Matematika se zaměřením na vzdělávání

2. Matematika se zaměřením na vzdělávání

Garantující pracoviště: Katedra didaktiky matematiky
Oborový garant: doc. RNDr. Jarmila Robová, CSc. (KDM) 
Garant za pedagogiku a psychologii: doc. PhDr. Isabella Pavelková, CSc. (KDF)

Doporučený průběh studia

Doporučený průběh studia zahrnuje všechny povinné předměty a některé další povinně volitelné nebo volitelné předměty specifické pro tento obor. Posluchač si jej musí sám doplnit dalšími volitelnými předměty podle vlastního výběru. Dále musí absolvovat předepsané předměty společného základu a předměty z druhého oboru své kombinace. Povinné předměty jsou v tabulkách doporučeného průběhu studia vyznačeny tučně, povinně volitelné běžným písmem a volitelné kurzívou.

1. rok studia

2. rok studia

¹ Volitelný předmět je jednosemestrální, je možno jej absolvovat v zimním nebo v letním semestru.

3. rok studia

Povinně volitelné předměty – skupina 1 (2 kredity)

Povinně volitelné předměty – skupina 2 (4 kredity)

²Předměty Bakalářský seminář z matematiky I a II si lze zapsat oba, nebo kterýkoli z nich.

Další doporučené volitelné předměty

³ Volitelný předmět bývá vyučován zpravidla jednou za dva roky.

Některé volitelné předměty nemusí být v tomto akademickém roce vyučovány.

Požadavky znalostí ke státní závěrečné zkoušce

Matematická analýza

1. Posloupnosti reálných čísel, limity, elementární funkce. 
Posloupnost, limita posloupnosti, věty o limitách, vybrané posloupnosti. Elementární funkce, jejich zavedení a základní vlastnosti.

2. Funkce jedné reálné proměnné: limita, spojitost, derivace, průběh funkce. 
Limita funkce, věty o limitách. Spojitost funkce, Heineova definice spojitosti, vlastnosti spojitých funkcí. Derivace funkce a její vlastnosti. Věty o střední hodnotě, L'Hospitalovo pravidlo. Průběh funkce. Taylorova věta.

3. Primitivní funkce, Newtonův integrál.
Primitivní funkce, integrace per partes, první a druhá věta o substituci. Integrace racionálních funkcí, základní typy substitucí.

4. Riemannův integrál.
Riemannův integrál a jeho vlastnosti a aplikace. Newtonova-Leibnizova formule. Nevlastní integrál.

5. Nekonečné číselné řady, mocninné řady.
Nekonečné číselné řady, kritéria konvergence. Absolutně a neabsolutně konvergentní řady. Mocninná řada, vlastnosti, poloměr konvergence.

6. Diferenciální rovnice.
Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Metody řešení diferenciálních rovnic, lineární rovnice.

7. Funkce více proměnných.
Limita a spojitost. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Extrémy funkcí více proměnných.

Lineární algebra a algebra

1. Relace, zobrazení a jejich základní vlastnosti. 
Relace a jejich vlastnosti. Ekvivalence, uspořádání, úplné uspořádání, příklady. Rozklad množiny podle ekvivalence. Zobrazení (injektivní, surjektivní a bijektivní), skládání zobrazení. Jádro a obraz zobrazení (Ker f, Im f), rozklad zobrazení na surjekci, bijekci a injekci.

2. Vektorový prostor, báze, dimenze, lineární zobrazení. Vektorový prostor se skalárním součinem. 
Příklady vektorových prostorů, lineární závislost a nezávislost, báze a dimenze konečně generovaného vektorového prostoru, věta o dimenzích spojení a průniku. Vlastnosti homomorfismu, věta o hodnosti a defektu. Skalární součin na reálném vektorovém prostoru, ortonormální báze, ortogonální doplněk podprostoru. Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.

3. Matice a jejich vlastnosti, užití k řešení soustav lineárních rovnic. Formy. 
Hodnost matice, regulární a singulární matice, inverzní matice, matice homomorfismu. Frobeniova věta o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic. Věta o dimenzi vektorového prostoru všech řešení homogenní soustavy. Užití matic k řešení soustav lineárních rovnic, Gaussova eliminační metoda.
Vlastní čísla a vlastní vektory, podobnost matic. Charakteristický a minimální polynom. 
Lineární formy, duální báze. Bilineární a kvadratické formy, jejich matice, polární a normální báze, Sylvestrův zákon o setrvačnosti, signatura.

4. Determinanty a jejich vlastnosti, Cramerovo pravidlo. 
Definice determinantu, Sarrusovo pravidlo, věta o rozvoji determinantu, charakterizace regulárních matic pomocí determinantů. Výpočet inverzní matice pomocí determinantů. Věta o násobení determinantů. Řešení soustav lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla.

5. Přirozená a celá čísla, dělitelnost. 
Přirozená čísla, Peanovy axiomy, matematická indukce, dobré uspořádání. Konstrukce oboru integrity celých čísel. Dělitelnost, největší společný dělitel, nejmenší společný násobek. Eukleidův algoritmus a Bézoutova věta, Eukleidovo lémma, Základní věta aritmetiky. Numerační soustavy o různých základech. 
Prvočísla, Eratosthenovo síto, mohutnost množiny všech prvočísel. Mersennova čísla, dokonalá čísla, věta Eukleidova a Eulerova. Fermatova čísla a prvočísla. Přirozená čísla jako svaz. Kongruence modulo n, odvození kritérií dělitelnosti. Malá Fermatova věta.

6. Čísla racionální, reálná a komplexní. 
Konstrukce pole racionálních čísel, podílové pole. Reálná čísla (Dedekindovy řezy, desetinné rozvoje, cauchyovské posloupnosti, axiomatický popis R), iracionalita. 
Řetězové zlomky, konvergenty, aproximace reálných čísel racionálními. Algebraická a transcendentní čísla. 
Pole komplexních čísel, zavedení, vlastnosti. Algebraický a goniometrický tvar, operace a jejich geometrické znázornění, důkazy některých goniometrických vzorců. Mohutnosti číselných oborů.

7. Grupy a jejich homomorfismy. 
Binární operace na množině. Pojem grupy, grupa permutací, grupy symetrií pravidelných n-úhelníků, další příklady. Podgrupy a jejich vlastnosti. Svaz podgrup. Cyklické grupy a jejich vlastnosti. Lagrangeova věta. Homomorfismy grup, příklady. Jádro a obraz homomorfismu a jejich vlastnosti. Faktorizace grupy podle normální podgrupy. Příklady.

8. Okruhy, obory integrity, tělesa, pole a jejich základní vlastnosti. 
Oboustranný ideál okruhu, faktorizace okruhu podle oboustranného ideálu. Příklady. Homomorfismy okruhů. Obor integrity, těleso, pole, příklady.

9. Základní pojmy dělitelnosti v komutativním oboru integrity. 
Relace dělitelnosti a asociovanosti v oboru integrity. Příklady eukleidovských oborů integrity a příklady na užití Eukleidova algoritmu. Ireducibilní prvek, prvočinitel.

10. Rovnice. 
Základní věta algebry. Rovnice 1., 2. a 3. stupně, Cardanovy vzorce, casus irreducibilis. Vietovy vzorce. Racionální a celočíselné kořeny algebraických rovnic s celočíselnými koeficienty, algebraická a transcendentní čísla. Reciproká rovnice. Lineární diofantické rovnice.

11. Posloupnosti, průměry. 
Aritmetická a geometrická posloupnost. Aritmetické posloupnosti vyšších řádů. Geometrická řada a harmonická řada. Aritmetický, geometrický a harmonický průměr, jejich vztah a geometrické znázornění.

Geometrie

Syntetická geometrie

1. Planimetrie (věty i s důkazy).
Základní věty geometrie trojúhelníku: např. Thalétova, Eukleidovy, Pýthagorova a její zobecnění, sinová, kosinová, součet vnitřních úhlů, Eulerova přímka. Konstrukce trojúhelníku. Klasifikace a vlastnosti čtyřúhelníků, konstrukce; vlastnosti tečnových a tětivových čtyřúhelníků. Kružnice a její vlastnosti (obvodové a středové úhly, úsekový úhel, mocnost bodu ke kružnici). Obvody a obsahy rovinných útvarů. Shodnosti, podobnosti, stejnolehlost. Kruhová inverze.

2. Stereometrie (věty i s důkazy).
Základní stereometrické věty a jejich důkazy (rovnoběžnost přímky a roviny, rovnoběžnost dvou rovin, vzájemná poloha tří rovin, kolmost přímky a roviny, kolmost dvou rovin). Řezy mnohostěnů. Vzdálenosti a odchylky bodů, přímek, rovin. Mnohostěny, Eulerova věta. Pravidelné mnohostěny (jejich počet a vlastnosti). Objem a povrch těles a jejich částí, Cavalieriho princip. Geometrická zobrazení v prostoru (shodnosti, podobnosti).

3. Zobrazovací metody.
Princip rovnoběžného a středového promítání. Řešení stereometrických úloh ve volném rovnoběžném promítání. Osová afinita, afinní obraz kružnice (užití osové afinity při konstrukci řezů hranolů a válců). Základy Mongeova promítání. Základy kosoúhlého promítání, základy lineární perspektivy.

Analytická geometrie

1. Afinní prostor.
Afinní prostor a jeho zaměření. Lineární kombinace bodů. Lineární soustava souřadnic. Podprostor a jeho parametrické vyjádření. Obecná rovnice nadroviny, podprostor jako průnik nadrovin, obecné rovnice podprostoru. Vzájemná poloha podprostorů. Orientace afinního prostoru.

2. Eukleidovský prostor.
Eukleidovský prostor. Vnější součin, vektorový součin a jejich základní vlastnosti. Kartézská soustava souřadnic. Kolmost podprostorů. Odchylka dvou přímek, dvou nadrovin, přímky a nadroviny, odchylka přímky a podprostoru. Vzdálenost bodu od podprostoru, vzdálenost podprostorů; osa dvou mimoběžných podprostorů. Příklady v E² a E³.

3. Množiny bodů daných vlastností, kuželosečky.
Kuželosečky jako řezy kuželové plochy, elipsa jako řez válcové plochy. Definice, vlastnosti a klasifikace kuželoseček. Kanonické rovnice kuželoseček a jejich transformace. Vzájemná poloha přímky a kuželosečky. Apollóniova kružnice.

4. Grupy geometrických zobrazení.
Dělicí poměr, afinní zobrazení, asociovaný homomorfismus. Afinity (základní afinity, homothetie), samodružné body a směry, příklady v A² a A³ včetně analytického vyjádření. Projekce. Shodnosti, podobnosti, samodružné body a směry, příklady v E²a E³ včetně analytického vyjádření, klasifikace v E². Analytické vyjádření kruhové inverze, její vlastnosti. Grupy geometrických transformací.