Faculty of Mathematics and Physics
| CU > MFF > Studies > Bachelor and Master Studies > Study programs > 3.4. Matematika zaměřená na vzdělávání |
3.4. Matematika zaměřená na vzdělávání
Aprobačními předměty studia učitelství na MFF jsou:
- – Matematika
- – Fyzika
- – Informatika
- – Deskriptivní geometrie
- – Fyzika
Studijní plány oboru učitelství matematiky v kombinaci s druhým aprobačním předmětem pro střední školy se skládají ze studijních plánů matematiky a studijních plánů druhého aprobačního oboru.
Na MFF je standardní kombinací aprobačních předmětů s matematikou matematika-informatika, matematika-deskriptivní geometrie a matematika - fyzika. Studijní plány kombinace matematika - informatika jsou v odst. 3.4.1 a studijní plány kombinace matematika - deskriptivní geometrie v odst. 3.4.2. Studijní plány kombinace matematika - fyzika jsou zahrnuty ve studijních plánech programu Fyzika.
3.4.1. Matematika v kombinaci s informatikou
Garantující pracoviště: katedra didaktiky matematiky
Odpovědný učitel: doc. RNDr. Jindřich Bečvář, CSc. (KDM)
Doporučený průběh studia
Povinné předměty jsou uváděny tučně.
1. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NUMP001 | Matematická analýza Ia | 8 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NUMP003 | Lineární algebra I | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NDMI002 | Diskrétní matematika | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NPRG030 | Programování I | 6 | 3/2 Z | — | |
| NSWI120 | Principy počítačů a operačních systémů | 2 | 5 | 3/0 Zk | — |
| NTVY014 | Tělesná výchova | 1 | 0/2 Z | — | |
| NJAZ070 | Anglický jazyk | 3 | 1 | 0/2 Z | — |
| NUMP002 | Matematická analýza Ib | 8 | — | 4/2 Z+Zk | |
| NUMP004 | Lineární algebra II | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NPRG031 | Programování II | 1 | 5 | — | 2/2 Z+Zk |
| NTIN060 | Algoritmy a datové struktury I | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NSWI095 | Úvod do UNIXu | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NTVY015 | Tělesná výchova | 1 | — | 0/2 Z | |
| NJAZ072 | Anglický jazyk | 3 | 1 | — | 0/2 Z |
| NUMV063 | Proseminář matematický I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV064 | Proseminář matematický II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NDGE004 | Eukleidovská geometrie | 3 | 0/2 Z | — | |
1 Zkoušku z předmětu NPRG031 lze skládat ještě před získáním zápočtu.
2 Posluchači, kteří absolvovali předmět NSWI087 Principy počítačů, mohou na základě toho požádat o uznání předmětu NSWI120.
3 Výuka anglického jazyka NJAZ070, NJAZ072, NJAZ074, NJAZ090 v rozsahu 0/2 v každém semestru je určena pro středně pokročilé a pokročilé. Začátečníci a mírně pokročilí si místo ní zapíší předměty NJAZ071, NJAZ073, NJAZ075, NJAZ089 s rozsahem výuky 0/4 v každém semestru.
2. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NUMP005 | Matematická analýza IIa | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NUMP006 | Matematická analýza IIb | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NUMP019 | Algebra I | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NUMP010 | Geometrie I | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NTIN061 | Algoritmy a datové struktury II | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NAIL062 | Výroková a predikátová logika | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NSWI096 | Internet | 4 | 2/1 KZ | — | |
| Programování - povinně volitelný předmět | 6 | 2/2 Z+Zk | — | ||
| NPRG005 | Neprocedurální programování | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NTIN071 | Automaty a gramatiky | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NPRG045 | Ročníkový projekt | 4 | — | 0/1 Z | |
| NTVY016 | Tělesná výchova | 1 | 0/2 Z | — | |
| NTVY017 | Tělesná výchova | 1 | 1 | — | 0/2 Z |
| NJAZ074 | Anglický jazyk | 2 | 1 | 0/2 Z | — |
| NJAZ090 | Anglický jazyk | 2 | 1 | — | 0/2 Z |
| NJAZ091 | Anglický jazyk | 3 | 1 | — | 0/0 Zk |
| NUMV088 | Mathematica pro začátečníky | 4 | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z |
| NUMV046 | Finanční matematika na střední škole | 3 | — | 0/2 Z | |
1Místo předmětu NTVY017 lze zapsat letní výcvikový kurz NTVY018 nebo zimní výcvikový kurz NTVY019; tyto kurzy je možné absolvovat kdykoli v průběhu bakalářského studia.
2 Výuka anglického jazyka NJAZ070, NJAZ072, NJAZ074, NJAZ090 v rozsahu 0/2 v každém semestru je určena pro středně pokročilé a pokročilé. Začátečníci a mírně pokročilí si místo ní zapíší předměty NJAZ071, NJAZ073, NJAZ075, NJAZ089 s rozsahem výuky 0/4 v každém semestru.
3 Povinnou zkoušku z anglického jazyka NJAZ091 je možné absolvovat v zimním nebo v letním semestru.
4 Volitelný předmět Mathematica pro začátečníky (NUMV088) je jednosemestrální, je možno jej absolvovat v zimním nebo v letním semestru.
3. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NUMP011 | Geometrie II | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NUMP013 | Pravděpodobnost a statistika I | 4 | 2/1 Z | — | |
| NUMP023 | Pravděpodobnost a statistika II | 4 | — | 2/1 Z+Zk | |
| NUMP014 | Diferenciální geometrie I | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NUMP009 | Základy zobrazovacích metod | 2 | 0/2 Z | — | |
| NUMP008 | Kombinatorika | 3 | 2/0 KZ | — | |
| NSWI090 | Počítačové sítě I | 3 | 2/0 Zk | — | |
| NDBI025 | Databázové systémy | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NSZZ026 | Bakalářská práce | 6 | — | 0/4 Z | |
| NUMV096 | Bakalářský seminář I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV097 | Bakalářský seminář II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV095 | Mathematica pro pokročilé | 1 | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z |
| NUMV066 | Didakticko-historický seminář I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV067 | Didakticko-historický seminář II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV060 | Aplikace počítačů ve výuce geometrie I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV061 | Aplikace počítačů ve výuce geometrie II | 3 | — | 0/2 Z | |
1 Volitelný předmět Mathematica pro pokročilé (NUMV095) je jednosemestrální, je možno jej absolvovat v zimním nebo v letním semestru.
Ročníkový projekt
Součástí studijních plánů je vypracování ročníkového projektu z programování. Projekty se zadávají na začátku letního semestru 2. ročníku v rámci předmětu NPRG045. Jestliže si posluchač zvolí menší projekt, během 2. ročníku ho celý vypracuje a dokončí. Pokud se posluchač rozhodne vypracovat rozsáhlejší projekt, který může později přerůst v bakalářskou práci, může na zápočet z předmětu NPRG045 vypracovat pouze jeho specifikaci a pilotní realizaci. Implementaci pak dokončí v zimním semestru 3. ročníku v rámci volitelného předmětu NPRG046 Softwarová praxe.
Místo povinného předmětu NPRG045 absolvovali starší posluchači dvojici předmětů NPRG033, NPRG034 s obdobným obsahem.
Programování - povinně volitelný předmět
Posluchač musí získat alespoň 6 kreditů za povinně volitelné předměty ze skupiny Programování, tzn. musí splnit jeden z následujících předmětů.
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NPRG035 | Jazyk C# a platforma .NET | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NPRG013 | Java | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NPRG041 | Programování v C++ | 6 | 2/2 Z+Zk | — | |
Státní závěrečná zkouška
Studium je zakončeno státní závěrečnou zkouškou, která se skládá ze tří částí:- – z obhajoby bakalářské práce
- – z ústní zkoušky z informatiky
- – z ústní zkoušky z matematiky
- – z ústní zkoušky z informatiky
Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce z předmětu, z něhož posluchač píše bakalářskou práci
- – získání alespoň 180 kreditů
- – splnění všech povinných předmětů zvoleného oboru
- – získání 6 kreditů z povinně volitelných předmětů oboru
- – odevzdání vypracované bakalářské práce ve stanoveném termínu.
- – splnění všech povinných předmětů zvoleného oboru
Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce z předmětu, z něhož posluchač nepíše bakalářskou práci
- – získání alespoň 140 kreditů
Ústní část státní závěrečné zkoušky
Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky
Základy matematiky
1. Relace, zobrazení a jejich základní vlastnosti.
Relace a jejich vlastnosti. Ekvivalence, uspořádání,
příklady. Rozklad množiny podle ekvivalence. Zobrazení (injektivní,
surjektivní a bijektivní, skládání zobrazení).
2. Vybudování a vlastnosti číselných oborů.
Přirozená čísla, matematická indukce. Přirozená čísla jako
algebraická struktura, konstrukce oboru celých čísel, konstrukce
tělesa racionálních a reálných čísel.
3. Grupy a jejich homomorfismy.
Binární operace na množině. Definice a příklady grup, grupa
permutací. Podgrupy a jejich vlastnosti. Homomorfismy grup a jejich
příklady. Jádro a obraz homomorfismu a jejich vlastnosti. Faktorová
grupa grupy podle normální podgrupy. Věta o homomorfismu pro grupy.
4. Okruh, obor integrity, tělesa a jejich základní vlastnosti.
Oboustranný ideál okruhu, faktorový okruh okruhu podle
oboustranného ideálu. Homomorfismy okruhů, věta o homomorfismu pro
okruhy. Těleso, obor integrity a jejich příklady.
5. Vektorový prostor, báze, dimense, lineární
zobrazení. Vektorový porostor se skalárním součinem, orientace,
vektorový součin.
Příklady vektorových prostorů, lineární závislost a nezávislost
vektorů, báze v konečně generovaných vektorových prostorech, dimense
konečně generovaného vektorového prostoru. Vlastnosti lineárních
zobrazení. Skalární součin na reálném vektorovém prostoru,
ortonormální báze, ortogonální doplněk podprostoru. Gramův-Schmidtův
ortogonalizační proces; orientace, základní vlastnosti vektorového
součinu.
6. Matice a jejich vlastnosti, užití k řešení soustav lineárních
rovnic.
Hodnost matice, regulární (resp. singulární) matice. Frobeniova
věta o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic. Věta o dimenzi
vektorového prostoru všech řešení homogenní soustavy lineárních
rovnic. Užití matic k řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova
eliminační metoda.
7. Determinanty a jejich vlastnosti, Cramerovo pravidlo.
Definice determinantu, Sarrusovo pravidlo, věta o rozvoji
determinantu, charakterizace regulárních matic pomocí
determinantů. Věta o násobení determinantů. Řešení soustav lineárních
rovnic pomocí Cramerova pravidla.
8. Základní pojmy dělitelnosti v komutativním oboru
integrity.
Relace dělitelnosti a asociovanosti v oboru integrity, Eukleidův
algoritmus. Příklady eukleidovských oborů integrity a příklady na
užití Eukleidova algoritmu. Ireducibilní prvek, prvočinitel.
9. Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Vlastnosti
spojitých funkcí na uzavřeném intervalu. Průběh funkcí, užití vyšších
derivací.
Limita funkce, nevlastní limity, limita v nevlastních bodech,
aritmetika limit, limita složené funkce, limitní přechody v nerovnosti, limita monotonní funkce. Spojitost funkce v bodě, na
intervalu, Heineho definice spojitosti, extrémy spojitých funkcí na
uzavřeném intervalu, spojitý obraz intervalu. Derivace funkce,
derivace elementárních funkcí, početní pravidla pro derivování
a jejich odvození. Souvislost derivace a spojitosti. Věta o inverzní
funkci, derivace inverzní funkce. Rolleova, Lagrangeova a Cauchyova
věta. Vztah derivace a monotonie funkce v bodě, na intervalu, nutné
a postačující podmínky pro extrém. Taylorův polynom, Taylorova
věta. Konvexita a konkávnost a jejich souvislost s druhou derivací
funkce.
10. Elementární funkce a jejich zavedení.
Goniometrické funkce. Cyklometrické funkce. Exponenciála, přirozený
logaritmus a obecná mocnina.
11. Primitivní funkce. Metoda per partes a metoda substituční.
Základní primitivní funkce. Integrace per partes. Dvě věty o substituci. Metody výpočtu primitivních funkcí, integrace racionálních
funkcí, základní typy substitucí (např. goniometrické funkce,
iracionální funkce, Eulerova substituce).
12. Riemannův integrál, nevlastní integrály.
Dělení intervalu, horní a dolní součty, horní a dolní integrál,
Riemannův integrál, geometrická interpretace. Riemannův integrál jako
funkce horní meze. Existenční věty pro Riemannův integrál. Nevlastní
integrál. Newtonova-Leibnizova formule. Délka křivky a objem rotačního
tělesa.
13. Posloupnosti reálných čísel, limity.
Limity posloupností (vlastní a nevlastní), Bolzano-Cauchyova
podmínka. Omezené posloupnosti, limita monotonní
posloupnosti. Vybrané posloupnosti.
14. Nekonečné řady a jejich součty. Základní věty o absolutní
a neabsolutní konvergenci.
Částečný součet, součet řady, konvergentní a divergentní řady,
Bolzano-Cauchyova podmínka, nutná podmínka konvergence. Řady s nezápornými členy; srovnávací, zobecněné srovnávací, odmocninové,
podílové a integrální kritérium, limitní tvary kritérií. Řady se
střídavými znaménky, Leibnizovo kritérium. Absolutně a neabsolutně
konvergentní řady.
15. Diferenciální rovnice, elementární metody jejich řešení.
Věty o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro rovnici dy/dx = f(x,y). Metody řešení diferenciálních rovnic: rovnice se
separovanými proměnnými, rovnice s homogenní pravou stranou, rovnice
ve tvaru totálního diferenciálu, metoda integračního faktoru, lineární
rovnice 1. řádu, variace konstant, rovnice s konstantními koeficienty,
speciální tvary pravé strany, Eulerova rovnice.
16. Afinní a eukleidovský prostor.
Lineární soustava souřadnic. Podprostor, jeho parametrický popis,
podprostor jako průnik nadrovin (obecná rovnice nadroviny). Vzájemná
poloha podprostorů. Kartézská soustava souřadnic. Kolmost
podprostorů, vzdálenost bodu od podprostoru, vzdálenost
podprostorů. Odchylka přímky od podprostoru. Příklady v E2
a E3.
17. Grupy geometrických zobrazení.
Afinity, shodnosti, podobnosti v rovině včetně analytického
vyjádření, vlastnosti. Příklady v E2, zejména osová afinita,
shodnosti a stejnolehlosti. Samodružné prvky. Kruhová inverze.
Základy informatiky
1. Logika
Jazyk, formule, sémantika, tautologie. Rozhodnutelnost, splnitelnost, pravdivost, dokazatelnost.Věty o kompaktnosti a úplnosti výrokové a predikátové logiky. Normální tvary výrokových formulí, prenexní tvary formulí predikátové logiky.
2. Automaty a jazyky
Chomského hierarchie, třídy automatů a gramatik, determinismus a nedeterminismus. Uzávěrové vlastnosti tříd jazyků.
3. Algoritmy a datové struktury
Časová složitost algoritmů, složitost v nejhorším a průměrném případě. Třídy složitosti P a NP, převoditelnost, NP-úplnost. Metoda ,,rozděl a panuj'' - aplikace a analýza složitosti. Binární vyhledávací stromy, vyvažování, haldy. Hašování. Sekvenční třídění, porovnávací algoritmy, přihrádkové třídění, třídící sítě. Grafové algoritmy - prohledávání do hloubky a do šířky, souvislost, topologické třídění, nejkratší cesta, kostra grafu, toky v sítích. Tranzitivní uzávěr. Algoritmy vyhledávání v textu. Algebraické algoritmy - DFT, Euklidův algoritmus. Základy kryptografie, RSA.
4. Databáze
Podstata a architektury DB systémů. Konceptuální, logická a fyzická úroveň pohledů na data, B-stromy a jejich varianty. Relační datový model, relační algebra, normální formy, referenční integrita. Základy SQL. Transakční zpracování, vlastnosti transakcí.
5. Architektury počítačů a sítí
Architektury počítače. Procesory, multiprocesory. Vstupní a výstupní zařízení, ukládání a přenos dat. Architektury OS. Procesy, vlákna, plánování. Synchronizační primitiva, vzájemné vyloučení. Zablokování a zotavení z něj. Organizace paměti, alokační algoritmy. Principy virtuální paměti, stránkování. Systémy souborů, adresářové struktury. Bezpečnost, autentifikace, autorizace, přístupová práva. ISO/OSI vrstevnatá architektura sítí. TCP/IP. Spojované a nespojované služby, spolehlivost, zabezpečení protokolů.
6. Programovací jazyky
Principy implementace procedurálních programovacích jazyků, oddělený překlad, sestavení. Objektově orientované programování. Neprocedurální programování, logické programování.
Seznam doporučených volitelných předmětů oboru Matematika zaměřená na vzdělávání - kombinace matematika s informatikou
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NUMV005 | Deskriptivní geometrie pro nedeskriptiváře I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV006 | Deskriptivní geometrie pro nedeskriptiváře II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV021 | Geometrie a architektura | 3 | — | 2/0 Zk | |
| NUMV011 | Výpočetní technika pro učitele matematiky I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV012 | Výpočetní technika pro učitele matematiky II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV047 | Uplatnění pravděpodobnosti a statistiky na gymnáziích | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV048 | Pravděpodobnost a statistika ve výuce a pedagogickém výzkumu | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV066 | Didakticko-historický seminář I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV067 | Didakticko-historický seminář II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV063 | Proseminář matematický I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV064 | Proseminář matematický II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NDGE004 | Eukleidovská geometrie | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV060 | Aplikace počítačů ve výuce geometrie I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV061 | Aplikace počítačů ve výuce geometrie II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV096 | Bakalářský seminář I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV097 | Bakalářský seminář II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV065 | Vývoj matematického vzdělávání | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV088 | Mathematica pro začátečníky | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z | |
| NJAZ070 | Anglický jazyk | 1 | 0/2 Z | — | |
| NJAZ072 | Anglický jazyk | 1 | — | 0/2 Z | |
| NJAZ074 | Anglický jazyk | 1 | 0/2 Z | — | |
3.4.2. Matematika v kombinaci s deskriptivní geometrií
Garantující pracoviště: katedra didaktiky matematiky
Odpovědný učitel: doc. RNDr. Jindřich Bečvář, CSc. (KDM)
Doporučený průběh studia
Povinné předměty jsou uváděny tučně.
1. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NUMP001 | Matematická analýza Ia | 8 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NUMP003 | Lineární algebra I | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NPRM044 | Programování I | 1 | 5 | 2/2 Z | — |
| NDGE001 | Deskriptivní geometrie Ia | 8 | 4/2 Z+Zk | — | |
| NTVY014 | Tělesná výchova | 1 | 0/2 Z | — | |
| NJAZ070 | Anglický jazyk | 2 | 1 | 0/2 Z | — |
| NUMP002 | Matematická analýza Ib | 8 | — | 4/2 Z+Zk | |
| NUMP004 | Lineární algebra II | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NPRM045 | Programování II | 3 | 5 | — | 2/2 Z+Zk |
| NDGE002 | Deskriptivní geometrie Ib | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NDGE003 | Projektivní geometrie I | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NTVY015 | Tělesná výchova | 1 | — | 0/2 Z | |
| NJAZ072 | Anglický jazyk | 2 | 1 | — | 0/2 Z |
| Volitelné předměty | 4 | ||||
| NUMV063 | Proseminář matematický I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV064 | Proseminář matematický II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NDGE004 | Eukleidovská geometrie | 3 | 0/2 Z | — | |
1 Studenti kombinace s deskriptivní geometrií si místo předmětů NPRM044 a NPRM045 zapíší předměty Programování pro deskriptivní geometrii I (NDGE024) a II (NDGE025).
2 Výuka anglického jazyka NJAZ070, NJAZ072, NJAZ074, NJAZ090 v rozsahu 0/2 v každém semestru je určena pro středně pokročilé a pokročilé. Začátečníci a mírně pokročilí si místo ní zapíší předměty NJAZ071, NJAZ073, NJAZ075, NJAZ089 s rozsahem výuky 0/4 v každém semestru.
3 Zkoušku z předmětu NPRM045 lze skládat ještě před získáním zápočtu.
2. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NUMP005 | Matematická analýza IIa | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NUMP006 | Matematická analýza IIb | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NUMP019 | Algebra I | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NUMP008 | Kombinatorika | 3 | 2/0 KZ | — | |
| NUMP010 | Geometrie I | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NDGE005 | Deskriptivní geometrie IIa | 9 | 2/4 Z+Zk | — | |
| NDGE006 | Deskriptivní geometrie IIb | 9 | — | 4/2 Z+Zk | |
| NDGE020 | Neeuklidovská geometrie I | 6 | 2/2 Z | — | |
| NDGE021 | Neeuklidovská geometrie II | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NJAZ074 | Anglický jazyk | 1 | 1 | 0/2 Z | — |
| NJAZ090 | Anglický jazyk | 1 | 1 | — | 0/2 Z |
| NJAZ091 | Anglický jazyk | 1 | — | 0/0 Zk | |
| NTVY016 | Tělesná výchova | 1 | 0/2 Z | — | |
| NTVY017 | Tělesná výchova | 2 | 1 | — | 0/2 Z |
| Volitelné předměty | 3 | ||||
| NUMV088 | Mathematica pro začátečníky | 3 | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z |
| NUMV046 | Finanční matematika na střední škole | 3 | — | 0/2 Z | |
1 Výuka anglického jazyka NJAZ070, NJAZ072, NJAZ074, NJAZ090 v rozsahu 0/2 v každém semestru je určena pro středně pokročilé a pokročilé. Začátečníci a mírně pokročilí si místo ní zapíší předměty NJAZ071, NJAZ073, NJAZ075, NJAZ089 s rozsahem výuky 0/4 v každém semestru.
2 Místo předmětu NTVY017 lze zapsat letní výcvikový kurz NTVY018 nebo zimní výcvikový kurz NTVY019; tyto kurzy je možné absolvovat kdykoli v průběhu bakalářského studia.
3 Volitelný předmět Mathematica pro začátečníky (NUMV088) je jednosemestrální, je možno jej absolvovat v zimním nebo v letním semestru.
3. rok studia
| kód | Předmět | Kredity | ZS | LS | |
| NUMP011 | Geometrie II | 5 | 2/2 Z+Zk | — | |
| NUMP013 | Pravděpodobnost a statistika I | 4 | 2/1 Z | — | |
| NUMP023 | Pravděpodobnost a statistika II | 4 | — | 2/1 Z+Zk | |
| NUMP014 | Diferenciální geometrie I | 5 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NUMP009 | Základy zobrazovacích metod | 1 | 2 | 0/2 Z | — |
| NDGE008 | Projektivní geometrie II | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NDGE022 | Počítačová geometrie I | 6 | 2/2 Z | — | |
| NDGE023 | Počítačová geometrie II | 6 | — | 2/2 Z+Zk | |
| NDGE010 | Grafický projekt | 6 | 0/4 Z | — | |
| NSZZ026 | Bakalářská práce | 6 | — | 0/4 Z | |
| Volitelné předměty | 10 | ||||
| NUMV096 | Bakalářský seminář I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV097 | Bakalářský seminář II | 3 | — | 0/2 Z | |
| NUMV095 | Mathematica pro pokročilé | 2 | 3 | 0/2 Z | 0/2 Z |
| NUMV066 | Didakticko-historický seminář I | 3 | 0/2 Z | — | |
| NUMV067 | Didakticko-historický seminář II | 3 | — | 0/2 Z | |
1Místo tohoto předmětu lze zapsat některý z povinně volitelných předmětů.
2 Volitelný předmět Mathematica pro pokročilé (NUMV095) je jednosemestrální, je možno jej absolvovat v zimním nebo v letním semestru.
Státní závěrečná zkouška
Studium je zakončeno státní závěrečnou zkouškou, která se skládá ze tří částí:- – z obhajoby bakalářské práce
- – z ústní zkoušky z deskriptivní geometrie
- – z ústní zkoušky z matematiky
- – z ústní zkoušky z deskriptivní geometrie
Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce z předmětu, z něhož posluchač píše bakalářskou práci
- – získání alespoň 180 kreditů
- – splnění všech povinných předmětů zvoleného oboru
- – odevzdání vypracované bakalářské práce ve stanoveném termínu.
- – splnění všech povinných předmětů zvoleného oboru
Podmínky pro přihlášení ke státní závěrečné zkoušce z předmětu, z něhož posluchač nepíše bakalářskou práci
- – získání alespoň 140 kreditů
Ústní část státní závěrečné zkoušky
Požadavky k ústní části státní závěrečné zkoušky
Základy matematiky
1. Relace, zobrazení a jejich základní vlastnosti.
Relace a jejich vlastnosti. Ekvivalence, uspořádání,
příklady. Rozklad množiny podle ekvivalence. Zobrazení (injektivní,
surjektivní a bijektivní, skládání zobrazení).
2. Vybudování a vlastnosti číselných oborů.
Přirozená čísla, matematická indukce. Přirozená čísla jako
algebraická struktura, konstrukce oboru celých čísel, konstrukce
tělesa racionálních a reálných čísel.
3. Grupy a jejich homomorfismy.
Binární operace na množině. Definice a příklady grup, grupa
permutací. Podgrupy a jejich vlastnosti. Homomorfismy grup a jejich
příklady. Jádro a obraz homomorfismu a jejich vlastnosti. Faktorová
grupa grupy podle normální podgrupy. Věta o homomorfismu pro grupy.
4. Okruh, obor integrity, tělesa a jejich základní vlastnosti.
Oboustranný ideál okruhu, faktorový okruh okruhu podle
oboustranného ideálu. Homomorfismy okruhů, věta o homomorfismu pro
okruhy. Těleso, obor integrity a jejich příklady.
5. Vektorový prostor, báze, dimense, lineární
zobrazení. Vektorový porostor se skalárním součinem, orientace,
vektorový součin.
Příklady vektorových prostorů, lineární závislost a nezávislost
vektorů, báze v konečně generovaných vektorových prostorech, dimense
konečně generovaného vektorového prostoru. Vlastnosti lineárních
zobrazení. Skalární součin na reálném vektorovém prostoru,
ortonormální báze, ortogonální doplněk podprostoru. Gramův-Schmidtův
ortogonalizační proces; orientace, základní vlastnosti vektorového
součinu.
6. Matice a jejich vlastnosti, užití k řešení soustav lineárních
rovnic.
Hodnost matice, regulární (resp. singulární) matice. Frobeniova
věta o řešitelnosti soustavy lineárních rovnic. Věta o dimenzi
vektorového prostoru všech řešení homogenní soustavy lineárních
rovnic. Užití matic k řešení soustav lineárních rovnic. Gaussova
eliminační metoda.
7. Determinanty a jejich vlastnosti, Cramerovo pravidlo.
Definice determinantu, Sarrusovo pravidlo, věta o rozvoji
determinantu, charakterizace regulárních matic pomocí
determinantů. Věta o násobení determinantů. Řešení soustav lineárních
rovnic pomocí Cramerova pravidla.
8. Základní pojmy dělitelnosti v komutativním oboru
integrity.
Relace dělitelnosti a asociovanosti v oboru integrity, Eukleidův
algoritmus. Příklady eukleidovských oborů integrity a příklady na
užití Eukleidova algoritmu. Ireducibilní prvek, prvočinitel.
9. Diferenciální počet funkcí jedné reálné proměnné. Vlastnosti
spojitých funkcí na uzavřeném intervalu. Průběh funkcí, užití vyšších
derivací.
Limita funkce, nevlastní limity, limita v nevlastních bodech,
aritmetika limit, limita složené funkce, limitní přechody v nerovnosti, limita monotonní funkce. Spojitost funkce v bodě, na
intervalu, Heineho definice spojitosti, extrémy spojitých funkcí na
uzavřeném intervalu, spojitý obraz intervalu. Derivace funkce,
derivace elementárních funkcí, početní pravidla pro derivování
a jejich odvození. Souvislost derivace a spojitosti. Věta o inverzní
funkci, derivace inverzní funkce. Rolleova, Lagrangeova a Cauchyova
věta. Vztah derivace a monotonie funkce v bodě, na intervalu, nutné
a postačující podmínky pro extrém. Taylorův polynom, Taylorova
věta. Konvexita a konkávnost a jejich souvislost s druhou derivací
funkce.
10. Elementární funkce a jejich zavedení.
Goniometrické funkce. Cyklometrické funkce. Exponenciála, přirozený
logaritmus a obecná mocnina.
11. Primitivní funkce. Metoda per partes a metoda substituční.
Základní primitivní funkce. Integrace per partes. Dvě věty o substituci. Metody výpočtu primitivních funkcí, integrace racionálních
funkcí, základní typy substitucí (např. goniometrické funkce,
iracionální funkce, Eulerova substituce).
12. Riemannův integrál, nevlastní integrály.
Dělení intervalu, horní a dolní součty, horní a dolní integrál,
Riemannův integrál, geometrická interpretace. Riemannův integrál jako
funkce horní meze. Existenční věty pro Riemannův integrál. Nevlastní
integrál. Newtonova-Leibnizova formule. Délka křivky a objem rotačního
tělesa.
13. Posloupnosti reálných čísel, limity.
Limity posloupností (vlastní a nevlastní), Bolzano-Cauchyova
podmínka. Omezené posloupnosti, limita monotonní
posloupnosti. Vybrané posloupnosti.
14. Nekonečné řady a jejich součty. Základní věty o absolutní
a neabsolutní konvergenci.
Částečný součet, součet řady, konvergentní a divergentní řady,
Bolzano-Cauchyova podmínka, nutná podmínka konvergence. Řady s nezápornými členy; srovnávací, zobecněné srovnávací, odmocninové,
podílové a integrální kritérium, limitní tvary kritérií. Řady se
střídavými znaménky, Leibnizovo kritérium. Absolutně a neabsolutně
konvergentní řady.
15. Diferenciální rovnice, elementární metody jejich řešení.
Věty o existenci a jednoznačnosti řešení počáteční úlohy pro rovnici
dy/dx = f(x,y). Metody řešení diferenciálních rovnic: rovnice se
separovanými proměnnými, rovnice s homogenní pravou stranou, rovnice
ve tvaru totálního diferenciálu, metoda integračního faktoru, lineární
rovnice 1. řádu, variace konstant, rovnice s konstantními koeficienty,
speciální tvary pravé strany, Eulerova rovnice.
16. Afinní a eukleidovský prostor.
Lineární soustava souřadnic. Podprostor, jeho parametrický popis,
podprostor jako průnik nadrovin (obecná rovnice nadroviny). Vzájemná
poloha podprostorů. Kartézská soustava souřadnic. Kolmost
podprostorů, vzdálenost bodu od podprostoru, vzdálenost
podprostorů. Odchylka přímky od podprostoru. Příklady v E2
a E3.
17. Grupy geometrických zobrazení.
Afinity, shodnosti, podobnosti v rovině včetně analytického
vyjádření, vlastnosti. Příklady v E2, zejména osová afinita,
shodnosti a stejnolehlosti. Samodružné prvky. Kruhová inverze.
Deskriptivní geometrie
1. Planimetrie a stereometrie
Shodnosti v rovině a jejich užití; mocnost bodu ke kružnici,
chordála. Vzájemná poloha přímek a rovin v prostoru. Prostorové
řešení úloh a vlastnosti základních geometrických ploch a těles.
2. Osová afinita, středová kolineace
Středová kolineace mezi dvěma rovinami, v rovině,
v prostoru; vlastnosti a užití v deskriptivní geometrii. Osová afinita
jako speciální případ středové kolineace.
3. Základní vlastnosti rovnoběžného a středového promítání
Porovnání, přehled užívaných druhů promítání.
4. Zavedení a užití těchto zobrazovacích metod
Kótované promítání, Mongeovo promítání, kosoúhlé promítání,
pravoúhlá axonometrie, kosoúhlá axonometrie, středové promítání.
5. Plochy druhého stupně
Vlastnosti ploch 2. stupně. Rotační plochy 2. stupně
a jejich obrazy v prostorové afinitě a kolineaci. Užití ploch 2.
stupně v praxi.
6. Zobrazování ploch druhého stupně a jednoduchých těles
Řezy rovinami, průniky a osvětlení.
7. Aplikace deskriptivní geometrie v praxi
Lineární perspektiva, perspektivní relief, topografické plochy,
jednoduché plochy stavební praxe.
8. Projektivní rozšíření roviny, projektivita, zejména involuce
9. Projektivní vytvoření kuželosečky, polární vlastnosti
10. Věta Pascalova a Brianchonova
11. Svazek kuželoseček
12. Ohniskové vlastnosti kuželoseček, konstrukce kuželoseček
13. Využití afinity a kolineace při konstrukci kuželoseček
14. Kruhová inverze, Möbiova rovina
15. Modely Lobačevského geometrie
16. Axiomatická výstavba geometrie
Seznam doporučených volitelných předmětů oboru Matematika zaměřená na vzdělávání - kombinace matematika s deskriptivní geometrií
Seznam je stejný jako u oboru 3.4.1 bez předmětů NUMV005 a NUMV006.