Symetrie rovnic matematické fyziky a využití těchto symetrií při řešení rovnic. Hledání obecných diferenciálních rovnic se zadanou symetrií. Obecné zákony zachování pro systém diferenciálních rovnic a jejich souvislost se symetriemi těchto rovnic. Vhodné pro 1. až 2. ročník nejen teoretické fyziky.

Symmetries of equations of mathematical physics and their solution using these symmetries. General differential equations of a given symmetry. General conservation laws for systems of differential equations and their relation to symmetries of these equations.

Písemná zkouška

Bluman G. W., Anco S. C.: Symmetry and Integration Methods for Differential Equations, Springer, New York 2002

Olver P. J.: Applications of Lie Groups to Differential Equations, 2nd Ed, Springer, New York 1993

Stephani H.: Differential Equations, Their Solutions using Symmetries, Cambridge University Press, Cambridge 1989

Bluman G. W., Anco S. C.: Symmetry and Integration Methods for Differential Equations, Springer, New York 2002

Olver P. J.: Applications of Lie Groups to Differential Equations, 2nd Ed, Springer, New York 1993

Stephani H.: Differential Equations, Their Solutions using Symmetries, Cambridge University Press, Cambridge 1989

Zkouška je písemná a skládá se ze tří úloh, k jejichž vyřešení je třeba použít metody využívající symetrie, které byly probrány na přednášce.

Během přednášky se dozvíte,

• jak hledat bodové (zobecněné) symetrie dané diferenciální rovnice (systému diferenciálních rovnic),

• jak využít těchto symetrií (které často tvoří Lieovu grupu) k zjednodušení dané obyčejné, či parciální diferenciální rovnice (systému diferenciálních rovnic), případně k jejich úplnému vyřešení,

• jak nalézt zákony zachování a integrály pohybu pomocí bodových (zobecněných) symetrií Eulerových-Lagrangeových diferenciálních rovnic, které jsou zároveň symetriemi příslušného variačního funkcionálu,

• jak určit obecný tvar obecně nelineárních diferenciálních rovnic určitého řádu invariantních vůči zadané Lieově grupě symetrií.

Při výkladu těchto obecných témat se mimo jiné seznámíme s následujícími základními pojmy teorie Lieových grup transformací a jejich aplikace na diferenciální rovnice:

• jednoparametrická a r-parametrická Lieova grupa bodových transformací,

• infinitezimální transformace a infinitezimální generátor bodových transformací,

• Lieovy teorémy, Lieova algebra Lieovy grupy transformací a řešitelná Lieova algebra,

• rozšíření (prodloužení) bodových transformací a jejich infinitezimálních generátorů na prostor rozšířený o derivace závislých proměnných,

• grupa symetrie diferenciální rovnice a infinitezimální kritérium invariance diferenciální rovnice vůči Lieově grupě transformací,

• kanonické souřadnice a jejich využití k redukci, případně k nalezení řešení diferenciálních rovnic,

• diferenciální invarianty a jejich využití k redukci obyčejných diferenciálních rovnic,

• zobecněné symetrie diferenciálních rovnic,

• invariantní řešení diferenciálních rovnic, eliminace nezávislé proměnné

• variační symetrie, infinitezimální kritérium variační symetrie,

• obecné zákony zachování a jejich charakteristika, teorém Noetherové pro bodové a zobecněné symetrie

In this course, students will learn

• how to find point (generalized) symmetries of a given differential equation (of a system of differential equations),

• how to use these symmetries (which form a Lie group) to simplify or to solve given differential equations,

• how to find conservation laws (integrals of motion) using point (generalized) symmetries of Euler-Lagrange differential equations which are also symmetries of a corresponding variational functional,

• how to find a general form of (linear or nonlinear) differential equations of a given order which are invariant under a given Lie group of symmetries.

Basic notions of the theory of Lie groups of transformations which students will learn during lectures:

• one-parameter and r-parameter Lie group of point transformations,

• infinitesimal transformations and generators of point transformations,

• Lie theorems, Lie algebra of a Lie group of transformations, solvable Lie algebra,

• prolongations of point transformations and their infinitesimal generators,

• symmetry group of differential equations and infinitesimal criterion of invariance of differential equations,

• canonical coordinates and their use to reduce, or to solve differential equations,

• differential invariants and their use to reduce differential equations,

• generalized symmetries of differential equations,

• invariant solutions of differential equations, reduction of the number of variables,

• variational symmetry, infinitesimal criterion of invariance,

• general conservation laws and their characteristics, Noether theorem for point and generalized symmetries.