2.1 Obecná matematika

2.1 Obecná matematika

Garantující pracoviště: Matematická sekce
Oborový garant: doc. Mgr. Michal Kulich, Ph.D.

Obor Obecná matematika má jeden studijní plán. Je určen pro posluchače, kteří zahájili studium v akademickém roce 2012/2013 nebo později.

 

Doporučený průběh studia pro první dva ročníky obsahuje téměř výhradně povinné předměty, je společný pro celý obor a poskytuje všeobecný matematický základ. Před zápisem do 3. ročníku by si měl student zvolit zaměření, kterému se bude chtít dále věnovat a sestavit si studijní plán pro 3. ročník podle doporučení pro zvolené zaměření.

Zaměření oboru Obecná matematika

Obor Obecná matematika umožňuje specializaci na jedno ze čtyř nabízených zaměření:

1. Zaměření Stochastika (STOCH) je určeno k přípravě na navazující magisterské studium oborů Pravděpodobnost, matematická statistika a ekonometrie a Finanční a pojistná matematika.
2. Zaměření Matematické struktury (STR) je určeno k přípravě na navazující magisterské studium oborů Matematické struktury a Matematika pro informační technologie..
3. Zaměření Matematická analýza (AN) je určeno k přípravě na navazující magisterské studium oboru Matematická analýza.
4. Zaměření Numerická analýza a matematické modelování (NM) je určeno k přípravě na navazující magisterské studium oborů Numerická a výpočtová matematika a Matematické modelování ve fyzice a technice.

Volba zaměření

Volba zaměření zahrnuje čtyři postupné kroky:

 Výběr tématu bakalářské práce, typicky na počátku třetího ročníku.
 Výběr povinně volitelných předmětů, typicky na počátku třetího ročníku.
 Zápis jedné ze čtyř variant předmětu "Bakalářské konzultace", typicky na počátku posledního semestru studia.
 Výběr volitelného okruhu ústní části státní závěrečné zkoušky, při přihlašování ke státní závěrečné zkoušce.

Čtyři varianty předmětu "Bakalářské konzultace" určené pro jednotlivá zaměření tvoří oddělenou skupinu povinně volitelných předmětů. K úspěšnému ukončení studia je nutné si jednu z těchto variant vybrat a získat z ní zápočet.

kód Předmět Kredity ZS LS
NMSA349 Bakalářské konzultace: Stochastika   6 0/4 Z
NMAG349 Bakalářské konzultace: Matematické struktury   6 0/4 Z
NMMA349 Bakalářské konzultace: Matematická analýza   6 0/4 Z
NMNM349 Bakalářské konzultace: Modelování a numerická analýza   6 0/4 Z

Volba povinně volitelných předmětů

Volba povinně volitelných předmětů je usměrňována pomocí prerekvizit jednotlivých variant předmětu "Bakalářské konzultace". Každá varianta vyžaduje splnění určitých požadavků na absolvování předmětů zvoleného zaměření. Tyto prerekvizity se neověřují při zápise předmětu "Bakalářské konzultace", takže tento předmět je možné si zapsat i bez toho, že by student všechny prerekvizity splňoval. Ověřují se však při kontrole plnění studijních povinností, takže student, který v této fázi nesplňuje prerekvizity předmětu "Bakalářské konzultace", nemůže uzavřít studium.

Prerekvizity bakalářských konzultací

Stochastika

Předmět NMSA349 "Bakalářské konzultace: Stochastika" vyžaduje absolvování všech těchto předmětů:

kód Předmět Kredity ZS LS
NMSA331 Matematická statistika 1   8 4/2 Z+Zk
NMSA332 Matematická statistika 2   5 2/2 Z+Zk
NMSA333 Teorie pravděpodobnosti 1   8 4/2 Z+Zk
NMSA334 Náhodné procesy 1   8 4/2 Z+Zk
NMSA336 Úvod do optimalizace   4 2/1 Z+Zk
NMMA342 Vybrané partie z funkcionální analýzy   5 2/2 Z+Zk

Matematické struktury

Předmět NMAG349 "Bakalářské konzultace: Matematické struktury" vyžaduje absolvování alespoň tří z předmětů uvedených níže. Pro úspěšné studium magisterského oboru Matematické struktury je však žádoucí znalost látky ze všech těchto předmětů.

kód Předmět Kredity ZS LS
NMAG301 Komutativní okruhy   6 3/1 Z+Zk
NMAG302 Algebraické křivky   5 2/2 Z+Zk
NMAG331 Matematická logika   3 2/0 Zk
NMAG332 Topologie a teorie kategorií   6 3/1 Z+Zk
NMAG333 Okruhy a moduly   5 2/2 Z+Zk
NMAG334 Úvod do teorie Lieových grup   5 2/2 Z+Zk
NMAG335 Úvod do analýzy na varietách   5 2/2 Z+Zk
NMAG337 Úvod do teorie grup   5 2/2 Z+Zk

Pro úspěšné studium magisterského oboru Matematika pro informační technologie se zaměřením na Počítačovou geometrii je žádoucí absolvovat přednášky NMAG301, NMAG302 a dále povinně volitelné přednášky NPGR002, NMMB434 a NMNM331.

Matematická analýza

Předmět NMMA349 "Bakalářské konzultace: Matematická analýza" vyžaduje absolvování všech předmětů uvedených níže. Pro úspěšné studium magisterského oboru Matematická analýza je navíc žádoucí znalost látky z předmětu NMMA335 Obecná topologie 1.

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA331 Úvod do funkcionální analýzy   8 4/2 Z+Zk
NMMA333 Obyčejné diferenciální rovnice   5 2/2 Z+Zk
NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic   10 4/4 Z+Zk
NMMA338 Komplexní analýza 1   5 2/2 Z+Zk

Numerická analýza a matematické modelování

Předmět NMNM349 "Bakalářské konzultace: Modelování a numerická analýza" vyžaduje absolvování všech těchto předmětů:

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA331 Úvod do funkcionální analýzy   8 4/2 Z+Zk
NMMA333 Obyčejné diferenciální rovnice   5 2/2 Z+Zk
NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic   10 4/4 Z+Zk
NMNM331 Analýza maticových výpočtů 1   5 2/2 Z+Zk
NMNM334 Úvod do matematického modelování   5 3/0 Zk

K tomu se vyžaduje absolvování alespoň jednoho z těchto předmětů:

kód Předmět Kredity ZS LS
NOFY003 Teoretická mechanika   7 3/2 Z+Zk
NMNM332 Analýza maticových výpočtů 2   5 2/2 Z+Zk
NMNM336 Úvod do metody konečných prvků   5 2/2 Z+Zk

Doporučený průběh studia

1. rok studia

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA101 Matematická analýza 1   10 4/4 Z+Zk
NMAG101 Lineární algebra a geometrie 1   8 4/2 Z+Zk
NMIN101 Programování 1   5 2/2 Z
NMIN105 Diskrétní matematika   5 2/2 Z+Zk
NTVY014 Tělesná výchova I   1 0/2 Z
NJAZ070 Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé I   1 0/2 Z
NMMA102 Matematická analýza 2   10 4/4 Z+Zk
NMAG102 Lineární algebra a geometrie 2   8 4/2 Z+Zk
NMIN102 Programování 2   5 2/2 Z+Zk
NTVY015 Tělesná výchova II   1 0/2 Z
NJAZ072 Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé II   1 0/2 Z
  Volitelné předměty   5    

Doporučené volitelné předměty

Studentům, kteří si na začátku studia chtějí procvičit a zdokonalit základní matematické dovednosti potřebné ke studiu, doporučujeme předměty NMUM161 a NMUM162.

kód Předmět Kredity ZS LS
NMUM161 Matematický proseminář I   2 0/2 Z
NMUM162 Matematický proseminář II   2 0/2 Z
NMFY160 Fyzika pro matematiky 1   5 2/2 Z+Zk
NMSA160 Pravděpodobnostní a statistické problémy   5 2/2 Z+Zk
NMAG162 Úvod do matematické logiky   3 2/0 Zk
NMAG166 Ukázky aplikací matematiky   3 2/0 Zk
NMIN160 Teorie množin   3 2/0 Zk
NMAG160 Proseminář z teorie čísel   2 0/2 Z
NMAG164 Variace na invarianci   2 0/2 Z

2. rok studia

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA201 Matematická analýza 3   8 4/2 Z+Zk
NMMA203 Teorie míry a integrálu   8 4/2 Z+Zk
NMNM201 Základy numerické matematiky   8 4/2 Z+Zk
NMAG201 Algebra 1   4 2/1 Z+Zk
NTVY016 Tělesná výchova III   1 0/2 Z
NJAZ074 Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé III   1 0/2 Z
NMMA202 Matematická analýza 4   8 4/2 Z+Zk
NMSA202 Pravděpodobnost a matematická statistika   8 4/2 Z+Zk
NMAG202 Algebra 2   4 2/1 Z+Zk
NMAG204 Geometrie   4 2/1 Z+Zk
NTVY017 Tělesná výchova IV   1 0/2 Z
NJAZ090 Anglický jazyk pro středně pokročilé a pokročilé IV   1 0/2 Z
NJAZ091 Anglický jazyk   1 0/0 Zk
  Povinně volitelné a volitelné předměty   3    

Doporučené volitelné předměty pro 2. ročník

kód Předmět Kredity ZS LS
NMFY261 Fyzika pro matematiky 2   5 2/2 Z+Zk
NMAG262 Konvexní tělesa   3 2/0 Zk
NMMB208 Konečná tělesa   3 2/0 Zk
NMFM260 Ekonomie   5 2/2 Z+Zk
NMMB206 Teorie čísel a RSA   5 2/2 Z+Zk
NMSA260 Principy statistického uvažování   2 0/2 Z
NMAG261 Proseminář z algebry   2 0/2 Z

Rozšiřující výuka programování

Pro zájemce o informatiku, výpočetní techniku a programování nabízíme následující volitelné kursy zaměřené na aspekty informatiky užitečné pro matematiky.

kód Předmět Kredity ZS LS
NMIN201 Objektově orientované programování   5 2/2 Z+Zk
NMIN203 Mathematica pro začátečníky   2 0/2 Z 0/2 Z
NMIN263 Principy počítačů a operační systémy   3 2/0 Zk
NMIN264 Mathematica pro pokročilé   2 0/2 Z
NMIN266 Aplikace a využití počítačů v matematice   2 0/2 Z

3. rok studia

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA301 Úvod do komplexní analýzy   5 2/2 Z+Zk
  Povinně volitelné předměty   46    
  Volitelné předměty   9    

Povinně volitelné předměty pro 3. ročník, zaměření Stochastika

kód Předmět Kredity ZS LS
NMSA230 Softwarové prostředky pro matematiku a stochastiku   1 0/1 Z
NMSA331 Matematická statistika 1 + 8 4/2 Z+Zk
NMSA333 Teorie pravděpodobnosti 1 + 8 4/2 Z+Zk
NMFM331 Matematika ve financích   5 2/2 Z+Zk
NMNM331 Analýza maticových výpočtů 1   5 2/2 Z+Zk
NMMA342 Vybrané partie z funkcionální analýzy + 5 2/2 Z+Zk
NMSA332 Matematická statistika 2 + 5 2/2 Z+Zk
NMSA334 Náhodné procesy 1 + 8 4/2 Z+Zk
NMSA336 Úvod do optimalizace + 4 2/1 Z+Zk
NMSA349 Bakalářské konzultace: Stochastika   6 0/4 Z

+Předmět je vyžadován jako prerekvizita NMSA349.

Studentům, kteří se připravují na navazující magisterské studium oboru "Finanční a pojistná matematika", důrazně doporučujeme absolvovat předmět NMFM331 Matematika ve financích.

Předmět NMSA336 Úvod do optimalizace je možné zapsat už ve 2. ročníku.

Povinně volitelné předměty pro 3. ročník, zaměření Matematické struktury

kód Předmět Kredity ZS LS
NMAG301 Komutativní okruhy   6 3/1 Z+Zk
NMAG331 Matematická logika   3 2/0 Zk
NMAG333 Okruhy a moduly   5 2/2 Z+Zk
NMAG335 Úvod do analýzy na varietách   5 2/2 Z+Zk
NMAG337 Úvod do teorie grup   5 2/2 Z+Zk
NPGR002 Digitální zpracování obrazu   5 3/0 Zk
NMNM331 Analýza maticových výpočtů 1   5 2/2 Z+Zk
NMMB434 Geometrické modelování   6 2/2 Z+Zk
NMAG302 Algebraické křivky   5 2/2 Z+Zk
NMAG332 Topologie a teorie kategorií   6 3/1 Z+Zk
NMAG334 Úvod do teorie Lieových grup   5 2/2 Z+Zk
NMIN331 Základy kombinatoriky a teorie grafů   5 2/2 Z+Zk
NMAG349 Bakalářské konzultace: Matematické struktury   6 0/4 Z

Povinně volitelné předměty pro 3. ročník, zaměření Matematická analýza

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA331 Úvod do funkcionální analýzy + 8 4/2 Z+Zk
NMMA333 Obyčejné diferenciální rovnice + 5 2/2 Z+Zk
NMMA335 Obecná topologie 1   5 2/2 Z+Zk
NMMA337 Seminář z teorie reálných funkcí 1   2 0/2 Z
NMAG335 Úvod do analýzy na varietách   5 2/2 Z+Zk
NMAG331 Matematická logika   3 2/0 Zk
NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic + 10 4/4 Z+Zk
NMMA338 Komplexní analýza 1 + 5 2/2 Z+Zk
NMMA340 Seminář z teorie reálných funkcí 2   2 0/2 Z
NMMA349 Bakalářské konzultace: Matematická analýza   6 0/4 Z

+Předmět je vyžadován jako prerekvizita NMMA349.

Povinně volitelné předměty pro 3. ročník, zaměření Numerická analýza a matematické modelování

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA331 Úvod do funkcionální analýzy + 8 4/2 Z+Zk
NMMA333 Obyčejné diferenciální rovnice + 5 2/2 Z+Zk
NMNM331 Analýza maticových výpočtů 1 + 5 2/2 Z+Zk
NOFY003 Teoretická mechanika   7 3/2 Z+Zk
NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic + 10 4/4 Z+Zk
NMNM334 Úvod do matematického modelování + 5 3/0 Zk
NMNM332 Analýza maticových výpočtů 2   5 2/2 Z+Zk
NMNM336 Úvod do metody konečných prvků   5 2/2 Z+Zk
NMNM349 Bakalářské konzultace: Modelování a numerická analýza   6 0/4 Z

+Předmět je vyžadován jako prerekvizita NMNM349.

Vyjímečný povinně volitelný kurs

Hostující profesor Hans Georg Feichtinger (Universita Wien) pronese v zimním semestru 2018/19 přednášku podporovanou Evropskými strukturálními a investičními fondy v rámci Operačního programu Výzkum, vývoj a vzdělávání. V tomto akademickém roce ji zařadíme mezi povinně volitelné kursy oboru "Obecná matematika".

kód Předmět Kredity ZS LS
NMAG359 From Linear Algebra to Fourier Analysis   3 2/0 Zk

Doporučené volitelné předměty pro 3. ročník

kód Předmět Kredity ZS LS
NMMA361 Metrické struktury   3 2/0 Zk
NMMA363 Topologie kontinua   3 2/0 Zk
NMMA465 Řešitelský seminář   3 0/2 Z 0/2 Z
NMAG363 Studentský algebraický seminář   2 0/2 Z 0/2 Z
NMNV361 Fraktály a chaotická dynamika   3 2/0 Zk
NMAT362 Referativní seminář k bakalářské práci   4 0/2 Z

Referativní seminář k bakalářské práci

V posledním semestru bakalářského studia doporučujeme absolvování "Referativního semináře k bakalářské práci". V tomto semináři se studenti nejdříve seznámí se základy sazby matematických textů pomocí programu LaTeX a zásady prezentace matematických výsledků. Poté si je sami vyzkoušejí na referátech o jejich bakalářských pracích.

Rozšiřující výuka programování

Ve 3. roce studia je možné si zapsat například následující předměty jako volitelné pro obor Obecná matematika.

kód Předmět Kredity ZS LS
NMIN364 Vybrané aspekty operačního systému UNIX   2 2/0 Z
NMMB303 Datové a procesní modely   5 2/2 Z+Zk
NMSA230 Softwarové prostředky pro matematiku a stochastiku   1 0/1 Z
NPFL054 Úvod do strojového učení   5 2/2 Z+Zk
NTIN090 Základy složitosti a vyčíslitelnosti   5 2/1 Z+Zk

Shrnutí studijního plánu

Povinné předměty

kód Předmět Kredity ZS LS
NMAG101 Lineární algebra a geometrie 1   8 4/2 Z+Zk
NMAG102 Lineární algebra a geometrie 2   8 4/2 Z+Zk
NMAG201 Algebra 1   4 2/1 Z+Zk
NMAG202 Algebra 2   4 2/1 Z+Zk
NMAG204 Geometrie   4 2/1 Z+Zk
NMIN101 Programování 1   5 2/2 Z
NMIN102 Programování 2   5 2/2 Z+Zk
NMIN105 Diskrétní matematika   5 2/2 Z+Zk
NMMA101 Matematická analýza 1   10 4/4 Z+Zk
NMMA102 Matematická analýza 2   10 4/4 Z+Zk
NMMA201 Matematická analýza 3   8 4/2 Z+Zk
NMMA202 Matematická analýza 4   8 4/2 Z+Zk
NMMA203 Teorie míry a integrálu   8 4/2 Z+Zk
NMMA301 Úvod do komplexní analýzy   5 2/2 Z+Zk
NMNM201 Základy numerické matematiky   8 4/2 Z+Zk
NMSA202 Pravděpodobnost a matematická statistika   8 4/2 Z+Zk
NJAZ091 Anglický jazyk   1 0/0 Zk
NTVY014 Tělesná výchova I   1 0/2 Z
NTVY015 Tělesná výchova II   1 0/2 Z
NTVY016 Tělesná výchova III   1 0/2 Z
NTVY017 Tělesná výchova IV   1 0/2 Z

Povinně volitelné předměty

Skupina I.

Z této skupiny je třeba získat alespoň 6 kreditů. V závorce jsou uvedena zaměření, pro něž je předmět doporučen.

kód Předmět Kredity ZS LS
NMAG349 Bakalářské konzultace: Matematické struktury (STR) 6 0/4 Z
NMMA349 Bakalářské konzultace: Matematická analýza (AN) 6 0/4 Z
NMNM349 Bakalářské konzultace: Modelování a numerická analýza (NM) 6 0/4 Z
NMSA349 Bakalářské konzultace: Stochastika (STOCH) 6 0/4 Z

Skupina II.

Z této skupiny je třeba získat alespoň 40 kreditů. V závorce jsou uvedena zaměření, pro něž je předmět doporučen.

kód Předmět Kredity ZS LS
NMAG359 From Linear Algebra to Fourier Analysis (vše)* 3 2/0 Zk
NMAG301 Komutativní okruhy (STR) 6 3/1 Z+Zk
NMAG302 Algebraické křivky (STR) 5 2/2 Z+Zk
NMAG331 Matematická logika (STR,AN) 3 2/0 Zk
NMAG332 Topologie a teorie kategorií (STR) 6 3/1 Z+Zk
NMAG333 Okruhy a moduly (STR) 5 2/2 Z+Zk
NMAG334 Úvod do teorie Lieových grup (STR) 5 2/2 Z+Zk
NMAG335 Úvod do analýzy na varietách (STR,AN) 5 2/2 Z+Zk
NMAG337 Úvod do teorie grup (STR) 5 2/2 Z+Zk
NPGR002 Digitální zpracování obrazu (STR) 5 3/0 Zk
NMMB206 Teorie čísel a RSA   5 2/2 Z+Zk
NMMB304 Samoopravné kódy   6 3/1 Z+Zk
NMMB307 Teoretická kryptografie I   3 2/0 Zk
NMMB308 Teoretická kryptografie II   3 2/0 Zk
NMMB434 Geometrické modelování (STR) 6 2/2 Z+Zk
NMFM331 Matematika ve financích (STOCH) 5 2/2 Z+Zk
NMIN331 Základy kombinatoriky a teorie grafů (STR) 5 2/2 Z+Zk
NMMA331 Úvod do funkcionální analýzy (AN,NM) 8 4/2 Z+Zk
NMMA333 Obyčejné diferenciální rovnice (AN,NM) 5 2/2 Z+Zk
NMMA334 Úvod do parciálních diferenciálních rovnic (AN,NM) 10 4/4 Z+Zk
NMMA335 Obecná topologie 1 (AN) 5 2/2 Z+Zk
NMMA337 Seminář z teorie reálných funkcí 1 (AN) 2 0/2 Z
NMMA338 Komplexní analýza 1 (AN) 5 2/2 Z+Zk
NMMA340 Seminář z teorie reálných funkcí 2 (AN) 2 0/2 Z
NMMA342 Vybrané partie z funkcionální analýzy (STOCH) 5 2/2 Z+Zk
NMNM331 Analýza maticových výpočtů 1 (STOCH,STR,NM) 5 2/2 Z+Zk
NMNM332 Analýza maticových výpočtů 2 (NM) 5 2/2 Z+Zk
NMNM334 Úvod do matematického modelování (NM) 5 3/0 Zk
NMNM336 Úvod do metody konečných prvků (NM) 5 2/2 Z+Zk
NMSA230 Softwarové prostředky pro matematiku a stochastiku (STOCH) 1 0/1 Z
NMSA331 Matematická statistika 1 (STOCH) 8 4/2 Z+Zk
NMSA332 Matematická statistika 2 (STOCH) 5 2/2 Z+Zk
NMSA333 Teorie pravděpodobnosti 1 (STOCH) 8 4/2 Z+Zk
NMSA334 Náhodné procesy 1 (STOCH) 8 4/2 Z+Zk
NMSA336 Úvod do optimalizace (STOCH) 4 2/1 Z+Zk
NOFY003 Teoretická mechanika (NM) 7 3/2 Z+Zk

* Tato přednáška se koná pouze jednou v akademickém roce 2018/19.

Státní závěrečná zkouška

Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce

 Získání alespoň 180 kreditů.
 Splnění všech povinných předmětů studijního plánu.
 Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny I v rozsahu alespoň 6 kreditů.
 Splnění povinně volitelných předmětů ze skupiny II v rozsahu alespoň 40 kreditů.
 Odevzdání vypracované bakalářské práce ve stanoveném termínu.

Ústní část státní závěrečné zkoušky

Zkouška má přehledový charakter. Žádá se, aby posluchač prokázal pochopení základních pojmů, principů a výsledků, byl schopen je ilustrovat na příkladech a předvedl určitou míru syntézy.

Ústní část státní závěrečné zkoušky se skládá ze tří tématických okruhů, z každého dostane student jednu otázku. Dva okruhy (Základy matematické analýzy, Lineární a obecná algebra) jsou povinné, třetí okruh je volitelný. Student si může vybrat třetí okruh z možností:

 Stochastika
 Matematické struktury
 Matematická analýza
 Matematické modelování a numerická analýza

 

Požadavky pro ústní část státní závěrečné zkoušky

1. Základy matematické analýzy

1. Posloupnosti a řady čísel a funkcí
Limity posloupností a součty řad. Kritéria absolutní a neabsolutní konvergence číselných řad. Stejnoměrná konvergence posloupností a řad funkcí. Mocninné řady.

2. Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a derivace funkcí jedné reálné proměnné. Hlubší věty o spojitých funkcích. Věty o střední hodnotě a jejich důsledky. Vztahy monotonie a znaménka derivace. Konvexita. Taylorův polynom, Taylorovy řady.

3. Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné
Primitivní funkce, určitý integrál. Základní vlastnosti, vztah primitivní funkci. Metody výpočtu. Základní kritéria existence.

4. Funkce více proměnných
Diferenciál a parciální derivace. Implicitní funkce. Volné a vázané extrémy funkcí více proměnných. Nutné a postačující podmínky pro volné extrémy, nutné podmínky pro vázané extrémy.

5. Obyčejné diferenciální rovnice
Věta o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy. Jednoduché rovnice prvního řádu a lineární rovnice vyššího řádu s konstantními koeficienty.

2. Lineární a obecná algebra

1. Matice a determinanty, soustavy lineárních rovnic 
Základní pojmy a operace s maticemi a jejich vlastnosti. Hodnost matice. Soustavy lineárních rovnic, Gaussova eliminace, podmínky řešitelnosti. Determinanty a metody jejich výpočtu.

2. Vektorové prostory
Pojem vektorového prostoru, lineární nezávislost, lineární obal, báze a dimenze. Steinitzova věta o výměně. Podprostory a jejich dimenze. Skalární součin, ortogonalizační proces, ortonormální báze. Ortogonální projekce, metoda nejmenších čtverců a pseudoinverze. Diagonalizace a ortogonální diagonalizace. Různé typy rozkladů matic.

3. Lineární a bilineární formy
Lineární, bilineární a kvadratické formy, matice lineárních zobrazení, vlastní čísla lineárních zobrazení a matic, charakteristický polynom. Polární báze a zákon setrvačnosti pro kvadratické formy. Matice jednoduchých geometrických zobrazení.

4. Základy teorie grup a komutativních okruhů
Základní vlastnosti grup. Působení grupy na množině. Dělitelnost v Eukleidových oborech, rozšířený Eukleidův algoritmus, existence a jednoznačnost ireducibilních rozkladů. Kořenová a rozkladová nadtělesa, minimální polynom a stupeň rozšíření těles.

3A. Stochastika

Podrobnější rozpis požadavků pro tento státnicový okruh je uveden na stráncehttp://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/bc_szz_ustni.shtml.

1. Základy teorie pravděpodobnosti
Pravděpodobnostní prostor, podmíněná pravděpodobnost, Bayesova věta, nezávislost systému náhodných jevů, 0-1 zákony. Náhodná veličina, náhodný vektor a jejich rozdělení, charakteristiky (střední hodnota, rozptyl, varianční matice, korelace atd.). Charakteristická funkce a její použití, nezávislost náhodných veličin a vektorů, základní jedno- i mnohorozměrná diskrétní a spojitá rozdělení. Transformace náhodné veličiny a náhodného vektoru. Podmíněné rozdělení a podmíněná střední hodnota. Typy konvergence náhodných veličin a vztahy mezi nimi, Čebyševova nerovnost, slabý a silný zákon velkých čísel, centrální limitní věta pro součet nezávislých stejně rozdělených náhodných veličin. Cramérova-Sluckého věta.

2. Základy matematické statistiky
Náhodný výběr, uspořádaný náhodný výběr. Bodové a intervalové odhady, nestrannost a konsistence odhadů. Empirická distribuční funkce. Principy testování hypotéz, Neymanovo-Pearsonovo lemma. Fisherova informace, Rao-Cramérova věta, odhady metodou maximální věrohodnosti, asymptotické testy založené na maximální věrohodnosti. Jednovýběrový, dvouvýběrový, párový t-test. Jednovýběrové a dvouvýběrové testy pro vybrané parametrické problémy, test dobré shody na multinomické rozdělení, testy nezávislosti v dvourozměrných kontingenčních tabulkách.

3B. Matematické struktury

Otázka z této části bude přizpůsobena tomu, jaké povinně volitelné předměty student během studia absolvoval. Upřesnění je na webové stránce garanta programu Matematika http://garant.karlin.mff.cuni.cz/stud/bc_szz_ustni.shtml.

1. Sférická a hyperbolická geometrie, první a druhá fundamentální forma plochy, Riemannova metrika, Gaussova křivost, geodetiky, Gauss-Bonnetova věta.
2. Teorie grup; semidirektní součin, řešitelné a nilpotentní grupy, Sylowovy věty, Jordan-Hölderova věta. Struktura konečně generovaných Abelových grup.
3. Artinovské a noetherovské okruhy, jejich vztahy. Volné, projektivní a injektivní moduly. Krullova-Schmidtova věta.
4. Gaussovy obory. Hilbertova věta o bázi. Charakterizace celistvého prvku. Algebraický uzávěr. Hlavní věta Galoisovy teorie.
5. Jazyk a struktura prvního řádu. Tarského definice splňování, výroková logika a logika prvního řádu, neúplnost, nerozhodnutelnost.
6. Afinní a projektivní variety, souřadnicové okruhy, Bezoutova věta.
7. Funkce komplexní proměnné, derivace v komplexním oboru. Cauchyova věta, Cauchyův vzorec a jejich důsledky, Laurentovy řady, klasifikace isolovaných singularit, residuová věta.

3C. Matematická analýza

1. Lebesgueův integrál: definice a základní vlastnosti, věty o limitních přechodech (Léviho a Lebesgueova věta), Fubiniova věta a věta o substituci.
2. Banachovy a Hilbertovy prostory: norma a skalární součin, spojitá lineární zobrazení.
3. Hilbertovy prostory: ortonormální systémy a ortonormální báze, Besselova nerovnost a Parsevalova rovnost, Fourierovy řady v Hilbertově prostoru, nejbližší body v Hilbertově prostoru.
4. Fourierovy řady: definice, Riemannovo-Lebesgueovo lemma, Jordanovo-Dirichletovo kritérium, Fejérova věta.
5. Funkce komplexní proměnné: derivace podle komplexní proměnné, Cauchyovy-Riemannovy podmínky, Cauchyova věta a Cauchyův vzorec a jejich důsledky (rozvoj v mocninnou řadu, věta o jednoznačnosti), reziduová věta.

3D. Matematické modelování a numerická analýza

1.Základy teorie Lebesgueova integrálu: zavedení Lebesgueovy míry a Lebesgueova integrálu, vztah mezi Lebesgueovým a Riemannovým integrálem, Léviho a Lebesgueova věta, derivace Lebesgueova integrálu podle parametru.
2.Základy numerické matematiky: aproximace funkcí pomocí interpolačních polynomů a kubických splinů, metody numerické integrace, numerické řešení nelineárních algebraických rovnic a jejich soustav, metody pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic (řád metody, stabilita, konvergence), Gaussova eliminace a její souvislost s LU a Choleského rozklady, QR rozklad a singulární rozklad, problém nejmenších čtverců, Schurova věta.
3.Základní maticové iterační metody: Arnoldiho a Lanczosova metoda pro řešení částečného problému vlastních čísel, stacionární iterační metody, metoda sdružených gradientů a zobecněná metoda minimálních reziduí pro řešení soustav lineárních algebraických rovnic.
4.Funkcionální analýza: Hilbertovy prostory, ortonormální systémy v Hilbertových prostorech, Rieszova věta o reprezentaci spojitého lineárního funkcionálu na Hilbertově prostoru, Fourierova transformace (transformace derivace a konvoluce, Parsevalova věta, inverze), kompaktní operátor a jeho spektrum.
5.Klasická teorie parciálních diferenciálních rovnic: metoda charakteristik pro transportní rovnici, Cauchyova a smíšená úloha pro rovnici vedení tepla a vlnovou rovnici, okrajová úloha pro Poissonovu rovnici, věta o třech potenciálech, princip maxima pro eliptické a parabolické rovnice druhého řádu.
6.Metoda konečných diferencí pro parciální diferenciální rovnice: aplikace na transportní rovnici, rovnici vedení tepla a Poissonovu rovnici, von Neumannova analýza stability, princip maxima, konvergence.
7.Základy teorie funkcí komplexní proměnné: Cauchyovy-Riemannovy podmínky, holomorfní funkce, mocninné řady, Cauchyova věta, reziduová věta.
8.Matematické modelování ve fyzice kontinua: fyzikální zákony zachování hmoty, hybnosti a energie a jejich formulace ve tvaru parciálních diferenciálních rovnic, nevazké proudění, Bernoulliho rovnice, základní rovnice teorie pružnosti.