Faculty of Mathematics and Physics
| CU > MFF > Studies > Bachelor and Master Studies > Study programs > 3.9. Učitelství matematiky - deskriptivní geometrie pro střední školy |
3.9. Učitelství matematiky - deskriptivní geometrie pro střední školy
Garantující pracoviště: katedra didaktiky matematiky
Odpovědný učitel: Doc. RNDr. Jindřich Bečvář, CSc. (KDM)
Garant za pedagogiku a psychologii:
Doc. PhDr. Isabella Pavelková, CSc., Pedagogická fakulta UKDoporučený průběh studia
1. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NPED034 | Pedagogika I | 3 | 2/0 Z | — | |
| NPED035 | Pedagogika II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NPED033 | Psychologie | 6 | — | 2/2 Z | |
| NDIM001 | Didaktika matematiky | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NUMP021 | Moderní matematická analýza | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NUMP020 | Algebra II | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
| NDIM005 | Pedagogická praxe z matematiky I | 1 | 1 týden Z | ||
| NDIM006 | Pedagogická praxe z matematiky II | 1 | 2 týdny Z | ||
| NDGE011 | Algebraická geometrie | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NDGE012 | Diferenciální geometrie II | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NDGE013 | Didaktika deskriptivní geometrie | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NDGE016 | Pedagogická praxe z deskriptivní geometrie I | 1 | 1 týden Z | ||
| NDGE017 | Pedagogická praxe z deskriptivní geometrie II | 1 | 2 týdny Z | ||
| Volitelné předměty | 5 | ||||
| NUMV066 | Didakticko-historický seminář I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV067 | Didakticko-historický seminář II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV090 | Teorie her | 3 | 2/0 Z | — | |
| NUMV009 | Geometrie a učitel I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV021 | Geometrie a architektura | 3 | — | 2/0 Zk | |
2. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NUMP015 | Dějiny matematiky I | 3 | — | 2/0 KZ | |
| NUMP016 | Logika a teorie množin | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NUMP017 | Geometrie III | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NUMV043 | Metody řešení matematických úloh | 3 | 0/2 Z | — | |
| NDIM007 | Pedagogická praxe z matematiky III | 1 | 2 týdny Z | ||
| NDGE014 | Deskriptivní geometrie III | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NDGE018 | Pedagogická praxe z deskriptivní geometrie III | 1 | 2 týdny Z | ||
| NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
| NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z | |
| Povinně volitelné předměty | 6 | ||||
| Volitelné předměty | 10 | ||||
| NUMV098 | Aplikace matematiky pro učitele | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV091 | Grafická komunikace ve vizuální kultuře I | 3 | 0/2 Z | — | |
Státní závěrečná zkouška
Studium je zakončeno státní závěrečnou zkouškou, která se skládá ze čtyř částí:- – z obhajoby diplomové práce
- – z ústní zkoušky z matematiky a didaktiky matematiky
- – z ústní zkoušky z deskriptivní geometrie a didaktiky deskriptivní geometrie
- – z ústní zkoušky z pedagogiky a psychologie
- – z ústní zkoušky z matematiky a didaktiky matematiky
Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce
- – Získání alespoň 120 kreditů.
- – Splnění povinných předmětů (blok B) studijního oboru Učitelství matematika - deskriptivní geometrie.
- – Splnění alespoň 6 kreditů z povinně volitelných předmětů (blok C) studijního oboru Učitelství matematika - deskriptivní geometrie.
- – Odevzdání vypracované diplomové práce ve stanoveném termínu.
- – Splnění povinných předmětů (blok B) studijního oboru Učitelství matematika - deskriptivní geometrie.
Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce z nediplomního aprobačního předmětu
- – Získání alespoň 90 kreditů.
Poznámka: Ústní část státní závěrečné zkoušky z nediplomního aprobačního předmětu a jeho didaktiky může student skládat již v zimním semestru 2. ročníku.
Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce z pedagogiky a psychologie
- – Získání alespoň 40 kreditů.
- – Splnění předmětů Pedagogika I, Pedagogika II a Psychologie.
Poznámka: Ústní část státní závěrečné zkoušky z pedagogiky a psychologie může student skládat nejdříve v letním semestru 1. ročníku.
Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky
Matematika - odborná a didaktická témata
1. Kardinální čísla, spočetné a nespočetné množiny.
Vlastnosti injektivních zobrazení, bijektivní zobrazení, věta
Cantorova-Bernsteinova. Mohutnost množiny, spočetné množiny,
spočetnost množiny racionálních čísel, nespočetné množiny,
nespočetnost množiny reálných čísel.
2. Čísla a číselné obory
Zlomky a racionální čísla; čísla reálná (aproximace reálných
čísel, reálné číslo jako limita posloupnosti racionálních čísel);
čísla komplexní, jejich zobrazení v Gaussově rovině, Moivreova
věta, řešení binomických rovnic a kvadratických rovnic; obory
čísel přirozených, celých, racionálních, reálných a komplexních
jako algebraické struktury.
3. Podílové těleso oboru integrity, konstrukce tělesa
racionálních čísel.
Obor integrity, konstrukce podílového tělesa, konstrukce tělesa
racionálních čísel.
4. Základní věta algebry, kořenové a rozkladové těleso
polynomu.
Formulace základní věty algebry (bez důkazu), její
důsledky. Konstrukce kořenového nadtělesa pro ireducibilní
polynom. Konstrukce tělesa komplexních čísel jako kořenového nadtělesa
polynomu x2+1 nad R.
5. Kořenové vlastnosti polynomů, rozklad na kořenové činitele,
souvislosti násobnosti a derivace.
Věta o dělení polynomů se zbytkem. Rozklady polynomů s reálnými
a komplexními koeficienty. Derivace polynomů a její souvislost s násobností kořenů. Definice n-té odmocniny z jedné. Ilustrace těchto
pojmů v případě tělesa komplexních čísel.
6. Rovnice, nerovnice a jejich soustavy
Metody řešení lineárních rovnic, nerovnic a jejich soustav,
kvadratických rovnic a nerovnic, exponenciálních, logaritmických
a goniometrických rovnic. Rovnice, nerovnice a jejich soustavy
s parametry.
7. Konstrukce tělesa reálných čísel.
Konstrukce množiny reálných čísel pomocí desetinných rozvojů.
Axiomatický popis tělesa reálných čísel.
8. Funkce a posloupnosti
Relace, zobrazení a funkce; vlastnosti funkcí; funkce
lineární, kvadratická, mocninná, nepřímá úměrnost, funkce
exponenciální a logaritmická, goniometrické funkce (zavedení, vlastnosti,
průběh); parametrické systémy funkcí, funkce inverzní a funkce
složená. Zavedení pojmů spojitost funkce, limita funkce, derivace
funkce, užití diferenciálního počtu při studiu průběhu funkcí
a v úlohách na extrémy. Zavedení primitivní funkce a určitého
integrálu, užití integrálního počtu k výpočtu obsahů a objemů.
Posloupnosti a jejich vlastnosti, aritmetická a geometrická
posloupnost, limita posloupnosti, nekonečná geometrická řada.
9. Spojitost funkcí více proměnných.
Okolí bodů v Rn, otevřené a uzavřené množiny, hranice,
vnitřek a uzávěr množiny. Spojitá zobrazení z Rn do
Rk. Omezené množiny, kompaktní množiny, vlastnosti spojitých
zobrazení na kompaktních množinách.
10. Diferenciální počet funkcí více proměnných.
Derivace ve směru, parciální derivace, totální diferenciál
složeného zobrazení. Lokální extrémy. Věta o implicitních funkcích
a její důsledky.
11. Lineární diferenciální rovnice.
Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, homogenní a nehomogenní
rovnice, fundamentální systém řešení, partikulární řešení. Metoda
variace konstant, Wronského determinant. Rovnice s konstantními
koeficienty, charakteristický polynom, vícenásobné a komplexní kořeny
charakteristického polynomu, speciální pravé strany.
12. Dvojný a trojný integrál.
Riemannův vícerozměrný integrál. Fubiniova věta, věta o substituci.
Horní a dolní objem, měřitelné množiny. Užití dvojných a trojných
integrálů v geometrii a ve fyzice, výpočet objemů a povrchů těles.
13. Křivkový integrál prvního a druhého druhu, Greenova věta.
Křivkový integrál prvního a druhého druhu, délka křivky, potenciál
vektorového pole. Greenova věta.
14. Metrické prostory.
Metrika, metrický prostor; norma a normovaný lineární prostor.
Spojitost funkce na metrickém prostoru. Úplné metrické prostory,
Cantorova věta o úplném prostoru. Banachova věta o pevném bodě a její aplikace.
Kompaktní množiny a jejich charakterizace.
15. Posloupnosti a řady funkcí.
Bodová a stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí. Spojitost
limitní funkce. Derivování a integrování člen po členu. Mocniné řady,
poloměr konvergence, chování řady na konvergenční kružnici. Mocniné
řady elementárních funkcí.
16. Geometrie.
Hlavní myšlenky axiomatického zavedení eukleidovské geometrie
(přehledně). Neeukleidovská geometrie a její model. Kuželosečky v projektivním rozšíření eukleidovské roviny.
17. Planimetrie a stereometrie
Shodnost, podobnost, stejnolehlost, jejich vlastnosti
a užití, řešení úloh z konstrukční geometrie (speciálně užitím
mocnosti a kruhové inverze), množiny bodů daných vlastností; prostorové
řešení stereometrických úloh. Rovinné obrazce, jejich obvody
a obsahy; tělesa, jejich povrchy a objemy, sítě.
18. Analytická geometrie
Vektor, operace s vektory, skalární a vektorový součin;
rovnice přímky a roviny, vzájemné polohy přímek a rovin, odchylky,
vzdálenosti; rovnice kružnice, elipsy, paraboly a hyperboly,
tečny ke kuželosečkám, rovnice kvadrik v základním tvaru.
19. Křivky v E3.
Parametrické vyjádření křivky. Tečna, oskulační rovina, hlavní
normála, binormála. Parametrizace obloukem. Frenetovy vzorce, křivost
a torze. Příklady.
20. Plochy v E3.
Parametrizace plochy, tečná rovina plochy. Křivka na ploše a její
křivost, Gaussova křivost a její význam. Příklady.
21. Vlastní čísla a vlastní vektory, matice lineárního
zobrazení, Jordanův kanonický tvar.
22. Fourierovy řady.
Trigonometrické polynomy, reálný a komplexní tvar. Besselova
nerovnost. Fourierova řada po částech hladké funkce, bodová
a stejnoměrná konvergence.
23. Kombinatorika, pravděpodobnost, statistika
Kombinace, variace, permutace (bez opakování, s opakováním)
a jejich užití při řešení úloh, princip inkluze a exkluze; binomická
věta. Náhodný jev a jeho pravděpodobnost, pravděpodobnost sjednocení
náhodných jevů, nezávislé jevy a jejich pravděpodobnost. Základní
pojmy deskriptivní statistiky (statistický soubor, absolutní
a relativní četnost, aritmetický průměr, modus, medián, směrodatná
odchylka, rozptyl).
24. Metody středoškolské matematiky
Vytváření představ a pojmů, klasifikace pojmů, definice;
tvorba hypotéz (s užitím neúplné indukce a analogie), věty
a jejich důkazy (důkaz přímý, nepřímý, sporem, matematickou indukcí);
axiomatická metoda ve středoškolské matematice. Příklady aplikací
matematiky.
Deskriptivní geometrie - odborná a didaktická témata
1. Porovnání jednotlivých promítacích metod
Zavedení, konstrukční postupy, názornost, užití v praxi
2. Rozvíjení prostorové představivosti
Modely, prostorová řešení úloh, rysy, obrazy, náčrtky.
3. Metody výuky rýsování a technického kreslení
Přehled o učivu na ZŠ, gymnáziích a průmyslových školách.
Metodické zpracování tematických celků.
4. Užití středové kolineace v deskriptivní geometrii
Typy a specifikace středových kolineací v rovině
a v prostoru. Užití kolineace při konstrukci průmětů těles, rovinných řezů,
perspektivních obrazů a perspektivního reliéfu. Užití kolineace
k odvození některých ploch a jejich vlastností (obrazy kulové
plochy, jednodílného hyperboloidu).
5. Přímkové plochy
Určení přímkových ploch, plochy 2. stupně, ukázky ploch 3. a 4. stupně.
Chaslesova věta a její užití. Konoidy.
6. Obecné vlastnosti rotačních ploch
Zavedení, významné čáry na ploše. Konstrukce průmětů ploch.
Tečné roviny a řezy vybraných ploch (anuloid, plochy 2. stupně atp.) rovinami.
7. Základy kinematické geometrie v rovině
Základní pojmy, určení pohybu v rovině. Významné typy pohybů (eliptický,
kardioidický, cykloidální, evolventní).
8. Šroubovice, šroubový pohyb, šroubové plochy
Vlastnosti šroubovice. Třídění šroubových ploch a jejich
užití v praxi.
9. Užití deskriptivní geometrie v praxi
Geometrický podklad diagnostických přístrojů (rentgen,
tomograf) a kartografických metod. Užití ploch ve strojnictví
a stavebnictví. Technické kreslení.
10. Parametrické vyjádření křivky
Oblouk jako parametr, Frenetovy vzorce. Výpočet křivosti
a torze při obecném parametru. Oskulační kružnice.
11. Parametrické vyjádření plochy
První a druhá základní forma plochy.
12. Křivka na ploše
Hlavní směry a hlavní křivky. Gaussova křivost plochy.
13. Asymptotické a geodetické křivky na ploše
14. Geometrické základy kartografie
15. Deskriptivní geometrie podporovaná počítačem
16. Mezipředmětové vztahy a jejich využití
Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky z pedagogiky a psychologie
Jsou stejné jako na magisterském programu Učitelství fyzika-matematika pro SŠ.Povinné předměty (blok B) studijního oboru Učitelství matematika - deskriptivní geometrie
Pedagogika a psychologie
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NPED034 | Pedagogika I | 3 | 2/0 Z | — | |
| NPED035 | Pedagogika II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NPED033 | Psychologie | 6 | — | 2/2 Z | |
Matematika
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NDIM001 | Didaktika matematiky | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NUMP021 | Moderní matematická analýza | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NUMP020 | Algebra II | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NDIM005 | Pedagogická praxe z matematiky I | 1 | 1 týden Z | ||
| NDIM006 | Pedagogická praxe z matematiky II | 1 | 2 týdny Z | ||
| NDIM007 | Pedagogická praxe z matematiky III | 1 | 2 týdny Z | ||
| NUMP015 | Dějiny matematiky I | 3 | — | 2/0 KZ | |
| NUMP016 | Logika a teorie množin | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NUMP017 | Geometrie III | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NUMV043 | Metody řešení matematických úloh | 3 | 0/2 Z | — | |
| NSZZ023 | Diplomová práce I | 6 | — | 0/4 Z | |
| NSZZ024 | Diplomová práce II | 9 | 0/6 Z | — | |
| NSZZ025 | Diplomová práce III | 15 | — | 0/10 Z | |
Deskriptivní geometrie
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NDGE011 | Algebraická geometrie | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NDGE012 | Diferenciální geometrie II | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NDGE013 | Didaktika deskriptivní geometrie | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NDGE014 | Deskriptivní geometrie III | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NDGE016 | Pedagogická praxe z deskriptivní geometrie I | 1 | 1 týden Z | ||
| NDGE017 | Pedagogická praxe z deskriptivní geometrie II | 1 | 2 týdny Z | ||
| NDGE018 | Pedagogická praxe z deskriptivní geometrie III | 1 | 2 týdny Z | ||
Povinně volitelné a doporučené volitelné předměty (blok C)
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NUMV021 | Geometrie a architektura | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NUMV011 | Výpočetní technika pro učitele matematiky I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV012 | Výpočetní technika pro učitele matematiky II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV047 | Uplatnění pravděpodobnosti a statistiky na gymnáziích | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV048 | Pravděpodobnost a statistika ve výuce a pedagogickém výzkumu | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV066 | Didakticko-historický seminář I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV067 | Didakticko-historický seminář II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV063 | Proseminář matematický I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV064 | Proseminář matematický II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV065 | Vývoj matematického vzdělávání | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV098 | Aplikace matematiky pro učitele | 3 | 0/2 Z | — | |
| NJAZ070 | Anglický jazyk | 1 | 0/2 Z | — | |
| NJAZ072 | Anglický jazyk | 1 | — | 0/2 Z | |
| NJAZ074 | Anglický jazyk | 1 | 0/2 Z | — | |