topologie (metrické a topologické prostory, úplnost a kompaktnost), komplexní analýzy (Cauchyova věta, reziduová věta, konformní zobrazení, Laplaceova transformace), funkcionální analýzy (Banachovy a Hilbertovy prostory, duály, omezené operátory, kompaktní operátory, základy teorie distribucí).
Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic (základní vlastnosti řešení a maximálních řešení, soustavy lineárních rovnic, stabilita) a parciálních diferenciálních rovnic (kvazilineární rovnice prvního řádu, Laplaceova rovnice a rovnice vedení tepla – fundamentální řešení a princip maxima, vlnová rovnice – fundamentální řešení, konečná rychlost šíření vlny).
Pasivní znalost angličtiny umožňující dostatečné porozumění matematickým přednáškám a odborným textům.

Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.

Doporučený průběh studia

Podrobnější informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_ma.shtml.

1. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
NMMA401Funkcionální analýza 1 84/2 Z+Zk
NMMA405Parciální diferenciální rovnice 1 63/1 Z+Zk
NMMA407Obyčejné diferenciální rovnice 2 52/2 Z+Zk
NMMA403Reálné funkce 1 42/0 Zk
NMMA402Funkcionální analýza 2 63/1 Z+Zk
NMMA406Parciální diferenciální rovnice 2 63/1 Z+Zk
NSZZ023Diplomová práce I 60/4 Z
NMMA408Komplexní analýza 2 52/2 Z+Zk
NMMA404Reálné funkce 2 42/0 Zk
 Volitelné a povinně volitelné předměty 10  

2. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
NSZZ024Diplomová práce II 90/6 Z
NMMA501Nelineární funkcionální analýza 1 52/2 Z+Zk
NSZZ025Diplomová práce III 150/10 Z
NMMA502Nelineární funkcionální analýza 2 52/2 Z+Zk
 Volitelné a povinně volitelné předměty 26  

Shrnutí studijního plánu

Povinné předměty

kódPředmětKredityZSLS
NMMA401Funkcionální analýza 1 84/2 Z+Zk
NMMA402Funkcionální analýza 2 63/1 Z+Zk
NMMA403Reálné funkce 1 42/0 Zk
NMMA404Reálné funkce 2 42/0 Zk
NMMA405Parciální diferenciální rovnice 1 63/1 Z+Zk
NMMA406Parciální diferenciální rovnice 2 63/1 Z+Zk
NMMA407Obyčejné diferenciální rovnice 2 52/2 Z+Zk
NMMA408Komplexní analýza 2 52/2 Z+Zk
NMMA501Nelineární funkcionální analýza 1 52/2 Z+Zk
NMMA502Nelineární funkcionální analýza 2 52/2 Z+Zk
NSZZ023Diplomová práce I 60/4 Z
NSZZ024Diplomová práce II 90/6 Z
NSZZ025Diplomová práce III 150/10 Z

Povinně volitelné předměty

Skupina I.

Tuto skupinu tvoří přednášky, které jsou úvodem do jednotlivých oblastí výzkumu v matematické analýze, do aplikací matematické analýzy či do vybraných oblastí jiných oborů, které s matematickou analýzou souvisejí. Za předměty z této skupiny je třeba získat alespoň 12 kreditů.

kódPředmětKredityZSLS
NMAG409Algebraická topologie 1 52/2 Z+Zk
NMAG433Riemannovy plochy 32/0 Zk
NMMA433Deskriptivní teorie množin 1 42/0 Zk
NMMA434Deskriptivní teorie množin 2 42/0 Zk
NMMA435Topologické metody ve funkcionální analýze 1 42/0 Zk
NMMA436Topologické metody ve funkcionální analýze 2 42/0 Zk
NMMA437Derivace a integrál pro pokročilé 1 42/0 Zk
NMMA438Derivace a integrál pro pokročilé 2 42/0 Zk
NMMA440Diferenciální rovnice v Banachových prostorech 42/0 Zk
NMMA531Parciální diferenciální rovnice 3 42/0 Zk
NMMA533Úvod do teorie interpolací 1 42/0 Zk
NMMA534Úvod do teorie interpolací 2 42/0 Zk
NMMO401Mechanika kontinua 62/2 Z+Zk
NMMO532Matematická teorie Navierových-Stokesových rovnic 32/0 Zk
NMMO536Matematické metody v mechanice stlačitelných tekutin 32/0 Zk
NMNV405Metoda konečných prvků 1 52/2 Z+Zk

Skupina II.

Tuto skupinu tvoří vybrané vědecké či pracovní semináře. Za předměty z této skupiny je třeba získat alespoň 12 kreditů (za každý z těchto seminářů lze získat 3 kredity za každý semestr). Semináře lze zapisovat opakovaně.

kódPředmětKredityZSLS
NMMA431Seminář z diferenciálních rovnic 30/2 Z0/2 Z
NMMA451Seminář z geometrické analýzy 30/2 Z0/2 Z
NMMA452Seminář z parciálních diferenciálních rovnic 30/2 Z0/2 Z
NMMA454Seminář z prostorů funkcí 30/2 Z0/2 Z
NMMA455Seminář z reálné a abstraktní analýzy 30/2 Z0/2 Z
NMMA456Seminář z teorie reálných funkcí 30/2 Z0/2 Z
NMMA457Seminář ze základních vlastností prostorů funkcí 30/2 Z0/2 Z
NMMA458Topologický seminář 30/2 Z0/2 Z
NMMA459Seminář ze základů funkcionální analýzy 30/2 Z0/2 Z

Doporučené volitelné předměty

kódPředmětKredityZSLS
NMMA461Regularita Navier — Stokesových rovnic 30/2 Z0/2 Z
NMMA462Obecná topologie 2 62/2 Z+Zk
NMMA465Řešitelský seminář 30/2 Z0/2 Z
NMMA479Kapitoly z diskrétních dynamických systémů 32/0 Zk
NMMA561Operátorové algebry 1 32/0 Zk
NMMA562Operátorové algebry 2 32/0 Zk
NMMA563Derivace a integrál pro pokročilé 3 32/0 Zk
NMMA564Derivace a integrál pro pokročilé 4 32/0 Zk
NMMA565Úvod do teorie aproximací 1 32/0 Zk
NMMA566Úvod do teorie aproximací 2 32/0 Zk
NMMA574Vybrané kapitoly z teorie dynamických systémů 32/0 Zk
NMMA579Seminář o diferenciálních rovnicích a teorii integrálu 30/2 Z0/2 Z
NMMA583Kvalitativní vlastnosti slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic 32/0 Zk
NMMA584Regularita slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic 30/2 Z

Státní závěrečná zkouška

Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce

Získání alespoň 120 kreditů.
Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny I. v rozsahu alespoň 12 kreditů.
Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny II. v rozsahu alespoň 12 kreditů.
Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.

Ústní část státní závěrečné zkoušky

Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního oboru Matematická analýza se skládá z pěti okruhů, jimiž jsou Reálná analýza, Komplexní analýza, Funkcionální analýza, Obyčejné diferenciální rovnice a Parciální diferenciální rovnice. Z každého okruhu dostane uchazeč zpravidla jednu otázku.

Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_ma_szz.shtml.

Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky

1. Reálná analýza
Teorie míry – znaménkové míry, Radonovy míry. Absolutně spojité funkce a funkce s konečnou variací. Hausdorffova míra a dimenze. Základy deskriptivní teorie množin.

2. Komplexní analýza
Meromorfní funkce. Konformní zobrazení. Harmonické funkce dvou proměnných. Nulové body holomorfních funkcí. Holomorfní funkce více proměnných. Analytické pokračování.

3. Funkcionální analýza
Topologické lineární prostory. Lokálně konvexní prostory a slabé topologie. Spektrální teorie v Banachových algebrách. Spektrum omezených i neomezených operátorů. Diferenciální počet v Banachových prostorech. Věty o pevných bodech. Integrální transformace. Teorie distribucí.

4. Obyčejné diferenciální rovnice
Carathéodoryova teorie řešení. Soustavy lineárních rovnic prvního řádu. Stabilita a asymptotická stabilita. Dynamické systémy. Bifurkace.

5. Parciální diferenciální rovnice
Lineární a kvazilineární rovnice prvního řádu. Lineární a nelineární eliptické rovnice. Lineární a nelineární parabolické rovnice. Lineární hyperbolické rovnice. Sobolevovy a Bochnerovy prostory.

© 2013–2018 Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakulta. Design noBrother.
Za obsah odpovídá Studijní oddělení.