2.3.2 Matematické metody informační bezpečnosti, plán N

2.3.2 Matematické metody inf. bezpečnosti, plán N

Garantující pracoviště: Katedra algebry
Oborový garant: doc. RNDr. Jiří Tůma, DrSc.

Plán N je určen pro studenty, kteří zahájili studium oboru MMIB v roce 2012/13 až 2014/2015. Vzhledem k tomu, že průběh prvního ročníku plánů NN a N oboru MMIB je identický, doporučujeme posluchačům, kteří začali studovat v plánu N v roce 2014, aby studium dokončili podle plánu NN.

Doporučený průběh studia

1. rok studia

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA101 Matematická analýza 1   10 4/4 Z+Zk
NMAG101 Lineární algebra a geometrie 1   8 4/2 Z+Zk
NMIN101 Programování 1   5 2/2 Z
NMIN105 Diskrétní matematika   5 2/2 Z+Zk
NTVY014 Tělesná výchova I   1 0/2 Z
NJAZ070 Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé I   1 0/2 Z
NMMA102 Matematická analýza 2   10 4/4 Z+Zk
NMAG102 Lineární algebra a geometrie 2   8 4/2 Z+Zk
NMIN102 Programování 2   5 2/2 Z+Zk
NTVY015 Tělesná výchova II   1 0/2 Z
NJAZ072 Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé II   1 0/2 Z
  Volitelné předměty   5    

Doporučené volitelné předměty

kód Předmět Kredity ZS LS
NMSA160 Pravděpodobnostní a statistické problémy   5 2/2 Z+Zk
NMAG162 Úvod do matematické logiky   3 2/0 Zk
NMAG166 Ukázky aplikací matematiky   3 2/0 Zk
NMIN160 Teorie množin   3 2/0 Zk
NMAG160 Proseminář z teorie čísel   2 0/2 Z

2. rok studia

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA201 Matematická analýza 3   8 4/2 Z+Zk
NMMA203 Teorie míry a integrálu   8 4/2 Z+Zk
NMIN201 Objektově orientované programování   5 2/2 Z+Zk
NMAG201 Algebra 1   4 2/1 Z+Zk
NTVY016 Tělesná výchova III   1 0/2 Z
NMMB201 Kryptografické systémy   4 1/2 Z+Zk
NMSA202 Pravděpodobnost a matematická statistika   8 4/2 Z+Zk
NMMB204 Počítačová algebra   6 3/1 Z+Zk
NMMB202 Aplikační programování   5 2/2 Z
NMMB206 Teorie čísel a RSA   5 2/2 Z+Zk
NMAG202 Algebra 2   4 2/1 Z+Zk
NTVY017 Tělesná výchova IV   1 0/2 Z
NJAZ091 Anglický jazyk   1 0/0 Zk

Doporučené volitelné předměty

kód Předmět Kredity ZS LS
NMIN263 Principy počítačů a operační systémy   3 2/0 Zk
NJAZ074 Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé III   1 0/2 Z
NMMA202 Matematická analýza 4   8 4/2 Z+Zk
NMAG204 Geometrie   4 2/1 Z+Zk
NMIN266 Aplikace a využití počítačů v matematice   2 0/2 Z
NJAZ090 Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé IV   1 0/2 Z
NMSA230 Softwarové prostředky pro matematiku a stochastiku   1 0/1 Z

3. rok studia

kód Předmět Kredity ZS LS
NMAG301 Komutativní okruhy   6 3/1 Z+Zk
NMMB307 Teoretická kryptografie I   3 2/0 Zk
NMMB308 Teoretická kryptografie II   3 2/0 Zk
NMMA301 Úvod do komplexní analýzy   5 2/2 Z+Zk
NMMB303 Datové a procesní modely   5 2/2 Z+Zk
NMAG303 Konečná tělesa * 3 2/0 Zk
NMMB301 Aplikovaná kryptografie 1   3 2/0 Zk
NMMB304 Samoopravné kódy   6 3/1 Z+Zk
NMAG302 Algebraické křivky   5 2/2 Z+Zk
NMMB302 Aplikovaná kryptografie 2   3 2/0 Zk
NSZZ031 Vypracování a konzultace bakalářské práce   6 0/4 Z
  Volitelné předměty   12    

* Místo NMAG303 lze zapsat NMMB208.

Doporučené volitelné předměty

kód Předmět Kredity ZS LS
NMAG337 Úvod do teorie grup   5 2/2 Z+Zk
NMAG361 Proseminář z komutativních okruhů   2 0/2 Z
NMIN331 Základy kombinatoriky a teorie grafů   5 2/2 Z+Zk
NMMB360 Úvod do algebraické teorie čísel   3 2/0 Zk
NMIN364 Vybrané aspekty operačního systému UNIX   2 2/0 Z

Shrnutí studijního plánu

Povinné předměty

kód Předmět Kredity ZS LS
NMAG101 Lineární algebra a geometrie 1   8 4/2 Z+Zk
NMAG102 Lineární algebra a geometrie 2   8 4/2 Z+Zk
NMAG201 Algebra 1   4 2/1 Z+Zk
NMAG202 Algebra 2   4 2/1 Z+Zk
NMAG301 Komutativní okruhy   6 3/1 Z+Zk
NMAG302 Algebraické křivky   5 2/2 Z+Zk
NMAG303 Konečná tělesa   3 2/0 Zk
NMIN101 Programování 1   5 2/2 Z
NMIN102 Programování 2   5 2/2 Z+Zk
NMIN105 Diskrétní matematika   5 2/2 Z+Zk
NMIN201 Objektově orientované programování   5 2/2 Z+Zk
NMMA101 Matematická analýza 1   10 4/4 Z+Zk
NMMA102 Matematická analýza 2   10 4/4 Z+Zk
NMMA201 Matematická analýza 3   8 4/2 Z+Zk
NMMA203 Teorie míry a integrálu   8 4/2 Z+Zk
NMMA301 Úvod do komplexní analýzy   5 2/2 Z+Zk
NMMB201 Kryptografické systémy   4 1/2 Z+Zk
NMMB202 Aplikační programování   5 2/2 Z
NMMB204 Počítačová algebra   6 3/1 Z+Zk
NMMB206 Teorie čísel a RSA   5 2/2 Z+Zk
NMMB301 Aplikovaná kryptografie 1   3 2/0 Zk
NMMB302 Aplikovaná kryptografie 2   3 2/0 Zk
NMMB303 Datové a procesní modely   5 2/2 Z+Zk
NMMB304 Samoopravné kódy   6 3/1 Z+Zk
NMMB307 Teoretická kryptografie I   3 2/0 Zk
NMMB308 Teoretická kryptografie II   3 2/0 Zk
NMSA202 Pravděpodobnost a matematická statistika   8 4/2 Z+Zk
NJAZ091 Anglický jazyk   1 0/0 Zk
NSZZ031 Vypracování a konzultace bakalářské práce   6 0/4 Z
NTVY014 Tělesná výchova I   1 0/2 Z
NTVY015 Tělesná výchova II   1 0/2 Z
NTVY016 Tělesná výchova III   1 0/2 Z
NTVY017 Tělesná výchova IV   1 0/2 Z

Doporučené volitelné předměty

kód Předmět Kredity ZS LS
NMAG160 Proseminář z teorie čísel   2 0/2 Z
NMAG162 Úvod do matematické logiky   3 2/0 Zk
NMAG166 Ukázky aplikací matematiky   3 2/0 Zk
NMAG204 Geometrie   4 2/1 Z+Zk
NMAG337 Úvod do teorie grup   5 2/2 Z+Zk
NMAG361 Proseminář z komutativních okruhů   2 0/2 Z
NMIN160 Teorie množin   3 2/0 Zk
NMNV361 Fraktály a chaotická dynamika   3 2/0 Zk
NMIN263 Principy počítačů a operační systémy   3 2/0 Zk
NMIN266 Aplikace a využití počítačů v matematice   2 0/2 Z
NMIN331 Základy kombinatoriky a teorie grafů   5 2/2 Z+Zk
NMIN364 Vybrané aspekty operačního systému UNIX   2 2/0 Z
NMMA202 Matematická analýza 4   8 4/2 Z+Zk
NMMB360 Úvod do algebraické teorie čísel   3 2/0 Zk
NMMB362 Studentský kryptologický seminář   2 0/2 Z
NMSA160 Pravděpodobnostní a statistické problémy   5 2/2 Z+Zk
NMSA230 Softwarové prostředky pro matematiku a stochastiku   1 0/1 Z
NMMB460 Kryptoanalýza na úrovni instrukcí   2 0/2 Z
NJAZ070 Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé I   1 0/2 Z
NJAZ072 Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé II   1 0/2 Z
NJAZ074 Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé III   1 0/2 Z
NJAZ090 Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé IV   1 0/2 Z

Státní závěrečná zkouška

Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce

 Získání alespoň 180 kreditů.
 Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
 Odevzdání vypracované bakalářské práce ve stanoveném termínu.

Ústní část státní závěrečné zkoušky

Zkouška má přehledový charakter. Žádá se, aby posluchač prokázal pochopení základních pojmů, principů a výsledků, byl schopen je ilustrovat na příkladech a předvedl určitou míru syntézy.

Ústní část státní závěrečné zkoušky se skládá ze tří tématických okruhů: "Matematická analýza a lineární algebra""Algebra""Kryptologie a teorie čísel". Z každého tématického okruhu dostane student jednu otázku.

Požadavky pro ústní část státní závěrečné zkoušky

Matematická analýza a lineární algebra

1. Posloupnosti a řady čísel a funkcí
Limity posloupností a součty řad. Kritéria absolutní a neabsolutní konvergence číselných řad. Stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí. Mocninné řady.

2. Diferenciální počet
Spojitost a derivace funkcí jedné reálné proměnné. Hlubší věty o spojitých funkcích. Věty o střední hodnotě a jejich důsledky. Vztahy monotonie a znaménka derivace. Konvexita. Taylorův polynom. Taylorovy řady.

3. Integrální počet
Primitivní funkce, určitý integrál. Základní vlastnosti, vztah k primitivní funkci. Metody výpočtu, věty o substituci a integrace per partes. Základní kritéria existence.

4. Matice a determinanty, soustavy lineárních rovnic
Základní pojmy a operace s maticemi a jejich vlastnosti. Hodnost matice. Soustavy lineárních rovnic, Gaussova eliminace, podmínky rešitelnosti. Determinanty a metody jejich výpočtu.

5. Vektorové prostory
Pojem vektorového prostoru, lineární nezávislost, lineární obal, báze a dimenze. Steinitzova věta o výměně. Podprostory a jejich dimenze. Skalární součin, ortogonalizační proces, ortonormální báze. Ortogonální projekce, metoda nejmenších čtverců a pseudoinverze. Diagonalizace a ortogonální diagonalizace. Různé typy rozkladů matic.

6. Lineární a bilineární formy
Lineární, bilineární a kvadratické formy, matice lineárních zobrazení, vlastní čísla lineárních zobrazení a matic, charakteristický polynom. Polární báze a zákon setrvačnosti pro kvadratické formy. Matice jednoduchých geometrických zobrazení.

Algebra

1. Grupy
Základní vlastnosti permutací. Příklady grup. Podgrupy, homomorfismy. Rozkladové třídy, Lagrangeova věta, normální podgrupy a faktorizace.

2. Komutativní okruhy
Základy dělitelnosti v okruzích, ireducibilní prvky, největší společný dělitel. Gaussovy obory, obory hlavních ideálů, Eukleidovy obory a rozšířený Eukleidův algoritmus.

3. Polynomy
Dělitelnost v okruzích polynomů jedné i více proměnných. Rozklady a kořeny polynomů. Gaussovo lemma. Polynomy více proměnných a afinní variety. Hilbertova věta o bázi.

4. Tělesa
Minimální polynom a stupeň rozšíření. Faktorokruhy. Kořenová a rozkladová rozšíření. Konstrukce a klasifikace konečných těles. Cykličnost konečných multiplikativních grup v tělesech.

5. Počítačová algebra. 
Asymptotické chování funkcí. Základní operace s celými čísly a jejich složitost (násobení, dělení, největší společný dělitel). Diskrétní Fourierova transformace a rychlé násobení polynomů. Algoritmy na Čínskou větu o zbytcích, interpolace.

Kryptologie a teorie čísel

1. Teorie čísel
Struktura cyklické grupy (podgrupy, generátory, endomorfismy a automorfismy). Grupa invertibilních prvků, Eulerova funkce. Kvadratické zbytky, Legenderovy a Jacobiho symboly, jejich výpočet. Věta o reciprocitě. Rabinův-Millerův algoritmus. Hustota prvočísel.

2. Samoopravné kódy
Přenos informace, entropie, Shannonova věta. Lineární kódy: Hammingovy kódy, MDS kódy. Hammingův odhad a perfektní kódy. Cyklické kódy a jejich algebraická interpretace, příklady.

3. Kryptologie
Symetrická a asymetrická kryptografie, základní metody, systémy a postupy. Booleovské funkce, algebraický normální tvar, korelace a korelační matice. Lineární posuvné registry a lineární rekurentní posloupnosti. Útoky hrubou silou, diferenční a lineární kryptoanalýza.