Matematické a počítačové modelování ve fyzice

Garantující pracoviště: Ústav teoretické fyziky
Oborový garant: doc. RNDr. Martin Čížek, PhD.

Charakteristika studijního oboru:
Studijní obor Matematické a počítačové modelování ve fyzice je mezioborovým studiem, které spojuje matematiku a fyziku. Ve společném základu si studenti prohlubují znalosti z moderních partií matematiky s důrazem na diferenciální rovnice a numerické metody. V oblasti fyzikálních disciplín si vyberou jeden směr užšího zaměření, v němž získají hlubší znalosti a složí příslušnou část státní závěrečné zkoušky. Fyzikální předměty jsou přednášeny odborníky z řad fyziků, matematické předměty jsou pak prezentovány specialisty z řad matematiků. Studijní obor je svou náplní obdobný oboru "Matematické modelování ve fyzice a technice" studijního programu Matematika, liší se ale tím, že absolventi bakalářského studia vstupují do magisterského studia s hlubším základem z fyziky a naopak si více doplňují svůj matematický rozhled. Znalosti z fyziky si pak prohlubují především v jednom zvoleném směru užšího zaměření.

Profil absolventa studijního oboru a cíle studia:
Absolvent oboru má dobrý přehled v matematické analýze parciálních diferenciálních rovnic, ve funkcionální analýze a v numerických metodách, a to jak pro problémy modelování kontinua, tak pro diskrétní systémy a je připraven si své znalosti okamžitě prohloubit studiem specializovaných prací. Absolvent si umí klást otázky ohledně fyzikální podstaty přírodních jevů a umí navrhnout a vybrat vhodný matematický model, provést jeho matematickou analýzu a následně za použití odpovídajících metod provést numerické simulace. Je schopen posoudit kvalitu výsledné simulace, a to jak z hlediska aplikovatelnosti zvoleného matematického modelu na daný jev, tak z hlediska analýzy chyb vzniklých při numerickém řešení matematického modelu. Absolvent je seznámen s konkrétní aplikací matematických a numerických modelů ve zvolené oblasti moderní fyziky, dle užšího zaměření. Je připraven pracovat v mezioborových týmech a dokáže formulovat aplikačně zajímavé otázky ve formě přístupné rigoróznímu matematickému zkoumání a umí naopak použít abstraktní matematické výsledky ke studiu praktických problémů. Absolventi oboru jsou připraveni se uplatnit při řešení matematických a numerických modelů fyzikálních systémů, jak v akademické tak i v komerční sféře u nás i v zahraničí.

Doporučený průběh studia

Předpokladem úspěšného magisterského studia tohoto oboru je získání základních znalostí na úrovni následujících předmětů:

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NTMF066	Kvantová mechanika I	1	9	4/2 Z+Zk	—
NMNM201	Základy numerické matematiky		8	4/2 Z+Zk	—
NMMA334	Úvod do parciálních diferenciálních rovnic		10	—	4/4 Z+Zk

¹ Pro zájemce o zaměření Mnohočásticové systémy, Kvantové systémy a Částicová fyzika. Místo této přednášky lze také zapsat NJSF094 (Kvantová mechanika I) nebo NBCM110 (Kvantová teorie I).

Tyto předměty se obvykle zapisují ve třetím roce bakalářského studia programu Fyzika jako povinně volitelné. Pokud posluchač tyto nebo jim ekvivalentní předměty neabsolvoval, měl by si je ve vlastním zájmu zapsat jako volitelné v prvním roce navazujícího magisterského studia. Obsah uvedených předmětů je součástí společných požadavků státní závěrečné zkoušky.

1. rok magisterského studia

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NMMA931	Úvod do funkcionální analýzy (O)		8	4/2 Z+Zk	—
NMMA405	Parciální diferenciální rovnice 1		6	3/1 Z+Zk	—
NMNM931	Analýza maticových výpočtů 1 (M)		5	2/2 Z+Zk	—
NMNV405	Metoda konečných prvků 1		5	2/2 Z+Zk	—
NMNV539	Numerické řešení ODR		5	2/2 Z+Zk	—
NTMF021	Simulace ve fyzice mnoha částic		6	3/1 Z+Zk	—
NMMA406	Parciální diferenciální rovnice 2		6	—	3/1 Z+Zk
NSZZ023	Diplomová práce I		6	—	0/4 Z

2. rok magisterského studia

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NMNV407	Maticové iterační metody 1		6	4/0 Zk	—
NSZZ024	Diplomová práce II		9	0/6 Z	—
NSZZ025	Diplomová práce III		15	—	0/10 Z

Povinně volitelné předměty

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
Mechanika kontinua
NMMO401	Mechanika kontinua		6	2/2 Z+Zk	—
NMMO541	Teorie směsí		4	2/1 Z+Zk	—
NMMO402	Termodynamika a mechanika nenewtonovských tekutin		5	—	2/1 Z+Zk
NMMO404	Termodynamika a mechanika pevných látek		5	—	2/1 Z+Zk
NMMO403	Počítačové řešení úloh fyziky kontinua		5	—	2/2 Z+Zk
NMNV402	Nelineární funkcionální analýza		5	—	2/2 Z+Zk
NMNV536	Numerické řešení evolučních rovnic		3	—	2/0 Zk
NMNV501	Řešení nelineárních algebraických rovnic		5	2/2 Z+Zk	—
Mnohočásticové systémy
NMAI061	Metody matematické statistiky		5	—	2/1 Z+Zk
NTMF024	Pokročilé simulace ve fyzice mnoha částic		3	—	2/0 Zk
NEVF156	Počítačové modelování ve fyzice plazmatu I		3	2/0 Zk	—
NEVF157	Počítačové modelování ve fyzice plazmatu II		3	—	1/1 KZ
NBCM316	Počítačové modelování biomolekul		4	—	1/2 Z+Zk
NTMF044	Termodynamika a statistická fyzika II		7	—	3/2 Z+Zk
Kvantové systémy
NBCM039	Kvantová teorie molekul		7	—	3/2 Z+Zk
NTMF030	Kvantová teorie rozptylu		6	3/1 Z+Zk	—
NTMF130	Teorie srážek atomů a molekul		6	—	3/1 Z+Zk
NTMF061	Teorie grup a její aplikace ve fyzice		6	2/2 Z+Zk	—
NTMF067	Kvantová mechanika II	1	9	—	4/2 Z+Zk
Relativistická fyzika
NTMF111	Obecná teorie relativity		4	—	3/0 Zk
NTMF059	Geometrické metody teoretické fyziky I		6	2/2 Z+Zk	—
NTMF037	Relativistická fyzika I		9	4/2 Z+Zk	—
NTMF107	Základy numerického studia prostoročasů		4	3/0 Zk	—
NTMF060	Geometrické metody teoretické fyziky II		4	—	3/0 Zk
NMAG335	Úvod do analýzy na varietách		5	2/2 Z+Zk	—
Částicová fyzika
NJSF105	Fyzika elementárních částic		7	3/2 Z+Zk	—
NJSF085	Základy teorie elektroslabých interakcí		6	—	2/2 Z+Zk
NJSF086	Kvarky, partony a kvantová chromodynamika		6	—	2/2 Z+Zk
NJSF134	Částice a pole I		5	2/2 Zk	—
NJSF082	Vybrané partie teorie kvantovaných polí I		4	3/0 Zk	—
NJSF081	Software a zpracování dat ve fyzice částic I		3	—	1/1 Zk
NJSF109	Software a zpracování dat ve fyzice částic II		4	2/1 Zk	—
NJSF138	Neuronové sítě v částicové fyzice		4	2/1 Zk	—
Další povinně volitelné předměty
NMMA401	Funkcionální analýza 1		8	4/2 Z+Zk	—
NMMA407	Obyčejné diferenciální rovnice 2		5	2/2 Z+Zk	—
NMMA531	Parciální diferenciální rovnice 3		4	2/0 Zk	—
NJSF132	Teorie nanoskopických systémů I		3	2/0 Zk	—
NEVF160	Moderní počítačová fyzika I		5	2/1 KZ	—
NEVF161	Moderní počítačová fyzika II		5	—	2/1 KZ
NJSF143	Statistické metody ve fyzice vysokých energií		3	2/0 Zk	—

¹ Místo této přednášky lze zapsat NJSF095 (Kvantová mechanika II) nebo NBCM111 (Kvantová teorie II).

Doporučené volitelné předměty

kód	Předmět		Kredity	ZS	LS
NMNV532	Paralelní maticové výpočty		5	—	2/2 Z+Zk
NMMO461	Seminář z mechaniky kontinua		3	—	0/2 Z
NMMO564	Vybrané problémy matematického modelování		3	—	0/2 Z

Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce

– získání alespoň 120 kreditů

– splnění všech povinných předmětů zvoleného oboru

– splnění povinně volitelných předmětů zvoleného oboru v rozsahu alespoň 30 kreditů

– odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu

Předmět lze splnit jeho úspěšným absolvováním či uznáním z předchozího studia.

Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky

A. Společné požadavky

1. Parciální diferenciální rovnice

Sobolevovy prostory
Slabá derivace, definice a základní vlastnosti Sobolevových prostorů W^k,p — reflexivita, separabilita, hustota hladkých funkcí, operátor prodloužení pro W^1,p-funkce a lipschitzovskou hranici. Věty o spojitém a kompaktním vnoření Sobolevových prostorů do Lebesgueových a Hölderových prostorů. Zavedení stop pro funkce ze Sobolevových prostorů, věta o stopách, inverzní věta o stopách.

Slabá řešení pro lineární eliptické rovnice na omezené oblasti
Formulace slabé úlohy pro lineární eliptickou rovnici s různými okrajovými podmínkami, řešení pomocí Rieszovy věty o reprezentaci (symetrický operátor), pomocí Lax-Milgramova lematu respektive Galerkinovou metodou. Kompaktnost řešícího operátoru, vlastní vektory a vlastní čísla řešícího operátoru. Fredholmova alternativa a její aplikace. Princip maxima pro slabé řešení. W^2,2 regularita pomocí techniky diferencí. Samoadjungovaný operátor: ekvivalence úlohy s minimalizací kvadratického funkcionálu.

Slabá řešení pro nelineární eliptické rovnice na omezené oblasti
Úvod do variačního počtu, základní věta variačního počtu, duální formulace, souvislost s konvexitou. Existence a jednoznačnost řešení nelineárních úloh pomocí věty o pevném bodu (nelineární Lax-Milgram pro dvojkovou strukturu). Existence řešení pomocí Galerkinovy metody a Mintyho metody — monotónní operátor a semilineární člen.

Lineární parabolické rovnice 2. řádu
Bochnerovy prostory a jejich základní vlastnosti, Gelfandova trojice, Aubin-Lionsova věta. Slabá formulace, nabývání počáteční podmínky, existence řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost a regularita řešení (časová a prostorová), zhlazující vlastnost, princip maxima.

Lineární hyperbolické rovnice 2. řádu
Slabá formulace hyperbolického problému, nabývání počátečních podmínek, existence řešení pomocí Galerkinovy aproximace, jednoznačnost, regularita řešení (časová a prostorová), konečná rychlost šíření signálu.

2. Numerická matematika

Metoda konečných prvků pro řešení eliptických rovnic
Galerkinova a Ritzova metoda pro řešení abstraktní lineární eliptické rovnice. Odhad diskretizační chyby této metody — Céovo lemma. Definice abstraktního konečného prvku, jednoduché příklady konečných prvků Lagrangeova a Hermiteova typu. Teorie aproximací v Sobolevových prostorech: aproximační vlastnosti operátorů zachovávajících polynomy. Aplikace těchto výsledků pro prvky Lagrangeova a Hermiteova typu. Odvození řádu konvergence přibližných řešení konkrétních eliptických úloh 2. řádu. Odhad řádu konvergence v L² normě — Nitscheho lemma. Základy numerické integrace v metodě konečných prvků.

Metody pro řešení soustav algebraických rovnic a výpočet vlastních čísel
Spektrální rozklad operátorů a matic. Invariantní podprostory a spektrální informace, normalita. Srovnání přímých a iteračních metod pro řešení lineárních algebraických soustav. Projekční proces a problém momentů. Popis konvergence iteračních metod. Souvislost mezi iteračními metodami pro řešení soustav rovnic a metodani pro výpočet vlastních čísel. Srovnání metod pro řešení lineárních a nelineárních soustav algebraických rovnic. Numerická stabilita výpočtů a popis algebraické chyby v souvislosti s řešením problémů matematického modelování.

3. Funkcionální analýza

Hilbertovy a Banachovy prostory
Definice, norma, skalární součin, příklady Banachových prostorů. Lineární funkcionály, Hahn-Banachova věta. Duální prostory, reprezentace některých duálů (Hilbertovy prostory, Lebesgueovy prostory). Rieszova věta o reprezentaci. Slabá a *-slabá konvergence. Banach-Alaogluova věta. Slabá kompaktnost a reflexivita.

Spojitá lineární zobrazení
Definice, základní vlastnosti, norma, prostor lineárních zobrazení, adjungované zobrazení. Základní vlastnosti spektra a spektrálního poloměru, Gelfandova-Mazurova věta. Kompaktní operátory, symetrický operátor, samoadjungovaný operátor, uzávěr operátoru, uzavřený operátor, definice a vlastnosti adjungovaného operátoru. Vlastní čísla a vlastní funkce symetrických eliptických operátorů.

Věty o pevných bodech
Banachova věta, Brouwerova věta, Schauderova věta.

Integrální transformace a základy teorie distribucí
Definice Fourierovy transformace na L¹ a její základní vlastnosti, věta o inverzi, Fourierova transformace konvoluce a derivace, Plancherelova věta. Prostor testovacích funkcí a konvergence v něm, definice distribuce, základní příklady, charakterizace distribuce, řád distribuce, operace s distribucemi (derivování, násobení funkcí), Schwarzův prostor a temperované distribuce, Fourierova transformace funkcí ze Schwarzova prostoru a temperovaných distribucí, její základní vlastnosti. Fourierova transformace na L².

B. Užší zaměření

Student si volí jeden z následujících pěti tematických okruhů odpovídající jeho zaměření.

1. Mechanika kontinua

Kinematika kontinua
Deformace a rychlost deformace čarových, plošných a objemových elementů. Deformační gradient, polární rozklad, pravý a levý Cauchy-Greenův tenzor, Green-Saint-Venantův tenzor. Materiálová a prostorová rychlost, materiálová derivace, proudnice a proudočáry. Podmínky pro materiálové plochy. Lagrangeův a Eulerův popis. Podmínky kompatibility. Věta o reprezentaci izotropních tenzorových funkcí.

Dynamika kontinua
Bilanční rovnice v prostorovém i materiálovém popisu. Integrální tvar bilančních rovnic, princip lokalizace. Cauchyho a první Piola-Kirchhoffův tenzor napětí. Bilanční rovnice v neinerciální vztažné soustavě.

Jednoduché konstitutivní vztahy
Stlačitelná a nestlačitelná Navier-Stokes tekutina, linearizovaná pružnost, okrajové podmínky. Geometrická linearizace.

Nenewtonské tekutiny
Entropie, rychlost produkce entropie. Nestlačitelnost. Předpoklad maximalizace rychlosti produkce entropie a jeho využití. Podrobný přehled nenewtonovských jevů. Objektivní časové derivace. Věta o reprezentaci izotropních tenzorových funkcí. Tekutiny diferenciálního, integrálního a rychlostního typu. Tekutiny mocninného typu, tekutiny s viskozitou závislou na tlaku, tekutiny Binghamova typu.

Pevné látky
Princip objektivity. Elastické materiály v konečné pružnosti, linearizovaná teorie, nestlačitelné materiály v konečné pružnosti i linearizované teorii, chování modelu vzhledem k determinantu gradientu deformace, Piola-Kirchhoffův tenzor napětí v případě hyperelastického materiálu, materiálové modely v konečné pružnosti. Reologické modely, Kelvin-Voigtův materiál, Maxwellův materiál, viskózní materiály s vedením tepla, termoelastický materiál, adiabatický materiál. Clausius-Duhemova nerovnost a její důsledky.

2. Mnohočásticové systémy

Základy statistické fyziky
Statistický popis termodynamiky. Liouvilleova rovnice. Základní statistické soubory, mikrokanonický, kanonický a velký kanonický soubor. Kvantová statistická mechanika. Maxwellovo-Boltzmannovo, Fermiho-Diracovo a Boseovo-Einsteinovo rozdělení. Základní vztahy statistické mechaniky pro simulace (výpočet termodynamických veličin, egodický teorém) a role numerických simulací.

Základy simulace fyzikálních systémů metodou Monte Carlo
Základy metody Monte Carlo (integrace metodou MC, Markovovy řetězce, chyba MC integrace). Realizace Monte Carlo kroku (prosté a prefreční vzorkování, Metropolisova metoda). Metody generování pseudonáhodných čísel. MC simulace diskrétních modelů (Isingův model, práh perkolace). MC simulace jednoduchých modelů kapalin.

Základy molekulární dynamiky
Princip metody molekulární dynamiky. Pohybové rovnice klasického mnohočásticového systému. Interakční potenciály a okrajové podmínky. Simulace v různých statistických souborech —- NVE, NVT, NPT, grandkanonický.

Určování termodynamických a strukturních vlastností ze simulací.
Výpočet měrného tepla a susceptibily pomoci fluktuací. Radiální distribuční funkce.

Pokročilé metody simulace mnoha částic
Fázové přechody a kritické jevy. Fázové a reakční rovnováhy. Simulace procesů růstu. Kvantové simulace. Výpočet kinetických koeficientů. Kinetické Monte Carlo. Určování energetických bariér užitím molekulární statiky. Optimalizační metody.

Základy modelování fyziky plazmatu
Charakteristika a typy plazmatu. Kvazineutralita plazmatu, Debyeova stínící vzdálenost. Teoretický popis plazmatu, kinetický popis, Boltzmannova rovnice, zákony zachování, magnetohydrodynamický popis.

3. Kvantové systémy

Základy kvantové mechaniky
Popis stavů a měřitelných veličin. Operátory, komutační relace. Časový vývoj v kvanové mechanice. Popis měření. Stacionární stavy a integrály pohybu.

Řešitelné systémy
Částice v potenciálové jámě, lineární harmonický oscilátor, coulombické pole.

Moment hybnosti a spin
Definice momentu hybnosti, spektrum a vlastní funkce. Skládání momentů hybnosti, Clebschovy-Gordanovy koeficienty. Vektorové a tenzorové operátory, ireducibilní složky a Wignerova-Eckartova věta.

Základní přibližné metody
Variační metoda a poruchový počet. Systémy mnoha částic: symetrizační postulát, bosony, fermiony, Slaterů determinant, vliv spinu.

Teorie rozptylu
Mollerovy operátory a S-matice. Účinný průřez. Časově nezávislá formulace rozptylu, Lippmannova-Schwingerova rovnice. Póly S-matice a vlastní fáze. Základy mnohokanálové teorie rozptylu.

Základní metody mnohočásticové kvantové fyziky
Metoda středního pole, korelační energie a metody pro její výpočet, druhé kvantování. Základy teorie atomů a molekul: elektronová struktura, vibrační a rotační stavy molekul, použití teorie grup, optické přechody.

Výpočetní metody teorie rozptylu
Rozvoj do parciálních vln. Bornova řada. Variační principy. Teorie R-matice.

4. Relativistická fyzika

Výchozí principy speciální a obecné teorie relativity
Prostoročas, čtyřrozměrný formalismus, transformace souřadnic. Metrika, afinní konexe, kovariantní derivace. Paralelní přenos a rovnice geodetiky. Posun frekvence v gravitačním poli. Lieova derivace a Killingovy vektory, tenzorové hustoty. Integrování na varietách (hustoty, integrální věty). Křivost prostoročasu.

Einsteinův gravitační zákon a jeho důsledky
Tenzor energie a hybnosti, zákony zachování a pohybové rovnice. Einsteinovy rovnice gravitačního pole. Schwarzschildova a Reissnerova-Nordströmova metrika. Kerrova a Kerrova-Newmanova metrika.

Relativistická astrofyzika a kosmologie
Relativistické modely hvězd. Gravitační kolaps a černé díry. Kritické chování gravitačního kolapsu. Relativistická kosmologie, FLRW modely.

Vlastnosti Einsteinových rovnic
Linearizovaná teorie gravitace a rovinné gravitační vlny. Lagrangeovský formalismus v obecné relativitě, zákony zachování. Hamiltonovský formalismus v obecné relativitě, počáteční problém. Konformní rozklad rovnic vazeb, počáteční data. Einsteinovy rovnice jako hyperbolický systém parciálních diferenciálních rovnic.

5. Částicová fyzika

Základní představy a metody kvantové teorie pole
Rovnice relativistické kvantové mechaniky. Kvantování volných polí. Interakce polí, Feynmanovy diagramy.

Klasifikace a vlastnosti elementárních částic
Leptony, hadrony a nositelé interakcí. Spin, parita, nábojová parita, podivnost, izospin. Zákony zachování.

Struktura hadronů
Kvarkový model, barva, partony, distribuční funkce.

Základy standardního modelu elementárních částic
Elektroslabé interakce. Higgsův mechanismus. Kvantová chromodynamika.

Interakce částic s prostředím a metody měření částic v experimentech
Měření energie, hybnosti a doby letu částic. Identifikace částic. Monte Carlo simulace průchodu částic detektorem.

Metody analýzy dat v experimentech fyziky částic
Softwarové nástroje. Výběrová pravidla a multivariační analýza. Neuronové sítě.