2.5 Matematické modelování ve fyzice a technice

2.5  Matematické modelování ve fyzice a technice

Garantující pracoviště: Matematický ústav UK
Oborový garant: prof. RNDr. Josef Málek, CSc., DSc.

Studijní obor Matematické modelování ve fyzice a technice je mezioborovým studiem, které spojuje matematiku a fyziku.

Fyzikální část vede studenta k získání schopnosti formulovat matematické modely pro kvantitativní i kvalitativní analýzu fyzikálních systémů, přičemž studium je zaměřeno především na fyzikálními systémy v termodynamice spojitého prostředí. (Proudění tekutin a jejich směsí, deformace pevných látek, vzájemná interakce pevných látek a tekutin a další.) V rámci rozsáhlé spolupráce s dalšími pracovišti Univerzity Karlovy či Akademie věd se ovšem studenti mohou věnovat i matematickému modelování v jiných oborech přírodních či společenských věd.

Matematická část studia je zaměřena na teorii parciálních diferenciálních rovnic. Student se důkladně seznámí s moderními metodami pro teoretickou analýzu systémů nelineárních parciálních diferenciálních rovnic, a dále také s příslušnými numerickými metodami pro jejich řešení, a to včetně implementace daných metod s pomocí moderních softwarových nástrojů.

Obecným cílem studia je připravit studenta k tvůrčímu využití soudobých matematických prostředků při zkoumání rozmanitých jevů reálného světa a souvisejících ryze matematických problémů. Absolventi matematického modelování jsou připraveni působit jak v akademickém tak v komerčním sektoru, a to nejen díky vynikajícím znalostem matematiky a fyziky, ale také díky samostatnosti, schopnosti rychle se zorientovat v nové problematice a schopnosti konzultovat a řešit problémy ve spolupráci se specialisty z různých vědních oborů jako jsou například fyzikové, inženýři, lékaři, ekonomové a programátoři.

Obor Matematické modelování ve fyzice a technice má jeden studijní plán. Do akademického roku 2015/2016 se tento studiní plán nazýval plán N.

Vstupní požadavky

Předpokládáme, že student tohoto oboru má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:

Diferenciální počet jedné a několika reálných proměnných. Integrální počet jedné reálné proměnné. Křivkový a plošný integrál, objemový integrál. Teorie míry, Lebesgueův integrál.
Základy lineární algebry (vektorové prostory, matice, determinanty, Jordanův kanonický tvar, ortogonalizace, vlastní čísla a vlastní vektory, základy multilineární algebry, kvadratické formy). Numerické řešení soustav lineárních algebraických rovnic (Schurova věta, QR rozklad, LU rozklad, singulární rozklad, úlohy nejmenších čtverců, částečný problém vlastních čísel, metoda sdružených gradientů, GMRES, zpětná chyba, citlivost a numerická stabilita, QR algoritmus).
Základy komplexní analýzy (Cauchyova věta, reziduová věta, konformní zobrazení, Laplaceova transformace).
Základy funkcionální analýzy a teorie metrických prostorů (Banachovy a Hilbertovy prostory, operátory a funkcionály, Hahn-Banachova věta, duální prostory, omezené operátory, kompaktní operátory, základy teorie distribucí).
 Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic (základní vlastnosti řešení a maximálních řešení, soustavy lineárních rovnic, stabilita) a parciálních diferenciálních rovnic (kvazilineární rovnice prvního řádu, Laplaceova rovnice a rovnice vedení tepla – fundamentální řešení a princip maxima, vlnová rovnice – fundamentální řešení, konečná rychlost šíření vlny).
Základy klasické mechaniky (Newtonovy pohybové zákony, Lagrangeovy rovnice, Hamiltonovy rovnice, variační formulace, mechanika tuhého tělesa, setrvačníky).
Pasivní znalost angličtiny umožňující dostatečné porozumění matematickým přednáškám a odborným textům.

Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.

Doporučený průběh studia

Podrobnější informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkáchhttp://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_mod.shtml.

1. rok studia

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA401 Funkcionální analýza 1   8 4/2 Z+Zk
NMMA405 Parciální diferenciální rovnice 1   6 3/1 Z+Zk
NMMO401 Mechanika kontinua   6 2/2 Z+Zk
NOFY036 Termodynamika a statistická fyzika   6 3/2 Z+Zk
NMNV405 Metoda konečných prvků 1   5 2/2 Z+Zk
NMMA406 Parciální diferenciální rovnice 2   6 3/1 Z+Zk
NSZZ023 Diplomová práce I   6 0/4 Z
NMMO402 Termodynamika a mechanika nenewtonovských tekutin   5 2/1 Z+Zk
NMMO403 Počítačové řešení úloh fyziky kontinua   5 2/2 Z+Zk
NMMO404 Termodynamika a mechanika pevných látek   5 2/1 Z+Zk
  Volitelné a povinně volitelné předměty   1    

2. rok studia

kód Předmět Kredity ZS LS
NSZZ024 Diplomová práce II   9 0/6 Z
NMNV407 Maticové iterační metody 1   6 4/0 Zk
NSZZ025 Diplomová práce III   15 0/10 Z
  Volitelné a povinně volitelné předměty   30    

Shrnutí studijního plánu

Povinné předměty

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA401 Funkcionální analýza 1   8 4/2 Z+Zk
NMMA405 Parciální diferenciální rovnice 1   6 3/1 Z+Zk
NMMA406 Parciální diferenciální rovnice 2   6 3/1 Z+Zk
NMMO401 Mechanika kontinua   6 2/2 Z+Zk
NMMO402 Termodynamika a mechanika nenewtonovských tekutin   5 2/1 Z+Zk
NMMO403 Počítačové řešení úloh fyziky kontinua   5 2/2 Z+Zk
NMMO404 Termodynamika a mechanika pevných látek   5 2/1 Z+Zk
NMNV405 Metoda konečných prvků 1   5 2/2 Z+Zk
NMNV407 Maticové iterační metody 1   6 4/0 Zk
NOFY036 Termodynamika a statistická fyzika   6 3/2 Z+Zk
NSZZ023 Diplomová práce I   6 0/4 Z
NSZZ024 Diplomová práce II   9 0/6 Z
NSZZ025 Diplomová práce III   15 0/10 Z

Povinně volitelné předměty

Je třeba získat alespoň 16 kreditů z povinně volitelných předmětů.

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA407 Obyčejné diferenciální rovnice 2   5 2/2 Z+Zk
NMMA531 Parciální diferenciální rovnice 3   4 2/0 Zk
NMMO432 Klasické úlohy mechaniky kontinua   4 2/1 Z+Zk
NMMO531 Biotermodynamika   5 2/2 Z+Zk
NMMO532 Matematická teorie Navierových-Stokesových rovnic   3 2/0 Zk
NMMO533 Nelineární diferenciální rovnice a nerovnice 1   6 3/1 Z+Zk
NMMO534 Nelineární diferenciální rovnice a nerovnice 2   6 3/1 Z+Zk
NMMO535 Matematické metody v mechanice pevných látek   3 2/0 Zk
NMMO536 Matematické metody v mechanice stlačitelných tekutin   3 2/0 Zk
NMMO537 Sedlobodové úlohy a jejich řešení   5 2/2 Z+Zk
NMMO539 Matematické metody v mechanice nenewtonovských tekutin   3 2/0 Zk
NMMO541 Teorie směsí   4 2/1 Z+Zk
NMNV403 Numerický software 1   5 2/2 Z+Zk
NMNV404 Numerický software 2   5 2/2 Z+Zk
NMNV501 Řešení nelineárních algebraických rovnic   5 2/2 Z+Zk
NMNV532 Paralelní maticové výpočty   5 2/2 Z+Zk
NMNV537 Matematické metody v mechanice tekutin 1   3 2/0 Zk
NMNV538 Matematické metody v mechanice tekutin 2   3 2/0 Zk
NOFY026 Klasická elektrodynamika   6 2/2 Z+Zk
NTMF034 Elektromagnetické pole a speciální teorie relativity   5 2/1 Zk

Doporučené volitelné předměty

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA452 Seminář z parciálních diferenciálních rovnic   3 0/2 Z 0/2 Z
NMMA461 Regularita Navier — Stokesových rovnic   3 0/2 Z 0/2 Z
NMMA583 Kvalitativní vlastnosti slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic   3 2/0 Zk
NMMA584 Regularita slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic   3 0/2 Z
NMMO461 Seminář z mechaniky kontinua   3 0/2 Z 0/2 Z
NMMO561 Regularita řešení Navier-Stokesových rovnic   3 2/0 Zk
NMMO564 Vybrané problémy matematického modelování   3 0/2 Z
NMNV402 Nelineární funkcionální analýza   5 2/2 Z+Zk
NMNV541 Tvarová a materiálová optimalizace 1   3 2/0 Zk
NMNV542 Tvarová a materiálová optimalizace 2   3 2/0 Zk

Vyjímečný volitelný kurs

Hostující profesor Hans Georg Feichtinger (Universita Wien) pronese v zimním semestru 2018/19 přednášku podporovanou Evropskými strukturálními a investičními fondy v rámci Operačního programu Výzkum, vývoj a vzdělávání. V tomto akademickém roce ji zařadíme mezi doporučené volitelné kursy jako kurs NMMO498.

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMO498 Výběrová přednáška Matematické modelování 1   3 2/0 Zk

Státní závěrečná zkouška

Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce

 Získání alespoň 120 kreditů.
 Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
 Splnění povinně volitelných předmětů v rozsahu alespoň 16 kreditů.
 Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.

Ústní část státní závěrečné zkoušky

Student po předchozí přípravě ústně zodpoví šest otázek z teorie parciálních diferenciálních rovnic (jedna otázka), funkcionální analýzy (jedna otázka), teorie metody konečných prvků (jedna otázka), teorie řešení algebraických rovnic (jedna otázka), kinematiky a dynamiky kontinua (jedna otázka) a teorie konstitutivních vztahů pro tekutiny a pevné látky (jedna otázka).

Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkáchhttp://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_mod_szz.shtml.

Požadavky pro ústní část státní závěrečné zkoušky

1. Termodynamika a mechanika kontinua

Kinematika. Tensor napětí. Bilanční rovnice. Konstitutivní vztahy. Modely pro pevné látky a tekutiny.

2. Funkcionální analýza a parciální diferenciální rovnice

Lineární operátory a funkcionály, kompaktní operátory. Distribuce. Prostory funkcí. Slabá řešení lineárních eliptických, parabolických a hyperbolických úloh druhého řádu – základní existenční teorie a kvalitativní vlastnosti řešení.

3. Numerické metody

Numerické metody řešení diferenciálních rovnic. Metoda konečných prvků. Maticové iterační metody.