2. Matematika se zaměřením na vzdělávání

Garantující pracoviště: Katedra didaktiky matematiky
Oborový garant: doc. RNDr. Jarmila Robová, CSc. (KDM)
Garant za pedagogiku a psychologii: doc. PhDr. Isabella Pavelková, CSc. (KDF)

Doporučený průběh studia

Doporučený průběh studia zahrnuje všechny povinné předměty a některé další povinně volitelné nebo volitelné předměty specifické pro tento obor. Posluchač si jej musí sám doplnit dalšími volitelnými předměty podle vlastního výběru. Dále musí absolvovat předepsané předměty společného základu a předměty z druhého oboru své kombinace. Povinné předměty jsou v tabulkách doporučeného průběhu studia vyznačeny tučně, povinně volitelné běžným písmem a volitelné kurzívou.

1. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
 Předměty společného základu    
NMUM101Matematická analýza I 52/2 Z+Zk
NMUM103Lineární algebra I 52/2 Z+Zk
NMUM105Základy aritmetiky a algebry I 21/1 Kv
NMUM161Matematický proseminář I 20/2 Z
NMUM102Matematická analýza II 52/2 Z+Zk
NMUM104Lineární algebra II 52/2 Z+Zk
NMUM106Základy rovinné geometrie 21/1 Kv
NMUM162Matematický proseminář II 20/2 Z

2. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
 Předměty společného základu    
NMUM201Matematická analýza III 52/2 Z+Zk
NMUM203Geometrie I 52/2 Z+Zk
NMUM205Základy prostorové geometrie 21/1 Kv
NMIN203Mathematica pro začátečníky120/2 Z0/2 Z
NMUM202Matematická analýza IV 52/2 Z+Zk
NMUM204Geometrie II 52/2 Z+Zk
NMUM206Základy aritmetiky a algebry II 21/1 Kv
NMUM208Kombinatorika 32/0 Zk
 Povinně volitelné předměty - skupina 2: 2  
NMUM232Finanční matematika 20/2 Z

1 Volitelný předmět je jednosemestrální, je možno jej absolvovat v zimním nebo v letním semestru.

3. rok studia

kódPředmětKredityZSLS
 Předměty společného základu    
NMUM301Diferenciální geometrie 52/2 Z+Zk
NMUM303Základy zobrazovacích metod 21/1 Zk
NMUM305Dějiny matematiky I 22/0 Z
NMUM307Metody řešení matematických úloh 20/2 Z
NMUM306Dějiny matematiky II 32/0 Zk
NMUM310Pedagogická praxe z matematiky I 1 1 týden Z
NMUM312Pedagogicko-didaktická propedeutika matematiky 31/2 Kv
 Povinně volitelné předměty - skupina 1 2  
 Povinně volitelné předměty - skupina 2: 2  
NMUM331Bakalářský seminář z matematiky I120/2 Z
NMUM332Bakalářský seminář z matematiky II120/2 Z

Povinně volitelné předměty – skupina 1 (2 kredity)

kódPředmětKredityZSLS
NUFY105Sociální dovednosti a práce s lidmi I 20/2 Z
NUFY106Sociální dovednosti a práce s lidmi II 20/2 Z
NPED022Rétorika a komunikace s lidmi I 20/2 Z
NPED042Rétorika a komunikace s lidmi II 20/2 Z

Povinně volitelné předměty – skupina 2 (4 kredity)

kódPředmětKredityZSLS
NMUM232Finanční matematika 20/2 Z
NMUM331Bakalářský seminář z matematiky I120/2 Z
NMUM332Bakalářský seminář z matematiky II120/2 Z

1Předměty Bakalářský seminář z matematiky I a II si lze zapsat oba, nebo kterýkoli z nich.

Další doporučené volitelné předměty

kódPředmětKredityZSLS
NUMV058Řecké matematické texty I 30/2 Z
NMUM163Základy programování 31/2 Z
NMUM465Vývoj matematického vzdělávání 20/2 Z
NMUM467Reformy výuky matematiky 22/0 Z
NUMV009Geometrie a učitel I 20/2 Z
NUMV021Geometrie a architektura 20/2 Z
NMIN264Mathematica pro pokročilé120/2 Z
NMUM361Aplikace počítačů ve výuce geometrie I 20/2 Z
NMUM362Aplikace počítačů ve výuce geometrie II 20/2 Z
NUMV100Psychologické drobnosti pro učitele 20/2 Z
NMUM363Didakticko-historický seminář I 20/2 Z
NMUM364Didakticko-historický seminář II 20/2 Z
NMUG361Aplikace deskriptivní geometrie 22/0 Z

1 Volitelný předmět je jednosemestrální, je možno jej absolvovat v zimním nebo v letním semestru.

Některé volitelné předměty nemusí být v tomto akademickém roce vyučovány.

Požadavky znalostí ke státní závěrečné zkoušce

Matematická analýza

1. Posloupnosti reálných čísel, limity, elementární funkce.
Posloupnost, limita posloupnosti, věty o limitách, vybrané posloupnosti. Elementární funkce, jejich zavedení a základní vlastnosti.

2. Funkce jedné reálné proměnné: limita, spojitost, derivace, průběh funkce.
Limita funkce, věty o limitách. Spojitost funkce, Heineova definice spojitosti, vlastnosti spojitých funkcí. Derivace funkce a její vlastnosti. Věty o střední hodnotě, L'Hospitalovo pravidlo. Průběh funkce. Taylorova věta.

3. Primitivní funkce, Newtonův integrál.
Primitivní funkce, integrace per partes, první a druhá věta o substituci. Integrace racionálních funkcí, základní typy substitucí.

4. Riemannův integrál.
Riemannův integrál a jeho vlastnosti a aplikace. Newtonova-Leibnizova formule. Nevlastní integrál.

5. Nekonečné číselné řady, mocninné řady.
Nekonečné číselné řady, kritéria konvergence. Absolutně a neabsolutně konvergentní řady. Mocninná řada, vlastnosti, poloměr konvergence.

6. Diferenciální rovnice.
Existence a jednoznačnost řešení počáteční úlohy. Metody řešení diferenciálních rovnic, lineární rovnice.

7. Funkce více proměnných.
Limita a spojitost. Diferenciální počet funkcí více proměnných. Extrémy funkcí více proměnných.

Lineární algebra a algebra

1. Relace, zobrazení a jejich základní vlastnosti.
Relace a jejich vlastnosti. Ekvivalence, uspořádání, úplné uspořádání, příklady. Rozklad množiny podle ekvivalence. Zobrazení (injektivní, surjektivní a bijektivní), skládání zobrazení. Jádro a obraz zobrazení (Ker f, Im f), rozklad zobrazení na surjekci, bijekci a injekci.

2. Vektorový prostor, báze, dimenze, lineární zobrazení. Vektorový prostor se skalárním součinem.
Příklady vektorových prostorů, lineární závislost a nezávislost, báze a dimenze konečně generovaného vektorového prostoru, věta o dimenzích spojení a průniku. Vlastnosti homomorfismu, věta o hodnosti a defektu. Skalární součin na reálném vektorovém prostoru, ortonormální báze, ortogonální doplněk podprostoru. Gramův-Schmidtův ortogonalizační proces.

3. Matice a jejich vlastnosti, užití k řešení soustav lineárních rovnic. Formy.
Hodnost matice, regulární a singulární matice, inverzní matice, matice homomorfismu. Frobeniova věta o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic. Věta o dimenzi vektorového prostoru všech řešení homogenní soustavy. Užití matic k řešení soustav lineárních rovnic, Gaussova eliminační metoda.
Vlastní čísla a vlastní vektory, podobnost matic. Charakteristický a minimální polynom.
Lineární formy, duální báze. Bilineární a kvadratické formy, jejich matice, polární a normální báze, Sylvestrův zákon o setrvačnosti, signatura.

4. Determinanty a jejich vlastnosti, Cramerovo pravidlo.
Definice determinantu, Sarrusovo pravidlo, věta o rozvoji determinantu, charakterizace regulárních matic pomocí determinantů. Výpočet inverzní matice pomocí determinantů. Věta o násobení determinantů. Řešení soustav lineárních rovnic pomocí Cramerova pravidla.

5. Přirozená a celá čísla, dělitelnost.
Přirozená čísla, Peanovy axiomy, matematická indukce, dobré uspořádání. Konstrukce oboru integrity celých čísel. Dělitelnost, největší společný dělitel, nejmenší společný násobek. Eukleidův algoritmus a Bézoutova věta, Eukleidovo lémma, Základní věta aritmetiky. Numerační soustavy o různých základech.
Prvočísla, Eratosthenovo síto, mohutnost množiny všech prvočísel. Mersennova čísla, dokonalá čísla, věta Eukleidova a Eulerova. Fermatova čísla a prvočísla. Přirozená čísla jako svaz. Kongruence modulo n, odvození kritérií dělitelnosti. Malá Fermatova věta.

6. Čísla racionální, reálná a komplexní.
Konstrukce pole racionálních čísel, podílové pole. Reálná čísla (Dedekindovy řezy, desetinné rozvoje, cauchyovské posloupnosti, axiomatický popis R), iracionalita.
Řetězové zlomky, konvergenty, aproximace reálných čísel racionálními. Algebraická a transcendentní čísla.
Pole komplexních čísel, zavedení, vlastnosti. Algebraický a goniometrický tvar, operace a jejich geometrické znázornění, důkazy některých goniometrických vzorců. Mohutnosti číselných oborů.

7. Grupy a jejich homomorfismy.
Binární operace na množině. Pojem grupy, grupa permutací, grupy symetrií pravidelných n-úhelníků, další příklady. Podgrupy a jejich vlastnosti. Svaz podgrup. Cyklické grupy a jejich vlastnosti. Lagrangeova věta. Homomorfismy grup, příklady. Jádro a obraz homomorfismu a jejich vlastnosti. Faktorizace grupy podle normální podgrupy. Příklady.

8. Okruhy, obory integrity, tělesa, pole a jejich základní vlastnosti.
Oboustranný ideál okruhu, faktorizace okruhu podle oboustranného ideálu. Příklady. Homomorfismy okruhů. Obor integrity, těleso, pole, příklady.

9. Základní pojmy dělitelnosti v komutativním oboru integrity.
Relace dělitelnosti a asociovanosti v oboru integrity. Příklady eukleidovských oborů integrity a příklady na užití Eukleidova algoritmu. Ireducibilní prvek, prvočinitel.

10. Rovnice.
Základní věta algebry. Rovnice 1., 2. a 3. stupně, Cardanovy vzorce, casus irreducibilis. Vietovy vzorce. Racionální a celočíselné kořeny algebraických rovnic s celočíselnými koeficienty, algebraická a transcendentní čísla. Reciproká rovnice. Lineární diofantické rovnice.

11. Posloupnosti, průměry.
Aritmetická a geometrická posloupnost. Aritmetické posloupnosti vyšších řádů. Geometrická řada a harmonická řada. Aritmetický, geometrický a harmonický průměr, jejich vztah a geometrické znázornění.

Geometrie

Syntetická geometrie

1. Planimetrie (věty i s důkazy).
Základní věty geometrie trojúhelníku: např. Thalétova, Eukleidovy, Pýthagorova a její zobecnění, sinová, kosinová, součet vnitřních úhlů, Eulerova přímka. Konstrukce trojúhelníku. Klasifikace a vlastnosti čtyřúhelníků, konstrukce; vlastnosti tečnových a tětivových čtyřúhelníků. Kružnice a její vlastnosti (obvodové a středové úhly, úsekový úhel, mocnost bodu ke kružnici). Obvody a obsahy rovinných útvarů. Shodnosti, podobnosti, stejnolehlost. Kruhová inverze.

2. Stereometrie (věty i s důkazy).
Základní stereometrické věty a jejich důkazy (rovnoběžnost přímky a roviny, rovnoběžnost dvou rovin, vzájemná poloha tří rovin, kolmost přímky a roviny, kolmost dvou rovin). Řezy mnohostěnů. Vzdálenosti a odchylky bodů, přímek, rovin. Mnohostěny, Eulerova věta. Pravidelné mnohostěny (jejich počet a vlastnosti). Objem a povrch těles a jejich částí, Cavalieriho princip. Geometrická zobrazení v prostoru (shodnosti, podobnosti).

3. Zobrazovací metody.
Princip rovnoběžného a středového promítání. Řešení stereometrických úloh ve volném rovnoběžném promítání. Osová afinita, afinní obraz kružnice (užití osové afinity při konstrukci řezů hranolů a válců). Základy Mongeova promítání. Základy kosoúhlého promítání, základy lineární perspektivy.

Analytická geometrie

1. Afinní prostor.
Afinní prostor a jeho zaměření. Lineární kombinace bodů. Lineární soustava souřadnic. Podprostor a jeho parametrické vyjádření. Obecná rovnice nadroviny, podprostor jako průnik nadrovin, obecné rovnice podprostoru. Vzájemná poloha podprostorů. Orientace afinního prostoru.

2. Eukleidovský prostor.
Eukleidovský prostor. Vnější součin, vektorový součin a jejich základní vlastnosti. Kartézská soustava souřadnic. Kolmost podprostorů. Odchylka dvou přímek, dvou nadrovin, přímky a nadroviny, odchylka přímky a podprostoru. Vzdálenost bodu od podprostoru, vzdálenost podprostorů; osa dvou mimoběžných podprostorů. Příklady v E2 a E3.

3. Množiny bodů daných vlastností, kuželosečky.
Kuželosečky jako řezy kuželové plochy, elipsa jako řez válcové plochy. Definice, vlastnosti a klasifikace kuželoseček. Kanonické rovnice kuželoseček a jejich transformace. Vzájemná poloha přímky a kuželosečky. Apollóniova kružnice.

4. Grupy geometrických zobrazení.
Dělicí poměr, afinní zobrazení, asociovaný homomorfismus. Afinity (základní afinity, homothetie), samodružné body a směry, příklady v A2 a A3 včetně analytického vyjádření. Projekce. Shodnosti, podobnosti, samodružné body a směry, příklady v E2 a E3 včetně analytického vyjádření, klasifikace v E2. Analytické vyjádření kruhové inverze, její vlastnosti. Grupy geometrických transformací.


© 2013–2016 Univerzita Karlova, Matematicko-fyzikální fakulta. Design noBrother.
Za obsah odpovídá Studijní oddělení.