2.3 Matematická analýza

2.3 Matematická analýza

Garantující pracoviště: Katedra matematické analýzy
Oborový garant: doc. RNDr. Ondřej Kalenda, Ph.D., DSc.

Matematická analýza zahrnuje řadu oblastí matematiky — teorii funkcí reálné a komplexní proměnné, teorii míry a integrálu, funkcionální analýzu, obyčejné i parciální diferenciální rovnice, teorii potenciálu aj. Jejich vývoj byl inspirován také potřebami fyziky, biologie, ekonomie a jiných věd. Díky velmi vysoké adaptabilitě získané studiem a schopnosti podílet se tvořivě na řešení problémů z celé řady oborů je uplatnění absolventů značně univerzální a není omezeno na pracoviště s čistě badatelským zaměřením.

Obor Matematická analýza má jeden studijní plán. Do roku 2016/2017 se nazýval Plán N a (zahájení od roku 2013)

Tento studijní plán je určen pro studenty, kteří zahájili studium oboru Matematická analýza v roce 2013/14 nebo později.

Vstupní požadavky

Předpokládáme, že student tohoto oboru má na počátku prvního ročníku dostatečné znalosti z následujících oborů a oblastí:

Diferenciální počet jedné a několika reálných proměnných. Integrální počet jedné reálné proměnné. Teorie míry, Lebesgueova míra a Lebesgueův integrál. Základy algebry (maticový počet, vektorové prostory).
Základy obecné topologie (metrické a topologické prostory, úplnost a kompaktnost), komplexní analýzy (Cauchyova věta, reziduová věta, konformní zobrazení), funkcionální analýzy (Banachovy a Hilbertovy prostory, duály, omezené operátory, kompaktní operátory, základy teorie distribucí).
 Základy teorie obyčejných diferenciálních rovnic (základní vlastnosti řešení a maximálních řešení, soustavy lineárních rovnic, stabilita) a parciálních diferenciálních rovnic (kvazilineární rovnice prvního řádu, Laplaceova rovnice a rovnice vedení tepla – fundamentální řešení a princip maxima, vlnová rovnice – fundamentální řešení, konečná rychlost šíření vlny).
Pasivní znalost angličtiny umožňující dostatečné porozumění matematickým přednáškám a odborným textům.

Studentům, kteří tyto požadavky nesplňují, může garant studijního programu stanovit způsob jejich doplnění, například absolvováním vybraných předmětů bakalářského studia v rámci individuálního studijního plánu.

Doporučený průběh studia

Podrobnější informace k doporučenému průběhu studia lze najít na stránkách http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_ma.shtml.

1. rok studia

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA401 Funkcionální analýza 1   8 4/2 Z+Zk
NMMA405 Parciální diferenciální rovnice 1   6 3/1 Z+Zk
NMMA407 Obyčejné diferenciální rovnice 2   5 2/2 Z+Zk
NMMA403 Reálné funkce 1   4 2/0 Zk
NMMA402 Funkcionální analýza 2   6 3/1 Z+Zk
NMMA406 Parciální diferenciální rovnice 2   6 3/1 Z+Zk
NSZZ023 Diplomová práce I   6 0/4 Z
NMMA408 Komplexní analýza 2   5 2/2 Z+Zk
NMMA404 Reálné funkce 2   4 2/0 Zk
  Volitelné a povinně volitelné předměty   10    

2. rok studia

kód Předmět Kredity ZS LS
NSZZ024 Diplomová práce II   9 0/6 Z
NMMA501 Nelineární funkcionální analýza 1   5 2/2 Z+Zk
NSZZ025 Diplomová práce III   15 0/10 Z
NMMA502 Nelineární funkcionální analýza 2   5 2/2 Z+Zk
  Volitelné a povinně volitelné předměty   26    

Shrnutí studijního plánu

Povinné předměty

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA401 Funkcionální analýza 1   8 4/2 Z+Zk
NMMA402 Funkcionální analýza 2   6 3/1 Z+Zk
NMMA403 Reálné funkce 1   4 2/0 Zk
NMMA404 Reálné funkce 2   4 2/0 Zk
NMMA405 Parciální diferenciální rovnice 1   6 3/1 Z+Zk
NMMA406 Parciální diferenciální rovnice 2   6 3/1 Z+Zk
NMMA407 Obyčejné diferenciální rovnice 2   5 2/2 Z+Zk
NMMA408 Komplexní analýza 2   5 2/2 Z+Zk
NMMA501 Nelineární funkcionální analýza 1   5 2/2 Z+Zk
NMMA502 Nelineární funkcionální analýza 2   5 2/2 Z+Zk
NSZZ023 Diplomová práce I   6 0/4 Z
NSZZ024 Diplomová práce II   9 0/6 Z
NSZZ025 Diplomová práce III   15 0/10 Z

Povinně volitelné předměty

Skupina I.

Tuto skupinu tvoří přednášky, které jsou úvodem do jednotlivých oblastí výzkumu v matematické analýze, do aplikací matematické analýzy či do vybraných oblastí jiných oborů, které s matematickou analýzou souvisejí. Za předměty z této skupiny je třeba získat alespoň 12 kreditů.

kód Předmět Kredity ZS LS
NMAG409 Algebraická topologie 1   5 2/2 Z+Zk
NMAG433 Riemannovy plochy   3 2/0 Zk
NMMA433 Deskriptivní teorie množin 1   4 2/0 Zk
NMMA434 Deskriptivní teorie množin 2   4 2/0 Zk
NMMA435 Topologické metody ve funkcionální analýze 1   4 2/0 Zk
NMMA436 Topologické metody ve funkcionální analýze 2   4 2/0 Zk
NMMA437 Derivace a integrál pro pokročilé 1   4 2/0 Zk
NMMA438 Derivace a integrál pro pokročilé 2   4 2/0 Zk
NMMA440 Diferenciální rovnice v Banachových prostorech   4 2/0 Zk
NMMA531 Parciální diferenciální rovnice 3   4 2/0 Zk
NMMA533 Úvod do teorie interpolací 1   4 2/0 Zk
NMMA534 Úvod do teorie interpolací 2   4 2/0 Zk
NMMO401 Mechanika kontinua   6 2/2 Z+Zk
NMMO532 Matematická teorie Navierových-Stokesových rovnic   3 2/0 Zk
NMMO536 Matematické metody v mechanice stlačitelných tekutin   3 2/0 Zk
NMNV405 Metoda konečných prvků 1   5 2/2 Z+Zk

Skupina II.

Tuto skupinu tvoří vybrané vědecké či pracovní semináře. Za předměty z této skupiny je třeba získat alespoň 12 kreditů (za každý z těchto seminářů lze získat 3 kredity za každý semestr). Semináře lze zapisovat opakovaně.

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA431 Seminář z diferenciálních rovnic   3 0/2 Z 0/2 Z
NMMA451 Seminář z geometrické analýzy   3 0/2 Z 0/2 Z
NMMA452 Seminář z parciálních diferenciálních rovnic   3 0/2 Z 0/2 Z
NMMA454 Seminář z prostorů funkcí   3 0/2 Z 0/2 Z
NMMA455 Seminář z reálné a abstraktní analýzy   3 0/2 Z 0/2 Z
NMMA456 Seminář z teorie reálných funkcí   3 0/2 Z 0/2 Z
NMMA457 Seminář ze základních vlastností prostorů funkcí   3 0/2 Z 0/2 Z
NMMA458 Topologický seminář   3 0/2 Z 0/2 Z
NMMA459 Seminář ze základů funkcionální analýzy   3 0/2 Z 0/2 Z

Doporučené volitelné předměty

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA461 Regularita Navier — Stokesových rovnic   3 0/2 Z 0/2 Z
NMMA462 Obecná topologie 2   6 2/2 Z+Zk
NMMA465 Řešitelský seminář   3 0/2 Z 0/2 Z
NMMA479 Kapitoly z diskrétních dynamických systémů   3 2/0 Zk
NMMA561 Operátorové algebry 1   3 2/0 Zk
NMMA562 Operátorové algebry 2   3 2/0 Zk
NMMA563 Derivace a integrál pro pokročilé 3   3 2/0 Zk
NMMA564 Derivace a integrál pro pokročilé 4   3 2/0 Zk
NMMA565 Úvod do teorie aproximací 1   3 2/0 Zk
NMMA566 Úvod do teorie aproximací 2   3 2/0 Zk
NMMA574 Vybrané kapitoly z teorie dynamických systémů   3 2/0 Zk
NMMA579 Seminář o diferenciálních rovnicích a teorii integrálu   3 0/2 Z 0/2 Z
NMMA583 Kvalitativní vlastnosti slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic   3 2/0 Zk
NMMA584 Regularita slabých řešení parciálních diferenciálních rovnic   3 0/2 Z

Vyjímečný volitelný kurs

Hostující profesor Hans Georg Feichtinger (Universita Wien) pronese v zimním semestru 2018/19 přednášku podporovanou Evropskými strukturálními a investičními fondy v rámci Operačního programu Výzkum, vývoj a vzdělávání. V tomto akademickém roce ji zařadíme mezi doporučené volitelné kursy jako kurs NMMO498.

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMO498 Výběrová přednáška Matematické modelování 1   3 2/0 Zk

Státní závěrečná zkouška

Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce

 Získání alespoň 120 kreditů.
 Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
 Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny I. v rozsahu alespoň 12 kreditů.
 Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny II. v rozsahu alespoň 12 kreditů.
 Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.

Ústní část státní závěrečné zkoušky

Ústní část státní závěrečné zkoušky studijního oboru Matematická analýza se skládá z pěti okruhů, jimiž jsou Reálná analýza, Komplexní analýza, Funkcionální analýza, Obyčejné diferenciální rovnice a Parciální diferenciální rovnice. Z každého okruhu dostane uchazeč zpravidla jednu otázku.

Podrobnější vysvětlení požadavků k ústní části státní závěrečné zkoušky lze najít na stránkáchhttp://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/nmgr_ob_ma_szz.shtml.

Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky

1. Reálná analýza
Teorie míry – znaménkové míry, Radonovy míry. Absolutně spojité funkce a funkce s konečnou variací. Hausdorffova míra a dimenze. Základy deskriptivní teorie množin.

2. Komplexní analýza
Meromorfní funkce. Konformní zobrazení. Harmonické funkce dvou proměnných. Nulové body holomorfních funkcí. Holomorfní funkce více proměnných. Analytické pokračování.

3. Funkcionální analýza
Topologické lineární prostory. Lokálně konvexní prostory a slabé topologie. Spektrální teorie v Banachových algebrách. Spektrum omezených i neomezených operátorů. Diferenciální počet v Banachových prostorech. Věty o pevných bodech. Integrální transformace. Teorie distribucí.

4. Obyčejné diferenciální rovnice
Carathéodoryova teorie řešení. Soustavy lineárních rovnic prvního řádu. Stabilita a asymptotická stabilita. Dynamické systémy. Bifurkace.

5. Parciální diferenciální rovnice
Lineární a kvazilineární rovnice prvního řádu. Lineární a nelineární eliptické rovnice. Lineární a nelineární parabolické rovnice. Lineární hyperbolické rovnice. Sobolevovy a Bochnerovy prostory.